jueves, 30 de diciembre de 2010

Posiciones

Pruebas de selección para Estalmat 2010

En este problemas debes describir los métodos que usarías para encontrar las posiciones que se indican. Deberás acompañar la explicación de un dibujo.

a) Tenemos dos puntos A y B situados de cualquier forma. ¿Dónde puedes colocar un tercer punto C para que los tres formen un triángulo equilátero?

b) Ahora, nuestros dos puntos A y B son vértices de un triángulo isósceles. A partir de ellos, dibuja donde podrías poner el tercer punto C que forma con A y B el triángulo isósceles.

c) Ahora, si tenemos tres de los vértices de un paralelogramo A, B y C, situados en cualquier posición (pero no alineados, claro) ¿Dónde podemos situar exactamente el cuarto, D? Indica todas las posibilidades.

d) Por último, supongamos que te dan tres puntos que están situados en los vértices de un triángulo equilátero. Busca los lugares donde puedes colocar un cuarto punto P, para que los triángulos PAB, PBC y PCA sean isósceles. Ten en cuenta que hay muchas soluciones.

Solución

domingo, 26 de diciembre de 2010

Un punto de corte curioso

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

En un triangulo ABC, de lados a, b y c, se consideran un punto Q sobre AB y la recta que pasa por Q y C.

Demuestra que la circunferencia que tiene como a diámetro los incentros I1 y I2 de los triángulos ACQ y BCQ corta el segmento QC en el punto Q y en otro punto P que dista p − c de C, donde p es el semiperímetro del triangulo ABC.

Solución

jueves, 23 de diciembre de 2010

La carrera

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Dos ciclistas A y B disputan una carrera de una vuelta completa a un velódromo de 500 m. La línea de salida es la misma para los dos, pero corren en sentido contrario.

El ciclista A cruza la línea de llegada cuando a B le faltaban 5 m por recorrer.

¿Dónde tendrá que situarse la línea de salida para los dos, para que lleguen al mismo tiempo a la meta?

Solución

domingo, 19 de diciembre de 2010

Haciendo rodar un papel

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Dos cilindros

Dos cilindros

Toma dos hojas de papel iguales. Con ellas puedes construir dos cilindros diferentes, como puedes ver en el dibujo, uno más delgado y otro más corto.

a) ¿Cuál de los dos tendrá mayor capacidad?

b) Si los dejamos caer por un plano inclinado, ¿Cuál rodará más rápido?

Dos prismas

Dos prismas

c) También puedes hacer dos prismas con otras dos hojas iguales. ¿Cuál de los cuatro cuerpos tiene mayor capacidad?

Solución

viernes, 17 de diciembre de 2010

Números en un triángulo

Pruebas de selección para Estalmat 2010

Números en un triángulo

Números en un triángulo

Se forma un triángulo con seis números, de forma que tres ocupan los vértices y otros tres los centros de los lados. En este problema, sólo conocemos los números que ocupan los centros de los lados, que figuran en el dibujo. Se trata del 17, el 10 y el 45.

1) Rellena con números enteros positivos los vértices del triángulo de forma que la suma de los tres números de cada lado del triángulo sea la misma.

2) ¿Puedes encontrar otra solución? ¿Cuál?

3) Si hubieras encontrado una solución ¿Cómo podrías encontrar otra? ¿Cuántas soluciones dierentes crees que existen?

4) Encuentra una solución en la que la suma de los lados sea exactamente 80.

Solución

domingo, 12 de diciembre de 2010

Desigualdad de fracciones

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

Sean a, b y c tres números reales y positivos tales que 1/a2 + 1/b2 + 1/c2 = 9.

Prueba que 1/(2a + b) + 1/(2b + c) + 1/(2c + a) ≤ √3.

Solución

jueves, 9 de diciembre de 2010

Pirámide numérica

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Pirámide numérica

Pirámide numérica

Se construye una pirámide numérica colocando números en la base y situando la suma de dos de ellos consecutivos en la fila superior, en medio de los anteriores.

Rellena los cuadros en blanco por números para completar la pirámide.numérica de la figura.

Solución

martes, 7 de diciembre de 2010

Ocho lados

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Observa el siguiente procedimiento para construir un octógono.

Dibuja un cuadrado cualquiera y divide en tres partes iguales cada uno de sus cuatro lados.

Une cada dos puntos de división consecutivos.

Habrás obtenido un octógono.

¿Crees que es regular?

¿Cómo debería haberse efectuado la división de los lados del cuadrado para obtener un octógono regular?

Solución

domingo, 5 de diciembre de 2010

El caso es llegar

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Una liebre y una tortuga parten de la meta para recorrer una pista en un estadio circular.

Mientras la liebre recorre una vuelta y un cuarto, la tortuga sólo recorre un tercio de vuelta.

¿Cuántas vueltas debe dar cada una para coincidir de nuevo en la meta?

Solución

martes, 30 de noviembre de 2010

La Olimpiada Matemática Española (Fase Local)

Ya tenemos fecha para la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española. En la convocatoria oficial podemos leer que la prueba se puede celebrar el 21 o el 22 de enero de 2011, en los diferentes distritos universitarios.

Para participar, debes rellenar el boletín que se adjunta en la convocatoria y remitirlo al Delegado de la RSME para el distrito (el listado lo puedes encontrar en el enlace)

Se trata de la edición número 47 de la prueba (XLVII). La prueba está dirigida a alumnos que estén cursando Bachillerato en el presente curso, aunque se pueden presentar también alumnos de segundo ciclo de ESO. De hecho, yo recomiendo que se presenten, siempre y cuando reciban algún tipo de preparación y se les advierta de la dificultad de la prueba. De hecho, suelen llegar a la fase final bastantes alumnos de 4º e incluso de 3º de ESO.

Los alumnos de ESO deben presentarse avalados por su centro, aunque los de Bachillerato se pueden presentar por su cuenta.

En Cataluña, las fechas son distintas. Ellos las celebran el 17 y 18 de diciembre, y en su caso tienen carácter regional, es decir, el listado de premios recoge a todos los presentados en Cataluña, y no separados por distritos.

Este año han presentado una fase previa no eliminatoria, para fomentar la participación, que se resuelve desde casa. Lamentablemente, ya se ha terminado y no hemos tenido acceso a los problemas, que se enviaban a través de Internet, así como se resolvían las dudas a través de Facebook. Allí podemos encontrar algunos de los enunciados.

Me ha parecido una gran iniciativa para preparar la prueba, aunque no es la única que llevan a cabo, también tienen un circuito de cursos de preparación de carácter voluntario repartidos en varios puntos de su territorio.

En mi instituto hacemos un pequeño esfuerzo (y este blog) porque los concursantes asistan con alguna preparación, pero me gustaría saber si en otros sitios también se hace algo. Deja un comentario aquí si conoces alguna iniciativa.

domingo, 28 de noviembre de 2010

Una pista en el triángulo órtico

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

Encuentra los dos ángulos restantes de un triángulo acutángulo del que conoces un ángulo de 45 grados sexagesimales, sabiendo que el producto de dos de los ángulos de su triángulo órtico, medidos en grados sexagesimales, es 2009.

Enumera todas las soluciones posibles.

El triángulo órtico de un triángulo es el formado por los tres pies de las tres alturas.

Solución

jueves, 25 de noviembre de 2010

Puntuaciones imposibles

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

En un videojuego ganas 3 puntos por cada pepita de oro que encuentras y 7 puntos por cada diamante.

¿Puedes conseguir una puntuación de 37 puntos?

¿Y de 38 puntos?

¿Qué puntuaciones son imposibles de conseguir?

Solución

domingo, 21 de noviembre de 2010

Cuatro hermanos

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Cuatro hermanos tenían 4500 euros entre todos.

El tercero de ellos soñaba: "Si al primero le diesen 200, al segundo le quitasen 200, a mí me doblasen lo que tengo y al cuarto se lo redujesen a la mitad, todos tendríamos al final lo mismo".

¿Cuánto tenía cada hermano al principio?

Solución

viernes, 19 de noviembre de 2010

Triángulos

Pruebas de selección para Estalmat 2010

Un cuadrilátero con triángulos

Un cuadrilátero con triángulos

Se tiene un cuadrilátero convexo (con todos sus ángulos menores de 180 grados), como el de la primera imagen, y sobre cada uno de sus lados y en el exterior de ese cuadrilátero se dibujan triángulos equiláteros.

a) ¿Cuánto vale la suma de todos los ángulos que se forman entre triángulos equiláteros contiguos?

Ahora, en vez de un cuadrilátero, tenemos un polígono de ocho lados convexo, y también dibujamos triángulos equiláteros sobre sus lados en el exterior de ese polígono. Hemos representado un polígono de ese tipo en el segundo dibujo.

Un octógono con triángulos

Un octógono con triángulos

b) ¿Cuánto vale la suma de todos los ángulos que se forman entre triángulos equiláteros contiguos?

Por último, imagina que dibujas un polígono de 1000 lados, que sea también convexo, y sobre cada lado un triángulo equilátero hacia fuera.

c) ¿Cuánto valdría la suma de todos los ángulos que formaran los triángulos equiláteros contiguos?

Solución

martes, 16 de noviembre de 2010

Canguro matemático 2011

Ya conocemos las fechas de este curso para la celebración del Canguro matemático. Al parecer, la actividad se llevará a cabo el día 17 de marzo de 2011 en toda Europa (Le Kangourou sans frontières), excepto aquellos que decidan realizarla en catalán/valenciano en la Comunidad Valenciana, que la celebrarán una semana después, el 24 de marzo.

Os recuerdo que se trata de un concurso por niveles, de 1º de la ESO a 2º de Bachillerato (según las ediciones), que consiste en resolver en una hora y cuarto 30 preguntas de matemáticas de tipo test (5 posibles respuestas de las que habitualmente sólo una es válida) de dificultad creciente.

En realidad, puede ser tomado como un divertido pasatiempo, incluso hay versiones para contestar a través de Internet y que te dan una puntuación inmediata. Anímate a participar, o anima a los que conozcas que estén en una edad apropiada.

La edición en castellano se organiza desde la página Canguro Matemático, donde podéis consultar otras edición o jugar al juego en Internet. La fecha límite para inscripción es el miércoles 22 de diciembre de 2010, y debes inscribirte en tu centro. Si en tu centro no se participa habitualmente, puedes encontrar los que participaron el año pasado e intentar que te inscriban a través de su centro. Otros años se ha celebrado por la tarde, pero aún no hay hora para este año.

La edición en catalán (ver la página del cangur) se coordina de forma diferente en Cataluña, la Comunidad Valenciana y las Islas Baleares, pero al parecer el plazo de inscripción acaba antes, el 17 de diciembre.

Puede que haya otras ediciones presentes en España, y también es posible que una prueba similar se organice en otros países de habla hispana (México, Argentina, Perú, ...), pero no tengo referencias. Si conocéis los detalles, comentadlos aquí e intentaré seguir en años sucesivos la convocatoria.

No quiero acabar sin agradecer a Jaume, pues su interés ha sido el que me ha llevado a informarme y preparar esta información. Espero que te sirva de algo, porque al parecer por su zona ningún centro concursa en la edición en castellano, y aún no tiene edad de participar en la catalana.

domingo, 14 de noviembre de 2010

Un difícil juego con polinomios

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Dado el polinomio P(X) = X4 + ⊡X3 + ⊡X2 + ⊡X + ⊡, en el que cada cuadrado ⊡ representa un hueco donde se colocar un coeficiente, se plantea el siguiente juego entre dos jugadores:

Alternativamente, el primer y el segundo jugador eligen un hueco vacío y colocan en él un entero no nulo hasta rellenar los cuatro huecos. Si el polinomio resultante tiene al menos dos raíces enteras gana el segundo jugador, en otro caso el ganador es el primero.

Prueba que, eligiendo la estrategia adecuada, el primer jugador siempre puede ganar.

Solución

jueves, 11 de noviembre de 2010

Números ocultos

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Vértices del cubo numerados

Vértices del cubo numerados

Hay un número escondido en cada vértice de este cubo. Los que se ven son falsos. Cada número falso es la media aritmética de los tres verdaderos más próximos.

Investiga cuáles son los números verdaderos.

Investiga propiedades numéricas que relacionen los verdaderos y los falsos.

Solución

domingo, 7 de noviembre de 2010

Los científicos

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Los 16 espacios

Los 16 espacios

Cuatro matemáticos de cuatro generaciones (abuelo, padre, hijo y nieto) se reúnen en un encuentro científico con cuatro físicos, cuatro químicos y cuatro biólogos, todos ellos con la misma relación de parentesco.

Como los científicos son tan peculiares, quieren sentarse en 16 pupitres que forman un cuadrado, de manera que en cada fila, en cada columna y en cada diagonal haya un abuelo, un padre, un hijo y un nieto, además de un representante de cada rama científica.

¿Puedes decirle a cada uno cómo ha de sentarse?

Solución

jueves, 4 de noviembre de 2010

Adivinanza

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

A Javi le encanta jugar con números. La otra tarde invitó a merendar a Nuria, que resolvió en pocos minutos este problema: He multiplicado un número por 3, después le he sumado 30, el resultado lo he dividido por 11, al resultado después le he restado 1 y al final lo he dividido por 7. El último resultado es 2. ¿Sabrías adivinar el número que he pensado?"

Solución

domingo, 31 de octubre de 2010

Otra ecuación con raíces

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:

(97- x)(1/4) + x(1/4) = 5

(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cuartas de 97 - x y x dé 5)

Solución

viernes, 29 de octubre de 2010

Alienígenas

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

En una novela de ciencia ficción se nos presenta a unos personajes que, pese a ser inmortales, cambian de aspecto frecuentemente.

Estos personajes son de tres colores: rojo, azul y verde. Algunos de ellos son esféricos y otros, piramidales.

Diariamente, el 80% de los rojos se convierten en azules, el 80% de los azules se vuelven verdes, y el 80% de los verdes, se vuelven rojos.

También varían sus formas, de manera que el 40% de los esféricos pasan a ser piramidales, y el 40% de los piramidales, pasan a ser esféricos.

Cierto día, la población de su planeta es como indica la siguiente tabla:

Rojos Azules Verdes
esféricos 6000 5000 3000
piramidales 9000 10000 4000

¿Cuántos personajes azules y esféricos habrá al día siguiente?

Aclaremos que los cambios ocurren de forma homogénea, es decir, podemos imaginar que el 80% de los rojos esféricos cambiarán su color a azul.

Solución

martes, 19 de octubre de 2010

Encuentro Preolímpico 2010 (II)

Se acerca la fecha del encuentro anual, y bastante gente ha confirmado su asistencia. Parece que en esta ocasión sí llenaremos el aula. Esperamos que el encuentro tenga éxito y el año que viene tengamos que usar el Salón de Actos.

La tarde la dividiremos en tres sesiones, que aproximadamente coincidirán con las horas: de 17:30 a 18:30, de 18:30 a 19:30 y de 19:30 a 20:30.

Empezaré con una batería de problemas explicados, pertenecientes a varias competiciones de bachillerato. Pretendo que en la muestra haya ejemplos de los tipos más habituales. Procuraré colgar de esta web los materiales que reparta.

La siguiente hora es la de los invitados, Juan Manuel Conde, junto con los participantes en otras competiciones, expondrán algunas de sus anécdotas y sensaciones en las competiciones que conocen. En un momento determinado, José Vicente Climent pasará a otra aula para exponer algunos problemas de la Olimpiada de Química.

Por último, tengo preparada una sesión lúdica y divulgativa sobre un tema poco conocido entre los estudiantes de enseñanza media, pero que resulta sorprendentemente útil para modelizar situaciones. En cierta forma, será un homenaje para un divulgador que nos ha dejado recientemente y que me influyó de forma decisiva en mi afición a esta rama de la ciencia: Martin Gardner.

Si hay alguien que tenga que irse a una hora determinada, o que no pueda asistir al principio, que no se preocupe. En ningún momento pondremos pegas para incorporarse o retirarse.

domingo, 17 de octubre de 2010

La tele

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Tengo 12 amigos, de los cuales:

• Uno ve los canales 1, 2 y 3 de la televisión.

• Tres ven los canales 1 y 2.

• Cuatro ven el canal 1 y el canal 3.

• Dos ven el canal 2 y el canal 3.

• Ninguno ve sólo el canal 2.

• Ninguno ve sólo el canal 3.

¿Cuántos de ellos ven sólo el canal 1?

Solución

viernes, 15 de octubre de 2010

Hallando coordenadas

Pruebas de selección para Estalmat 2010

Tabla de números

Tabla de números

Observa la tabla que acompaña a este problema, imaginando que es ilimitada hacia abajo y hacia los lados.

Cada número queda definido por la fila y la columna en la que se encuentra. Por ejemplo, el número 1 está en la fila 1 y en la columna 1, así diremos que sus coordenadas son (1, 1). El número 2 está en la fila 2 y columna -1, por tanto sus coordenadas son (2, -1). Las coordenadas de 4 son (2, 2), las de 18 son (5, -3), etc.

a) ¿Cuáles son las coordenadas del número 48? ¿Y cuáles son las de 1001? ¿Y las de 895? Explica tu razonamiento.

b) Encuentra el número cuyas coordenadas son (40, 30) y el de coordenadas (50, -10). Explica tu razonamiento.

c) Hay coordenadas, como (2, -4) (ver figura), que no representan ningún número. Si tenemos (100, b), ¿qué valores puede tomar b para que esas coordenadas representen un número de la tabla?

Solución

domingo, 10 de octubre de 2010

Luz en un triángulo

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Triángulo equilátero

Triángulo equilátero

Se considera un triángulo equilátero de lado 1 y centro O, como el de la figura. Un rayo parte de O y se refleja en los tres lados, AB, AC y BC, (en el orden dado), hasta alcanzar el vértice A.

Determina la longitud mínima del recorrido del rayo.

Nota: Cuando el rayo se refleja en un lado, los ángulos de entrada (incidencia) y salida (reflexión) coinciden.

Solución

jueves, 7 de octubre de 2010

Perímetros y áreas

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Tres semicírculos

Tres semicírculos

La figura de la imagen está formada por tres semicírculos. Los dos de la parte superior tienen la mitad del diámetro que el de abajo. El punto marcado como O es el punto de tangencia entre los dos semicírculos superiores.

Entre las rectas que pasan por el punto O:

a) ¿Cuántas dividen el perímetro de la figura en dos partes iguales?

b) ¿Cuántas dividen el área de la figura en dos partes iguales?

Solución

domingo, 3 de octubre de 2010

Área sombreada

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Área sombreada

Área sombreada

Calcula el área sombreada si suponemos que la medida del lado del cuadrado grande es L.

El círculo interior es tangente al cuadrado en los centros de los cuatro lados, y el cuadrado interior tiene los cuatro vértices sobre el borde del círculo. El área es la parte del círculo que no está dentro del cuadrado interior.

Solución

jueves, 30 de septiembre de 2010

2010 es un buen año

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Si consideramos todos los números pares entre 2 y 2010, hay cinco números pares consecutivos que suman exactamente 2010. Averigua de qué números se trata y comprueba que es cierto.

Solución

martes, 28 de septiembre de 2010

Encuentro Preolímpico 2010 (I)

De nuevo ponemos en marcha las primeras actividades de cada curso. Una de ellas es el Encuentro Preolímpico del Instituto Miguel Hernández de Alicante.

El Encuentro Preolímpico consiste en una reunión de una tarde de duración (tres horas, aproximadamente), totalmente gratuita para los participantes, que pretende informar sobre otras actividades y concursos de tema matemático, aunque este año también hablaremos algo de química, y disfrutar de las matemáticas entre gente que comparte esta afición.

El encuentro se organiza anualmente (este curso se lleva a cabo la cuarta edición) y no tiene ánimo competitivo, ni premios, ni regalos. Fundamentalmente se trata de entretener, informar y poner en contacto.

Está dirigido a estudiantes de bachillerato o 4º de ESO interesados en estas competiciones, residentes en Alicante y alrededores, y es organizado en el IES Miguel Hernández por profesores de matemáticas del mismo centro, aunque eventualmente han colaborado profesores de otros. Nos gustaría contar con más gente para futuras ediciones. La edición del curso 2010/11 aún no está cerrada, si eres docente puedes colaborar, más adelante está la dirección de contacto.

Para los alumnos de Bachillerato, la fecha será el 21 de octubre, jueves. Contaremos, probablemente, como los otros dos años que llevamos ya organizándola, con la presencia de Juan Manuel Conde Calero, jefe de equipo en numerosas ocasiones del equipo español en la Olimpiada Internacional e Iberoamericana. Este año ha acompañado a los nuestros hasta Astana (Kazajstán). Habrá actividades de resolución de problemas y alguna curiosidad matemática que no está totalmente perfilada. Probablemente acudan participantes en ediciones anteriores de la Olimpiada Española.

Como novedad, dedicaremos parte del tiempo a la Olimpiada de Química. Contaremos también con un participante en la competición del año pasado que nos hablará de su experiencia como primer clasificado local y séptimo nacional en esa prueba.

Para los alumnos de primer y segundo ciclo de la ESO trataremos de organizar una jornada similar en diciembre si todo va bien (el año pasado no fue posible).

La inscripción no es necesaria, pero resultaría conveniente, más que nada para saber con cuanta gente hemos de contar. Estará abierta hasta la semana anterior, enviad un correo con vuestro nombre a problemate (@) gmail.com.

Por otra parte, si eres profesor o profesional en matemáticas, y quieres organizar alguna actividad para este encuentro, puedes ponerte en contacto con nosotros en la misma dirección, problemate (@) gmail.com.

domingo, 26 de septiembre de 2010

Entre 2 y entre 3

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Halla todos los números naturales n que verifican la condición [n/2] + [2n/3] = n + 335, donde [x] es la parte entera de x (esto es, [1,32] = 1, [2] = 2, [1/2] = 0, [3,14159...] = 3, etc).

Solución

jueves, 23 de septiembre de 2010

El número

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Busca el número más pequeño que cumple que si lo divides por 24 da de resto 9 y si lo divides por 97 también da de resto 9.

Solución

martes, 21 de septiembre de 2010

IMC 2010

Cartel IMC año 2010

Cartel IMC año 2010

La Competición Internacional de Matemáticas para Estudiantes Universitarios se celebra anualmente en alguna universidad del mundo, y participan una gran cantidad (más de 300) de estudiantes de universidades repartidas por todo el globo (más de 80).

Se trata de una competición individual, aunque tradicionalmente las universidades agrupan sus concursantes en equipos de cuatro personas.

Los estudiantes (que deben cursar a lo sumo 4º curso en la universidad), deben enfrentarse a dos sesiones de 5 horas durante las cuales tratarán de resolver problemas de Álgebra, Análisis (real y complejo), Geometría y Combinatoria.

La dificultad de la prueba es grande, de forma que nadie suele responder correctamente todas las preguntas.

Hasta este año no había tenido noticia de este tipo de certámenes, y ha sido la participación de un muchacho de mi ciudad, Carlos Pastor Alcoceba (segundo premio, puesto 131 en la clasificación absoluta) lo que me ha hecho prestar atención a ellas.

Al parecer hay varias universidades de países de habla hispana que participan, aunque no suelen alcanzar los puestos de honor. La clasificación de Carlos es una de las más elevadas que han logrado estudiantes españoles. Concretamente, este año (edición número 17), podemos encontrar en el puesto 23, con un primer premio, a Regis Prado Barbosa, del brasileño Instituto Tecnológico de Aeronáutica. En el puesto 39, otro primer premio para Diego Cifuentes, que representa a un equipo llamado Olimpiadas Colombianas de Matemáticas. El primer español, en el puesto 64 (2º premio) es Arnau Messegué Buisan, de la Universitat Politecnica de Catalunya.

En la clasificación por grupos de las universidades participantes, puntúa la suma de los tres mejores resultados individuales y la media del equipo. En ella podemos encontrar en el puesto 16 el grupo de la Olimpiadas Colombianas de Matemáticas, en el 20 el Instituto Tecnológico de Aeronáutica, en el 25 la Universitat Politécnica de Catalunya, en el 50 la Universidad de Zaragoza, en el 52 la Universidad Complutense de Madrid, en el 58 la Universidad de Valencia (si bien es cierto que sólo presentó a 2 estudiantes), al igual que la Universidad Autónoma de Madrid, en el puesto 64, y después en los puestos 65 y 66, respectivamente, la Universidad Nacional de Colombia y la Universidad de Alicante, ambas con un único participante.

Esperemos seguir esta competición en próximas convocatorias, y utilizar alguno de sus problemas para preparar a nuestros alumnos.

domingo, 19 de septiembre de 2010

Feliz 2010

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

a) Razona que el número 2010 se puede expresar como la suma de los cuadrados de cinco números naturales consecutivos.

b) ¿Pertenece el 2010 a la familia de números 8, 34, 78, 140, 220,…? En caso afirmativo ¿Qué posición ocuparía?

Solución

jueves, 16 de septiembre de 2010

Bombillas

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Panel encendido

Panel encendido

Raúl ha montado un circuito eléctrico formado por 25 bombillas y 10 interruptores, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J como en el dibujo de la derecha.

Los interruptores A, B, C, D, E están en las líneas horizontales, y los F, G, H, I, J en las líneas verticales.

Si tocamos un interruptor cualquiera las 5 bombillas situadas en la línea del interruptor cambian de estado, es decir las que estaban encendidas se apagan y las que estaban apagadas se encienden.

Panel segundo

Panel segundo

a) Si inicialmente están todas encendidas, describe un proceso por el que se llegue a la situación de la segunda figura de la derecha, donde los puntos representan las bombillas que están encendidas y el resto están apagadas. Como verás, tienen un diseño de encendidos y apagados muy simétrico.

Tercer panel

Tercer panel

b) Si partimos de una situación como la del tercer panel de la figura adjunta donde los puntos son bombillas encendidas, manipulando los interruptores ¿se podría llegar a tener todas las bombillas apagadas? Razona tu respuesta o describe el orden de pasos que has encontrado.

Solución

domingo, 12 de septiembre de 2010

Se busca un triángulo

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Determina los lados del triángulo rectángulo del que se conocen el perímetro, 96 unidades, y la altura sobre la hipotenusa, que mide 96/5 unidades.

Solución

jueves, 9 de septiembre de 2010

El tren

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Un tren va de Castellón a Valencia. Hace diversas paradas y en cada una de ellas bajan 2 personas y suben 5 personas. El billete es único para todos los trayectos y cuesta 3,9 euros.

Cuando llega a Valencia hay 124 pasajeros a bordo y la recaudación asciende a 569,4 euros.

¿Cuántos pasajeros salieron desde Castellón?

Solución

domingo, 5 de septiembre de 2010

El vendedor

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Un vendedor de regaliz vende trozos de troncos de regaliz atados con un cordel, por una cierta cantidad. Podemos suponer que los trozos son todos de la misma longitud y grosor, y las longitudes de los cordeles que usa son similares.

El vendedor piensa que si usa un cordel el doble de largo, unirá el doble de cantidad de regaliz.

¿Está en lo cierto? ¿Qué pasará, en realidad?

Solución

jueves, 2 de septiembre de 2010

Hace falta llegar puntualmente

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Carmeta quiere llevar su reloj a reparar porque observa que se retrasa 5 segundos cada hora. A las 00:00 de hoy sábado ha puesto su reloj en hora. El sábado que viene, a las 00:00 horas, ¿qué hora indicará el reloj?

Solución

domingo, 29 de agosto de 2010

Conjuntos de impares

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Sea In el conjunto de los n primeros números naturales impares.

Por ejemplo: I3 = {1, 3, 5}, I6 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, etc.

¿Para qué números n el conjunto In se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas?

Solución

jueves, 26 de agosto de 2010

Cuadrado y triángulo

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Triángulo dentro de un cuadrado

Triángulo dentro de un cuadrado

En el interior de un cuadrado de lado 1 se traza un triángulo equilátero de forma que uno de sus vértices está sobre uno de los del cuadrado, y los otros dos sobre los lados que tienen el vértice contrario del cuadrado en común.

Averigua el área del triángulo.

Solución

martes, 24 de agosto de 2010

Preparar la Olimpiada Matemática: Bibliografía

Varios alumnos, y algunos visitantes de este blog me han preguntado repetidas veces por los títulos de libros que deben usar para leer, y el tipo de matemáticas que deben preparar para presentarse a los concursos de Olimpiada Matemática. En colaboración con mi amigo Pablo Ruiz Pianelo hemos preparado una entrada para responder a esas dudas, y que nos sirva de guía para preparar a futuros concursantes.

Esta entrada va dirigida a concursos de nivel Bachillerato (16-18 años), aunque muchos aficionados menores que tengan un nivel avanzado pueden seguir los consejos que vamos a dar. También aficionados a los problemas de matemáticas que ya han pasado esta edad pueden encontrar gratificante esta guía, sobre todo si quieren ayudar a futuros concursantes.

En primer lugar, debo decir que la mejor forma aprender a resolver problemas es leyendo problemas resueltos, y descubriendo las estrategias que emplean, las afirmaciones que se pueden dar por supuestas y cosas así. Tal vez el mejor libro que se puede leer que teoriza sobre la resolución de problemas es el de G. Polya, Cómo plantear y resolver problemas.

Los problemas de la categoría que nos ocupa se suelen plantear dentro de los siguientes bloques temáticos:

- Álgebra (Ecuaciones y ecuaciones funcionales)

- Álgebra (Inecuaciones)

- Variable entera (Ecuaciones diofánticas, divisibilidad)

- Probabilidad y Combinatoria

- Geometría

- Problemas diversos.

Generalmente se evitan todos los apartados relacionados con el cálculo infinitesimal (óptimos generalizados, derivación, integración, áreas generalizadas,...) ya que en muchos países este tipo de materia se suele cursar en niveles universitarios.

Muchos de los libros que se van a citar pueden ser encontrados, de formas más o menos extrañas, en formato que permite su lectura en un ordenador o en un libro electrónico, aunque también se suelen poder adquirir en formato papel para su disfrute.

Los primeros que voy a aconsejar son dos libros de problemas resueltos del nivel, con listado de conocimientos básicos utilizados para su estudio. Aunque ambos contienen algún error, su lectura nos da numerosas ideas.

El libro 10 Olimpiadas Iberoamericanas de Matemática expone problemas de esta olimpiada. Editado por la OEI.

El libro Manual de matemáticas para preparación olímpica, editado por la UJI, también es fácil de localizar, y contiene mucho material teórico y bastantes ejemplos de problemas para resolver.

Más modesto es Olimpiada Matemática Distrito Universitario de Valencia, de Rafael Pérez Fuentes, que no sé si se podrá adquirir todavía.

Yo aprendí en su momento con el Olimpiadas Matemáticas de Samuel L. Greitzer, aunque imagino que será difícil de conseguir.

Hay una referencia bibliográfica muy completa en la revista de la olimpiada iberoamericana de matemáticas (que de por sí es una lectura bastante recomendable), escrita por Francisco Bellot. Muchos libros puede que estén disponibles en bibliotecas universitarias o a la venta por Amazon u otros servicios.

Los siguientes libros los recomienda Pablo Ruiz por haberlos usado en su preparación.

Problemas de Geometría y Planimetría, de I. Shariguin. Una increíble cantidad de problemas de geometría con dos niveles. En el nivel superior hay diversos resultados importantes.

Resolución de ecuaciones en números enteros. A. O. Guelfond (apenas tiene 60 hojas creo recordar, pero trata de un tema muy importante en las olimpiadas: Ecuaciones Diofánticas).

Y en inglés también ha hecho una relación muy completa.

102 Combinatorial Problems by Titu Andreescu and Zuming Feng

103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team by Titu Andreescu and Zuming Feng

104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team by Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Zuming Feng

Complex Numbers from A to ...Z by Titu Andreescu and Dorin Andrica

Mathematical Olympiads 1998–-1999: Problems and Solutions from Around the World (MAA Problem Book Series) by Titu Andreescu and Zuming Feng (de este tipo tiene bastantes)

The IMO Compedium, este tiene resueltas todas las imo's de 1959 hasta 2004. Mathematical Olympiad in China, Xiong Bing, Lee Peng Yee. Con el esquema de problemas-solución.

En general todos los libros de Titu Andreescu están muy bien, con una gran cantidad de problemas y soluciones. Se pueden encontrar en Amazon y supongo que en algún sitio más. Además, en la editorial MIR rusa podemos encontrar numerosos libros muy interesantes.

Si mis lectores comentan libros interesantes, puede que haga más artículos de este tipo recopilándolos.

lunes, 23 de agosto de 2010

La edad de la abuela de María

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

La abuela de María tiene una edad que es tal que si la elevamos al cuadrado y el resultado lo volvemos a elevar a la cuarta, a este último resultado le realizamos la raíz cuadrada y para acabar lo dividimos por los años que tiene la abuela de María, entonces, obtenemos un número de seis cifras que comienza por 3 y acaba en 8.

¿Cuántos años tiene la abuela de María?

Solución

jueves, 19 de agosto de 2010

Torre de cubos

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Torre de cubos

Torre de cubos

Con cubos de un metro de arista construimos torres como la que te mostramos. (Observa que ésta tiene cuatro pisos, pero las podemos construir de cualquier número de pisos).

Observa que la construcción se apoya siempre en conjuntos de cubos más numerosos, y que si quitas el piso inferior se queda una torre de un piso menos.

Queremos pegar pegatinas en las caras visibles de los cubos, es decir, que no estén tapadas por otro cubo ni estén apoyándose en el suelo.

a) Según la cantidad de pisos que tenga la torre podremos pegar un número determinado de pegatinas. Completa la siguiente tabla:

Número de pisos 1 2 3 4 5 6

Número de pegatinas que es posible pegar

b) ¿Qué altura tendrá que tener la torre para colocar 180 pegatinas?

c) ¿Podrías encontrar una formula que relacione que el número de caras visibles y los pisos de la torre?

Solución

domingo, 15 de agosto de 2010

Un número de cuatro cifras

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Averigua qué números de cuatro cifras [abcd] (con a distinto 0), son iguales a [ab]2 + [cd]2 − [cd].

Se debe entender el número [xyz] como el formado por las cifras x, y y z, es decir, los tres son números enteros entre 0 y 9 y z representa unidades, y decenas y x centenas, en este caso.

Solución

viernes, 13 de agosto de 2010

Suma nueves

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Consideramos el número S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 9999...9999, siendo el último sumando un número escrito con 99 nueves en la base decimal habitual.

Determina la suma de los dígitos del número S.

Solución

lunes, 9 de agosto de 2010

Las bicicletas

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Nueve amigos se compran una bicicleta cada uno.

Por una parte, sabemos que la media aritmética del precio de ocho de las bicicletas es de 82€.

Por otra, sabemos que la bicicleta que nos falta cuesta 64€ más que la media aritmética de todas las bicicletas.

¿Cuánto cuesta esta última bicicleta?

Solución

jueves, 5 de agosto de 2010

De celebración

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Los alumnos de sexto de primaria de un colegio fueron a celebrar el final de curso a un restaurante. Pidieron en total 65 platos que compartieron de la siguiente manera: los platos de ensalada los compartieron cada 4, las pizzas cada 3 y los postres cada 2.

¿Podrías averiguar cuántos estudiantes fueron a la comida?

Solución

domingo, 1 de agosto de 2010

Una ecuación complicada

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:

(1729 - x)(1/3) + x(1/3) = 19

(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cúbicas de 1729 - x y x dé 19)

Solución

jueves, 29 de julio de 2010

El gran producto

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

¿Podrías decir en qué cifra acaba el producto 327653*779578?

(Por si no se ve bien, se trata de 3 elevado a 27653 por 7 elevado a 79578)

Solución

martes, 27 de julio de 2010

Nueva página de problemas

En esta ocasión uso esta entrada para hacerme eco del nacimiento de una nueva página de problemas matemáticos. Normalmente, suelo descubrir las páginas que recomiendo gracias a avisos de lectores, o a búsquedas por Internet, pero ahora sabía de su aparición con alguna antelación, y el aviso sólo ha sido una confirmación.

Mi antiguo alumno, y ahora amigo, Pablo Ruiz Pianelo ha creado una página (Problemas Matemáticos) donde recogerá los problemas que más le hayan llamado la atención durante su preparación y participación en concursos de problemas.

Según me ha dicho, en breve pondrá soluciones a esos problemas. Promete ser una página interesante dentro del tema que nos ocupa. Ánimo, Pablo.

Para mí es motivo de orgullo que un alumno que se ha formado en mi centro dedique parte de su tiempo y su esfuerzo a la divulgación.

domingo, 25 de julio de 2010

Dos ciclistas

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Recorrido ciclista

Recorrido ciclista

El siguiente plano muestra el recorrido de dos ciclistas que parten simultáneamente del punto A, con la misma velocidad constante de un paso por segundo (un paso es la distancia vertical u horizontal entre dos puntos consecutivos de la trama). Resuelve las cuestiones siguientes:

a) Haz una tabla de valores y una gráfica que muestre la distancia (en pasos) que ha habido entre los dos en todo el recorrido, en función del tiempo.

b) Si los dos llevan un intercomunicador con un alcance de tres pasos ¿en qué momentos se han podido comunicar?

Solución

jueves, 22 de julio de 2010

Números coloreados

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Los números se colorean de rojo, verde o azul con las siguientes condiciones que no pueden entrar en contradicción:

* La suma de dos números de color azul da un número de color verde.

* La suma de dos números de color verde da un número de color azul.

* El resto de los números son de color rojo.

a) Si el número uno se pinta de color verde, ¿de qué color serían los números del 1 hasta el 10?

b) Si el número uno se pinta de color verde, como antes, ¿de qué color sería el número 125? ¿Y el 381?

c) Si el número uno se pinta de color azul, ¿de qué color sería el número 2009?

Solución

domingo, 18 de julio de 2010

Plantando árboles

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Un jardinero tiene que plantar en una fila a lo largo de un camino tres robles, cuatro encinas y cinco hayas.

Planta los arboles al azar; siendo la probabilidad de plantar un árbol u otro la misma.

Halla la probabilidad de que, una vez plantados todos los arboles, no haya dos hayas consecutivas.

Solución

jueves, 15 de julio de 2010

Área desconocida

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

En un cuadrado ABCD de lado 18 centímetros, se toma un punto E sobre el lado AB de forma que EB = 5*AE. Se trazan EC y la diagonal DB, que se cortan en F.

Encuentra el área del triángulo BFC.

Solución

martes, 13 de julio de 2010

Resultados de la IMO 2010

Ya se han hecho públicos, en la página oficial de la Olimpiada Internacional, los resultados de la presente edición. Voy a analizar los resultados generales, individuales, y los de los países de habla hispana más destacados.

En primer lugar, por equipos, se distingue de nuevo el éxito de la representación de la República Popular China, que repite título por tercer año consecutivo. Desde 1999 siempre acaba en primer o segundo puesto, y sólo en tres ocasiones de esos últimos 12 años ha quedado segunda. Una trayectoria por equipos difícilmente mejorable.

En segundo lugar nos volvemos a encontrar otro país que siempre destaca, la Federación Rusa. También suele ocupar los primeros puestos, ha mejorado el tercer puesto del año pasado.

En tercer lugar, los Estados Unidos de América, que mejora el sexto puesto del año anterior. Aunque desde 1994 no ocupa la primera posición suele tener buenos resultados.

Más rezagados encontramos la República de Corea (cuarta por tercera vez consecutiva), Kazajastán, que consigue un quinto puesto que es el mejor de su historia (fueron sextos en 1991, pero han sido sus únicos dos resultados por encima del décimo), empatados con este último encontramos a Tailandia, que consiguen su mejor clasificación de la historia (sus tres últimos resultados han sido las únicas ocasiones que han estado entre los 10 primeros). Detrás está Japón, que desciende notablemente desde el segundo puesto del año pasado a puestos más frecuentes en su historial, Turquía, que consigue por tercera vez consecutiva un octavo puesto, su mejor clasificación, Alemania, que repite noveno puesto, y Serbia, que consigue por primera vez en su (reciente) historia un décimo puesto, su mejor clasificación.

En cuanto a los países de habla hispana, el primero que encontramos es a Perú, en el puesto 18, (segundo mejor resultado histórico), que parece haberse situado en una situación mejor en los últimos tres años, México, en el puesto 33, que es el mejor puesto desde 2006. Después Brasil, en un puesto 35 después de dos años bajando del 20, Argentina, en el puesto 39, más o menos como vienen haciendo en las últimas ediciones, y España, en el 46, segundo mejor resultado desde el de 2008 (teniendo en cuenta el número de equipos participantes).

En cuanto a los resultados individuales, hay un ganador absoluto, único acertante de todas las preguntas, que es el chino Zipei Nie, que aún tiene 17 años y era la primera vez que participaba en esta competición.

En segunda posición. a sólo 3 puntos de 42, Evan O'Dorney, participante estadounidense que se lleva su tercera medalla (dos de plata y esta de oro), aunque sólo tiene 16 años.

En tercera posición, con 37 puntos, Teodor von Burg, de Serbia, que con 17 años es la cuarta vez que participa (dos oros, una plata y un bronce).

Empatados a 36 puntos hay nada menos que tres personas, Melih Ucer, de Turquía, Lisa Sauermann, la mujer mejor clasificada, de Alemania, y Jialun Li, de la República Popular China.

En cuanto a los resultados de los hispanohablantes, George Arzeno, de Puerto Rico ha obtenido medalla de oro (29 puntos) en su segunda participación, empatado con José Gustavo García Sulca, de Perú (primera participación con 15 años).

Con 26 puntos, la medalla de plata más alta del año, encontramos a Reynaldo Gil Pons, de Cuba, en su segunda participación, con 24 a Miguel Maurizio, de Argentina (tercera participación), con 23 y también plata, a Moisés Herradón, de España, en su tercera participación, con 22 Marcelo Tadeu de Sá Oliveira Sales, de Brasil y Daniel Perales Anaya, de México.

Cuando tenga más tiempo, trataré de hacer un análisis más detallado de las participaciones de algunos países en la IMO. Agradecería que los concursantes que estuviesen dispuestos a colaborar para hablar de sus impresiones (y/o resolver para los lectores del blog algunos de los problemas) se pusiesen en contacto conmigo dejando un comentario o a través del correo problemate (@) gmail.com.

sábado, 10 de julio de 2010

La altura misteriosa

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Calcula la altura del ángulo recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sobre cada lado de un triángulo se tienen tres semicircunferencias cuyas longitudes son 3π centímetros, 4π centímetros y 5π centímetros.

Solución

viernes, 9 de julio de 2010

Problemas de la IMO 2010

Estos problemas son de bastante dificultad. Los propongo como información relativa al tema de la página, pero no voy a exponer la solución, al menos en bastante tiempo, ya que exponerla de forma adecuada me llevaría mucho tiempo.

Los tres primeros se propusieron en la primera sesión (miércoles), y los siguientes en la segunda (jueves). Cada sesión tiene una duración de 4 horas y media.

Problema 1

Determine todas las funciones f : R → R tales que

f([x]y) = f(x)[f(y)]

para todos los números x, y ∈ R.

([z] denota el mayor entero que es menor o igual que z.)

Problema 2

Sea ABC un triángulo, I su incentro y Γ su circunferencia circunscrita.

La recta AI corta de nuevo a Γ en D.

Sean E un punto en el arco BDC y F un punto en el lado BC tales que el ángulo BAF es igual a CAE y ambos son menores que la mitad de BAC.

Sea G el punto medio del segmento IF.

Demuestre que las rectas DG y EI se cortan sobre Γ.

Problema 3

Sea N el conjunto de los enteros positivos.

Determine todas las funciones g : N → N tales que (g(m) + n)(m + g(n)) es un cuadrado perfecto para todo m, n ∈ N.

Problema 4

Sea Γ la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y P un punto en el interior del triángulo.

Las rectas AP, BP y CP cortan de nuevo a Γ en los puntos K, L y M, respectivamente.

La recta tangente a Γ en C corta a la recta AB en S.

Si se tiene que SC = SP, demuestre que MK = ML.

Problema 5

En cada una de las seis cajas B1, B2, B3, B4, B5, B6 hay inicialmente sólo una moneda.

Se permiten dos tipos de operaciones:

Tipo 1: Elegir una caja no vacía Bj, con 1 ≤ j ≤ 5. Retirar una moneda de Bj y añadir dos monedas a Bj+1.

Tipo 2: Elegir una caja no vacía Bk, con 1 ≤ k ≤ 4. Retirar una moneda de Bk e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) Bk+1 y Bk+2.

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas B1, B2, B3, B4, B5 vacías y a la caja B6 con exactamente 201020102010 monedas.

(Observe que abc = a(bc).)

Problema 6

Sea a1, a2, a3, . . . una sucesión de números reales positivos.

Se tiene que para algún entero positivo s, an = max{ak + an−k tal que 1 ≤ k ≤ n − 1} para todo n > s.

Demuestre que existen enteros positivos ℓ y N, con ℓ ≤ s, tales que an = a + an−ℓ para todo n ≥ N.

jueves, 8 de julio de 2010

Demasiado trabajo

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Consideremos los 2010 primeros números naturales 1, 2, ..., 2010. Separemos los pares y los impares. Tendremos 1005 pares y 1005 números impares.

Supongamos que multiplicamos todos los pares entre sí. Investiga en qué cifra acaba el producto.

¿Y si multiplicáramos todos los impares entre sí, en qué cifra acabaría el producto?

Solución

martes, 6 de julio de 2010

IMO 2010 en Astaná (Kazajistán)

De nuevo está en marcha la edición anual de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Este año se celebra en la capital de Kazajistán, Astaná. Se trata de la edición número 51. Se espera la participación de 98 países, seis menos que el año pasado. Los participantes ya deben estar allí, y la ceremonia de apertura es hoy, día 6 de julio. Mañana y pasado serán las pruebas y muy pronto tendremos los resultados oficiales. Voy a realizar una breve reseña de los participantes más destacados, aunque eso es algo subjetivo. Si quieres conocer más detalles te puedes pasar por la página oficial.

Se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.

En primer lugar, hablaré de la selección de España. Dos participantes repiten de la delegación del año pasado. Ander Lamaisón, bronce en 2009, encabeza la delegación tras conseguir el primer puesto en la OME. Moisés Herradón, todo un veterano tras dos participaciones (medalla de bronce en 2009, mención honorífica en 2008) tratará de incrementar aún más su palmarés. Los otros cuatro concursantes son nuevos en esto, pero no dudo que harán todo lo posible para lograr un éxito. Xavier Fernández-Real y Guillem Alsina están en último año de los estudios secundarios, por lo que será su primera y última participación, mientras que Pablo Boixeda aún tendrá una oportunidad más, y Óscar Rivero aún cursa 4º de ESO, por lo que puede convertirse en otro asiduo de la competición, al estilo de Moisés. En el historial de España, la mejor participación por equipos se considera la de 2008, en la que se lograron tres medallas de bronce y tres menciones honoríficas, si bien en el historial de la delegación española figuran tres medallas de plata en total.

Una concursante que participó con éxito el año pasado con mucho éxito es Lisa Sauermann, de Alemania. Será la cuarta edición para esta alemana, que lleva una plata y dos oros. El año pasado acabó tercera a tan sólo un punto de los dos que empataron en el primer puesto. Esta será su última participación, pero estoy seguro de que le espera un brillante futuro. También el concursante japonés Akio Kishikawa, cuarto el año pasado, participa de nuevo en su último año. Es el único de su país que repite participación. Sin embargo hay varios de la República Democrática de Corea que repiten participación, entre los que destaca Un Song Ri, también cuarto el año pasado.

En cuanto a otros países de habla hispana, México participa con un equipo muy joven, con un único participante que repite (Flavio Hernández González, mención honorífica en 2009), y un jovencísimo Diego Alonso Roque Montoya de sólo 14 años. Probablemente, también Daniel Perales Anaya, de 16, tendrá más oportunidades en el futuro. Su mejor clasificación fue en 2006, con una medalla de oro, dos platas y un bronce.

Desde Colombia envían sólo cuatro participantes, de los que destacan por edad Angela Maria Castañeda Oviedo y Juan Camilo Azuero Mutis, de 16 años. Su mejor resultado histórico fue en 2005, con dos platas y dos bronces (aunque en 1998 un colombiano consiguió el oro).

Desde Argentina envían un equipo con tres concursantes nuevos y tres que ya participaron en 2009 (para Miguel Maurizio, mención honorífica en 2009, será la tercera participación). Queda lejos la mejor participación, en 2001, con tres platas y dos bronces). En su historial hay tres medallas de oro.

El país más sorprendente es, sin duda, Perú. Envía un equipo de seis concursantes muy jóvenes, en el que destaca un jovencísimo Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de 12 años y que ya consiguió medalla de bronce en 2009. Es el único que repite, por lo que se da la circunstancia de que es también el más veterano del grupo. La progresión de este país en los últimos años ha sido muy buena, destacando los resultados de 2008 (una medalla de oro, la única de su historia, tres platas y dos bronces).

Otra sorpresa, en esta ocasión negativa es la no participación de Chile.

Venezuela participa con sólo dos concursantes, que ya participaron en años anteriores.

Ecuador participa con dos concursantes veteranos y también varios jóvenes (Carlos Cortéz sólo tiene 14 años).

Quedan muchos otros países que participan, si quieres que comente alguno con más detalle, o bien quieres conocer algún nombre de concursante más de algún país, deja un comentario.

domingo, 4 de julio de 2010

Conjuntos especiales

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Decimos que un conjunto E de números naturales es especial cuando al tomar dos elementos cualesquiera distintos a, b del conjunto E se tiene que (a − b)2 divide al producto ab.

(a) Encuentra un conjunto especial formado por tres elementos.

(b) ¿Existe un conjunto especial formado por cuatro números naturales que están en progresión aritmética?

Solución

jueves, 1 de julio de 2010

Con dos dados

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Al tirar dos dados observamos el número de cada cara, y calculamos la suma de los dos números.

¿Qué probabilidad es mayor: "La suma de las dos caras es múltiplo de 5" o bien "la suma de las dos caras es múltiplo de 6"?

Solución

martes, 29 de junio de 2010

Enlaces de junio 2010

He pasado mucho tiempo sin poner una entrada dedicada a enlaces, sobre todo por falta de tiempo. Durante este periodo he acumulado muchos, de los que os voy a recomendar unas cuantas visitas.

En primer lugar, una página de la Real Sociedad Matemática Española, Divulgamat. Es una página imprescindible si te gustan las matemáticas. En el menú hay muchas secciones interesantes, incluida una de retos matemáticos, varias de libros de matemáticas y otra de cultura y matemáticas, en la que se habla, por ejemplo, de cine.

Otra página que debo citar es La otra cara de la moneda, que si bien no está centrada en matemáticas sí que se ocupa de ella, así como de curiosidades de otras ciencias. Está escrita por un visitante frecuente de este blog.

La siguiente página es una página fundamentalmente escrita en inglés, aunque tiene una parte también en francés. Procede de Canadá, y es la de la revista Crux Mathematicorum. Esta revista es muy interesante, y tiene problemas para niveles desde 15 años hacia arriba. Los números antiguos están totalmente disponibles, y de los modernos sólo podemos consultar gratuitamente la sección Mayhem. Cuando tenga tiempo de sobra, puede que me suscriba a la revista.

Por último, aunque no menos importante, citar un enlace imprescindible si te gusta la resolución de problemas, la página The Art Of Solving Problem, donde encontramos abundante material, así como una rica comunidad que publica la mayoría de los problemas que surgen en casi todas las competiciones de cierta entidad a nivel mundial.

domingo, 27 de junio de 2010

La paga semanal

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Tres amigos, Marc, Pere y Josep reciben una paga semanal. Averigua cuánto dinero recibe cada uno a partir de las siguientes afirmaciones, sabiendo que sólo dos de las tres afirmaciones que hace cada uno de ellos son ciertas.

Marc dice: "He recibido menos que Pere. Josep recibe 3€ más que Pere. Pere recibe 10€.".

Pere dice: "Tengo 2€ menos que Josep de paga. He recibido 9€. Mi paga es 1€ superior a la de Marc.".

Josep dice:"Hay 3€ de diferencia entre Marc y yo. No soy el que menos recibe. Marc obtiene 12€ de paga.".

Solución

jueves, 24 de junio de 2010

Cromos

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Juan colecciona cromos de los dos equipos de fútbol que hay en su ciudad, el equipo A y el equipo B. Los cromos los pega en las 6 hojas de un álbum, de modo que en cada hoja o bien hay jugadores del equipo A o bien del equipo B, pero nunca están mezclados. El número de cromos que hay pegados en cada hoja son 6, 12, 14, 15, 23 y 29. Juan, señalando una de las hojas, afirma: “si regalo esta hoja de cromos, quedarán el doble de cromos del equipo A que del equipo B”.

a) ¿Es posible que la hoja a la que se refiere Juan sea la de 14 cromos?

b) ¿Podría ser la de 15 cromos?

c) ¿Y la de 12 cromos?

d) Formula un criterio sencillo para decidir qué hojas no podría regalar.

Solución

domingo, 20 de junio de 2010

Un punto del tetraedro

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Se considera un punto E de la arista AB de un tetraedro regular ABCD.

Determina razonadamente cuándo el valor del ángulo CED es máximo.

Solución

jueves, 17 de junio de 2010

Matrícula enigmática

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Miquel intenta hacerle una adivinanza a Jaume para que adivine el número de la matrícula de su coche (de 4 cifras). Para ello le dice que encuentre el menor número de 4 cifras que cumpla:

- Es múltiplo de 6

- Su primera y tercera cifras son números consecutivos en orden creciente, así como las cifras segunda y cuarta.

- El número formado por las cifras segunda y cuarta también es múltiplo de 3.

¿Encontrará Jaume la matrícula del coche de Miquel? ¿O será que Miquel está engañando a Jaume? Que alguien diga el número, si existe.

Nota: se considera la primera cifra la de las unidades de millar.

Solución

domingo, 13 de junio de 2010

Septilandia

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Septilandia es un país muy particular por lo que respecta a las monedas. La moneda oficial es el urilondio y las únicas monedas de que disponen son las de 7 y 10 eurilondios.

A causa de su larga experiencia, los septimanos tienen una extraordinaria habilidad para hacer sus pagos con sólo los valores de estas dos monedas.

Por ejemplo, para pagar la entrada al cine, que cuesta 6 eurilondios, pagan con dos de 10 y le devuelven dos de 7 (2*10 - 2*7 = 20 - 14 = 6).

¿Qué monedas haría falta usar para pagar una comida de 8 eurilondios?

¿Y si costara 9?

¿Y un periódico de 2 eurilondios?

¿Y un viaje de 269 eurilondios?

Solución

sábado, 5 de junio de 2010

Camino de baldosas

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Tipos de baldosa

Tipos de baldosa

En casa de Marta hay un camino que une la puerta del jardín con la puerta de la casa que mide nueve metros de largo y uno de ancho. Queremos recubrir el camino y tenemos dos clases de baldosas: baldosas cuadradas de 1mx1m de color negro y baldosas rectangulares de 2mx1m de color blanco.

a) ¿De cuántas formas se puede embaldosar el camino si utilizamos una baldosa negra y las demás blancas?

b) Si utilizamos tres baldosas negras, ¿de cuántas maneras se puede embaldosar el camino?

c) Y si utilizamos cinco baldosas negras, ¿de cuántas formas se puede hacer?

Solución

domingo, 30 de mayo de 2010

Tablero de 16

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Supongamos que tenemos un tablero con dieciséis casillas dispuestas en cuatro filas y cuatro columnas.

(a) Prueba que se pueden colocar siete fichas, nunca dos en la misma casilla, de forma que al eliminar dos filas y dos columnas cualesquiera, siempre quede alguna ficha sin eliminar.

(b) Prueba que si se colocan seis fichas, nunca dos en la misma casilla, siempre se puede eliminar dos filas y dos columnas de forma que todas las fichas sean eliminadas.

Solución

jueves, 27 de mayo de 2010

Otra zona sombreada

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Zona sombreada

Zona sombreada

En un rectángulo de 30 por 10 centímetros se marca el punto medio del lado superior, B, y los dos del lado inferior, A y C, que dividen el lado en tres segmentos iguales. ¿Puedes calcular el área de la zona sombreada?

Solución

domingo, 23 de mayo de 2010

Foto de equipo

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Los 10 miembros de un equipo, que llevan números en sus camisetas, se sientan en una mesa circular. Los números de sus camisetas, en el sentido de las agujas del reloj, aparecen en el orden siguiente: 2 – 8 – 9 – 0 – 7 – 1 – 5 – 4 – 6 – 3 .

En un momento determinado,se levantan todos de la mesa, respetando el orden en el sentido de las agujas del reloj, y se hacen una foto en tres grupos, de forma que el número formado por el primer grupo, multiplicado por el que forma el segundo grupo, da como resultado el número del tercer grupo.

En ningún momento se cambian de posición con respecto al de la mesa, y el orden del primer, segundo y tercer grupo están marcados por su posición (siempre en el sentido de las agujas del reloj).

¿Sabrías decir qué números salen en cada foto?

Solución

viernes, 21 de mayo de 2010

Dulce y pesada

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Un recipiente metálico lleno de miel pesa 6 kg, y lleno de gasolina pesa 3,5 kg. ¿Cuánto pesa el recipiente, sabiendo que la miel pesa el doble que la gasolina?

Solución

martes, 18 de mayo de 2010

Convocatoria Estalmat 2010

Como todos los años por estas fechas, llega la convocatoria de Estalmat, en esta ocasión la del curso 2010.

Estalmat es un programa que se lleva a cabo los sábados, con gente de toda la comunidad autónoma a la que le gustan las matemáticas.

En mi caso, me refiero a la comunidad valenciana, en España, pero proyectos con el mismo nombre se llevan a cabo en la práctica totalidad de España, y en otros países, con nombres diferentes.

El sábado 29 es la prueba de selección, así que si tenéis un conocido de 11 ó 12 años (nacido en el 98 o en el 97) al que le gusten, avisadle.

Difunde esta información a todos tus conocidos, para que no quede nadie sin avisar. En el enlace ( página oficial de Estalmat ) podéis encontrar más detalles.

Hay un folleto para descargar, que puedes encontrar en el siguiente enlace.

Las pruebas son en las sedes de las universidades implicadas, puedes inscribirte en cualquiera de ellas.

domingo, 16 de mayo de 2010

Equivalencia entre propiedades

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Sea el triángulo ABC, donde M es el punto medio de AB, N el punto medio de BC y P el punto medio de AC.

a) Demuestra que si ABC es obtusángulo en A, AN es menor que PM.

b) Demuestra que si AN es menor que PM, ABC es obtusángulo en A.

Solución

viernes, 14 de mayo de 2010

Reciclando

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Tenemos una fábrica en la que utilizamos un producto embotellado, que fabricamos nosotros mismos. A partir del plástico que se usa en 4 botellas, una vez utilizadas, si lo fundimos, podemos hacer otra botella nueva.

Si compramos material para hacer 1000 botellas, y usamos 20 diarias para envasar el producto que usamos (se supone que recuperamos todas una vez usadas, al día siguiente) ¿cuántos días podemos estar produciendo antes de necesitar más material?

Solución: próximamente

martes, 11 de mayo de 2010

Resultados de la primera fase de la OMCV (2010)

Este año vamos algo retrasados en fechas. Hace poco que se han publicado los resultados de la fase comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, y ya el próximo sábado es la fase provincial.

Las localidades escogidas para la celebración de esta fase son: San Vicente del Raspeig (Alicante), Castellón (Castellón) y Gandía (Valencia). De estas convocatorias saldrán los 24 concursantes por categoría que participarán en la final autonómica, que este año tendrá lugar en Orihuela (Alicante).

En cuanto a la selección local de mi provincia, que es la que más me preocupa, pues incluye a mis alumnos, cuatro alumnos de mi centro han sido seleccionados.

En primaria (no participamos por ser un centro de secundaria), sólo 10 de los 30 seleccionados son de la ciudad de Alicante, y de ellos sólo uno (Yoel Sebastián Allais, del Colegio Público Prácticas - La Aneja), pertenece a los centros asignados a mi centro o próximos. Otro alumno del mismo centro queda como suplente, Tiao Godoy Lasserre.

Como curiosidad, citar la clasificación de un alumno del Colegio Público Nuestra Señora de la Paz, centro al que aviso directamente por correo de este tipo de convocatorias. Veo que sirve para algo.

En primer ciclo de secundaria, sólo se ha clasificado de nuestro centro Yézer Mellado Ruiz, que además es alumno mío. Citar también que hay siete alumnos de la ciudad de Alicante, entre ellos Ana Navarro Vicente, del IES San Blas e hija de una compañera y amiga. También quería citar a Luis Joaquín Guilló Garri, alumno de mi antiguo centro Montserrat Roig y único alumno clasificado de Elche.

En segundo ciclo de secundaria hemos logrado tres clasificados de mi centro, Henar Baeza Carretero, que aún es alumna de 3º de ESO, Julen Rebollo Múgica, medallista de la Olimpiada de Mayo del año pasado (y alumno mío del año pasado), y Daniel Torregrosa Carretero, que también es alumno mío, este curso. En este nivel de nuevo son 10 los clasificados de Alicante. Entre los seleccionados podemos encontrar a David Pardo Simón, hermano de Leticia, que fue medalla de plata en la Olimpiada Matemática Española.

En cuanto a otras provincias, puedo citar a Ignacio Molina Pérez, con el que he mantenido cierta correspondencia.

En Castellón no hay fase comarcal, es decir, todos los inscritos participan en la fase provincial. Buena suerte, Jaume.

domingo, 9 de mayo de 2010

Pintando un logotipo

Logotipo para decorar

Logotipo para decorar

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Tenemos que decorar la siguiente figura usando únicamente los colores Rojo, Verde y Azul. ¿De cuántas formas diferentes lo podemos hacer, sin pintar zonas con lados en común del mismo color?

Solución

jueves, 6 de mayo de 2010

Buenos hermanos

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Tomás, Pablo y Marc Adrià son tres hermanos de 11, 8 y 5 años de edad respectivamente. Entre los tres juntos suman 63 euros. Pero Tomás tiene el doble de dinero que Pablo, y éste el doble que Marc Adrià.

¿Cuánto debería dar el mayor a los otros dos hermanos para que todos tengan la misma cantidad de dinero?

Solución

domingo, 2 de mayo de 2010

Desigualdad entre sumas y productos

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Supongamos que a, b y c son tres números reales positivos. Demuestra que si a + b + c < 1/2 , entonces (a + 1)(b + 1)(c + 1) < 2

Solución

jueves, 29 de abril de 2010

Sacos muy pesados

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

En un almacén hemos guardado cuatro sacos de patatas, que pesaban una cantidad entera de kilos, es decir, sin decimales. Sin embargo, no anotamos lo que pesaba cada una de ellas.

La báscula de la que disponemos sólo pesa cantidades mayores de 100 kilogramos, ya que es una báscula industrial, y ninguno de los sacos pesa esa cantidad. Si los juntamos a pares, sólo cuatro pares pesan más de 100 kilogramos, uno de ellos pesa 101, otro par 112, otro par 116 y otro par 127.

¿Puedes decir cuánto pesan los cuatro sacos?

Solución

lunes, 26 de abril de 2010

Goleadores

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Tres futbolistas de un equipo, Antonio, Bartolo y Carlos, han conseguido durante la temporada 50 goles.

Sabiendo que entre Antonio y Bartolo han conseguido 34, y que entre Antonio y Carlos han conseguido 36, ¿podrías decir los que ha conseguido cada uno?

Solución

jueves, 22 de abril de 2010

Contando rectángulos

Cuenta rectángulos

Cuenta rectángulos

Olimpiada Ñandú, primer nivel del certamen interescolar, 2009

En la imagen puedes ver una figura formada por unas líneas paralelas y perpendiculares.

Debes decir cuántos rectángulos forman, y explicar brevemente cómo has hecho la cuenta.

Solución

martes, 20 de abril de 2010

Resultados de la 46 Olimpiada Matemática Española

Ya se conocen en detalle los resultados de la fase nacional de la XLVI edición de la Olimpiada Matemática Española, que se celebró en Valladolid, el pasado 26 y 27 de marzo.

Los seis ganadores, que obtienen medalla de oro, los encabeza Ander Lamaison Vidarte (IES "Tierra Estella", Estella/Lizarra, Navarra), que ya obtuvo medalla de oro el año pasado (quinto).

En segundo lugar, Moisés Herradón Cueto (IES San Juan Bautista, Madrid), que ya fue primero el año pasado y que será la tercera vez que representa a España en una fase internacional.

En tercer lugar Byoung-Tae Bae, del Colegio Americano de Madrid. Según parece, es de origen coreano y lleva poco tiempo en España, motivo por el cual es posible que no pueda representar a España en el campeonato internacional, quedando libre su puesto para la primera medalla de plata.

En cuarta posición quedó Xavier Fernández-Real Girona (IES J. Vicens Vives, Girona), que el año anterior fue medalla de bronce.

El quinto fue Pablo Boixeda Álvarez (Colegio Alemán de Madrid, Madrid) que el año pasado fue medalla de plata.

En sexto lugar, Guillem Alsina Oriol (IES Jaume Callís, Vic, Barcelona) que también fue medalla de plata el año pasado.

En séptimo lugar, aunque posiblemente ocupe plaza en la representación española en la Olimpiada Internacional, está Óscar Rivero Salgado (IES Cidade de Antioquía, Xinzo de Limia, Ourense), que no obtuvo ninguna distinción anteriormente.

De estos siete participantes, cuatro (Ander, Moisés, Xavier y Guillem) cursan 2º de bachillerato, por lo que probablemente será su última participación en esta prueba, mientras que Byoung-Tae y Pablo cursan en la actualidad 1º de bachillerato, por lo que pueden volver el año que viene. Es destacable que el séptimo clasificado, Óscar, todavía está en 4º de ESO, con lo que podrá volver a presentarse hasta dos veces más.

También con medalla de plata encontramos a Gerard, Ignacio, Francisco, Ferrán, Juan Carlos, Bru, Alberto, Darío, Jesús, Jesús María y Leticia, que provienen, respectivamente, de Girona, Madrid, Madrid, Sant Just Desvern (Barcelona), Torremolinos (Málaga), Girona, Madrid, Barcelona, Cartagena (Murcia), Madrid y Orihuela (Alicante).

A esta última, primera representante de mi provincia, la conozco personalmente. Se trata de la chica mejor clasificada tanto el año pasado (bronce) como éste (plata).

Los clasificados en posición de medalla de bronce son tal vez demasiados para citarlos en este pequeño artículo, pero os puedo asegurar que provienen de rincones de lo más diverso de España. Podéis ver la lista de los nombres en la página de resultados de la olimpiada.

Las diferencias entre unos y otros han sido escasas, y hay varios entre las medallas de plata y bronce que aún están en 4º de ESO, y muchos en 1º de Bachillerato. A buen seguro volveremos a saber de ellos el año que viene. Incluso aparece un participante cursando 3º de ESO, aunque no ha conseguido medalla este año.

Solución: próximamente

domingo, 18 de abril de 2010

Triángulo primo

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

En el siguiente triángulo de números, llamado triángulo primo, cada par de números de una misma fila suman un número primo, y cada fila empieza por 1 y acaba por un número más que la fila anterior.

Completa el triángulo hasta la fila que acaba en 15. Puede haber más de una forma de completar cada fila, pero nosotros nos conformamos con una. No hace falta que copies las 6 filas que ya tienes aquí.

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 4 3 2 5

1 4 3 2 5 6

1 4 3 2 5 6 7

Solución

jueves, 15 de abril de 2010

Mundocubo

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Mundocubo es un planeta que tiene la forma de un cubo perfecto. Está habitado desde tiempos inmemoriales, y hasta hace poco era gobernado por un tirano que falleció recientemente en un extraño accidente.

Mapa de Mundocubo

Mapa de Mundocubo

El planeta tiene sus seis caras divididas cada una de ellas en cuatro regiones totalmente idénticas en tamaño y forma, como verás en el mapa que acompaña a este enunciado.

El caso es que el dictador había repartido ya a sus sobrinos seis zonas para que fuesen los gobernantes en ellas, cada una de ellas en una cara (están marcadas en los planos), pero no había dado órdenes sobre cómo repartir las restantes regiones entre sus 9 herederos, sus hijos e hijas.

En muy breve plazo habrá una reunión entre los nueve en la que se decidirá cómo se reparten los territorios. Evidentemente, los nueve quieren territorios colindantes, es decir, que tengan una frontera común. Y tocan a dos regiones cada uno, aunque la mayoría no sabrían gobernar ni tan siquiera una comunidad de vecinos.

Para evitar males mayores tu misión es repartir sobre el plano los 18 territorios no asignados en parejas de territorios colindantes, puesto que ellos son incapaces, para que puedan elegir cuál se quedan. Será mejor incluso si les das varias opciones, porque así primero tendrán que decidir qué reparto usan, y por lo menos harán algo útil. La dificultad principal es que no tenemos ni idea de si es o no posible hacer el reparto, o de si la solución, caso de existir, es única.

Recuerda que el dibujo es sólo un plano. El planeta en realidad es cúbico.

Solución

domingo, 11 de abril de 2010

Desayuno

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

A mis dos hijos gemelos les gusta desayunar tostadas con mermelada, pero que no sea nunca del mismo tipo para los dos. Eso sí, la cantidad de mermelada que llevan sus tostadas debe ser siempre la misma (para los dos, aunque puede variar de día en día), o protestan enérgicamente. Incluso tienen una báscula para medirla.

Lo que pasa es que compro tres botes de mermelada de marcas diferentes, la de fresa tiene 500 gramos de mermelada, la de pera tiene 350 gramos y la de ciruela tiene 280 gramos.

Me gusta comprar los tres botes al mismo tiempo, y por eso quiero que me digas cómo debo elegir qué mermelada ponerles (y qué cantidad) para vaciar los tres botes totalmente antes de comprar nuevos.

Supongo que entenderás que menos de 10 gramos de mermelada es ridículo para una tostada, pero tampoco pongas más de 50, o se romperá al cogerla.

Solución

jueves, 8 de abril de 2010

Comprando en la papelería

Olimpiada Ñandú, tercer nivel del certamen interescolar, 2009

En la papelería, cada cuaderno cuesta 6€ y cada lápiz, 2€.

Por una promoción, descuentan la sexta parte del total del gasto.

Susana compró 2 docenas de lápices y algunos cuadernos y pagó 180€.

¿Cuántos cuadernos había comprado?

Solución

domingo, 4 de abril de 2010

Tarjetas adecuadas

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Tenemos un conjunto de tarjetas marcadas con los números del 1 al 98, usando dos dígitos distintos en todas ellas (01, 02, 03, ..., 98).

Un conjunto de estas tarjetas se llama conjunto adecuado si ninguna de las tarjetas del conjunto tiene el primer dígito igual al segundo dígito de otra tarjeta del conjunto.

Encuentra un conjunto adecuado que tenga una suma lo mayor posible, que no pueda superar otro conjunto adecuado. Explica porqué no se puede obtener un conjunto adecuado con una suma mayor.

Solución

jueves, 1 de abril de 2010

La fábrica de pastelitos (II)

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Una empresa produce un tipo de pastelitos envasados, que requieren tres máquinas distintas para su fabricación.

La máquina que mezcla los ingredientes y prepara la parte interna del dulce tarda 2 minutos en tener listos los pastelitos que van en una caja.

La máquina que recubre de una capa de chocolate y deja listo para su consumo tarda 5 minutos en preparar los pastelitos de cada bandeja que la primera máquina ha preparado para ella.

Por último, la máquina envasadora toma la bandeja de pastelitos recubiertos que prepara la recubridora y los envasa y prepara para su almacenaje en sólo 3 minutos. Al terminar el proceso los operarios pueden almacenar la caja, o llevarla al camión para su transporte.

Ninguna de las máquinas puede empezar con otra caja antes de haber terminado con la que está preparando.

La primera pregunta es doble: ¿Cuántas cajas produce en una jornada de 8 horas? ¿Cuánto tiempo está funcionando realmente cada una de las máquinas a lo largo de la jornada?

Ten en cuenta que no puedes guardar los pastelitos a medio producir en ningún sitio, ya que se estropearían.

La segunda parte del ejercicio es más complicada. Si la empresa puede comprar otra máquina (y sólo una) que le permita preparar más pastelitos ¿cuál de las tres debería comprar para aumentar al máximo la producción?

En ese caso ¿cuántas cajas produciría en una jornada de 8 horas? ¿Cuánto tiempo estarían funcionando las máquinas a lo largo de la jornada?

Solución

domingo, 28 de marzo de 2010

La fábrica de pastelitos

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

En esta ocasión probaremos con un problema práctico.

Una empresa produce un tipo de pastelitos envasados, que requieren tres máquinas distintas para su fabricación.

La máquina que mezcla los ingredientes y prepara la parte interna del dulce tarda 2 minutos en tener listos los pastelitos que van en una caja.

La máquina que recubre de una capa de chocolate y deja listo para su consumo tarda 5 minutos en preparar los pastelitos de cada bandeja que la primera máquina ha preparado para ella.

Por último, la máquina envasadora toma la bandeja de pastelitos recubiertos que prepara la recubridora y los envasa y prepara para su almacenaje en sólo 3 minutos. Al terminar el proceso los operarios pueden almacenar la caja, o llevarla al camión para su transporte.

Ninguna de las máquinas puede empezar con otra caja antes de haber terminado con la que está preparando.

La primera pregunta es muy sencilla. ¿Cuánto tiempo tarda en obtener la primera caja la empresa al empezar la jornada?

La segunda pregunta no es tan sencilla. ¿Cuántas cajas produce en una hora? ¿Y en una jornada de 8 horas? ¿Cuánto tiempo está funcionando realmente cada una de las máquinas en ambos casos? Ten en cuenta que no puedes guardar los pastelitos a medio producir en ningún sitio, ya que se estropearían.

Solución

jueves, 25 de marzo de 2010

Un rectángulo y un cuadrado

Olimpiada Ñandú, tercer nivel del certamen zonal, 2009

Formamos un rectángulo grande al unir un cuadrado a otro rectángulo más pequeño.

Si sabemos que el área del rectángulo grande mide 216 centímetros cuadrados, y que el perímetro del rectángulo pequeño mide el triple que el lado del cuadrado ¿cuánto mide el cuadrado, de lado y de área?

Solución

domingo, 21 de marzo de 2010

Sucesiones geométricas de Fibonacci

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este problema habla de ciertos tipos de sucesiones y sus propiedades.

Una sucesión se llama progresión geométrica si existe un número llamado razón que cumple que cada término de la sucesión se puede obtener multiplicando el anterior por la razón. Seguramente ya habrás estudiado este tipo de sucesiones.

Una sucesión se llama de Fibonacci si cada término a partir del tercero es suma de los dos anteriores. El ejemplo clásico de este tipo de sucesiones es la que forma 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., pero también se pueden construir muchas otras cambiando los dos primeros términos, por ejemplo 3, -1/2, 2 + 1/2, 2, 4 + 1/2, 6 + 1/2, ...

El problema que tienes que realizar pide demostrar los dos enunciados siguientes:

Si una sucesión no nula es simultáneamente progresión geométrica y de Fibonacci, entonces su razón es, o bien el número áureo, (√(5)+1)/2, o bien el opuesto de su inverso, (1-√(5))/2.

Además, si una progresión geométrica tiene una de esas dos razones, sea cual sea su primer término, entonces es una sucesión de fibonacci.

Solución