domingo, 17 de noviembre de 2013

Áreas y perímetros

Fase comarcal de Valencia de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

Dividimos un cuadrado grande en dos cuadrados más pequeños y dos rectángulos iguales. Las diagonales de los rectángulos miden 13 centímetros, y los perímetros de los dos cuadrados internos son, respectivamente, 20 y 48 centímetros.

Hemos dibujado el conjunto junto a estas líneas para que lo puedas ver. Las diagonales de los rectángulos que hemos dibujado unen dos vértices de los cuadrados internos.

Como vemos en la figura, hemos hecho varias copias de la anterior y hemos sombreado algunas de las zonas internas. Calcula el perímetro y el área de cada una de ellas.

En la primera, rellenamos los dos medios rectángulos que se tocan en un vértice.

En la segunda, rellenamos los dos medios rectángulos que se tocan en un vértice y el cuadrado menor.

En la tercera, el cuadrado mediano, un rectángulo y la mitad del otro que está en contacto con el cuadrado mediano.

En la cuarta, el cuadrado pequeño, un rectángulo y la mitad del otro que está en contacto con el cuadrado pequeño.

Solución:

sábado, 9 de noviembre de 2013

Desigualdad diofántica

Fase nacional de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Sean a, b y n enteros positivos tales que a > b y ab - 1 = n^2. Prueba que

a - b ≥ √(4n - 3)

Es decir, que la diferencia entre a y b siempre es mayor o igual que la raíz cuadrada de 4n - 3.

Indica justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.

Solución


lunes, 21 de octubre de 2013

Segmentos sin cortar

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Se marcan varios puntos distintos en un plano, y se trazan todos los segmentos determinados por esos puntos.

Una recta r no pasa por ninguno de los puntos marcados y corta a exactamente 60 de los segmentos que hemos trazado.

¿Cuántos segmentos no están cortados por r?

Dar todas las posibilidades.

Solución

Tal vez mi problema favorito de esta convocatoria ¿podrás resolverlo?

sábado, 5 de octubre de 2013

Rellenando el tablero

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

Disponemos de un tablero cuadrado de 64 casillas, cada una de 3 centímetros de lado, y de fichas de damas de 3 centímetros de diámetro.

¿Cuál es el número máximo de fichas que pueden colocarse en el tablero, sin colocar una encima de otra ni traspasar sus bordes?

Solución

domingo, 22 de septiembre de 2013

La ropa

Fase comarcal de Valencia de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

Amparo se compra un pantalón, un suéter y un abrigo.

Cuando va a pagar, la dependienta le da los siguientes datos:

"El pantalón y el suéter cuestan 55€, el pantalón y el abrigo cuestan 112€, y el suéter y el abrigo cuestan 91€."

¿Cuánto cuesta cada pieza de ropa por separado?

Solución

domingo, 15 de septiembre de 2013

Multiplicación grande, resultado pequeño

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Demuestra que el producto de los dos mil trece primeros términos de la sucesión an = 1 + 1/n3 no llega a valer 3.

Solución

jueves, 5 de septiembre de 2013

Usando la regla y el trisector

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Se dispone de una regla sin números y de un trisector, que marca en cualquier segmento los dos puntos que lo dividen en tres partes iguales.

Construir el punto medio de un segmento dado utilizando exclusivamente estas dos herramientas.

Solución

Otro curioso problema de esta gran competición. En esta ocasión recurre a un instrumento imaginario, el trisector. ¿Podrás encontrar la forma de usarlo?

sábado, 24 de agosto de 2013

El juego de los múltiplos

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

Luis y Elena van a formar cada uno de ellos un número de tres cifras. Para ello, eligen alternativamente un dígito cada uno entre los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (los dígitos no se pueden repetir).

Luis gana si el número formado es múltiplo de 3. En caso contrario, gana Elena.

a)Si empieza eligiendo Luis, ¿cuál es la estrategia ganadora que puede seguir?

b)Si empieza eligiendo Elena, ¿sigue habiendo estrategia ganadora para Luis?

c)Si eligen los números al azar, ¿qué probabilidad de ganar tendría Luis?

Nota: la estrategia ganadora consiste en describir los pasos que debe dar Luis para que, haga lo que haga Elena, ganar siempre.

Solución

domingo, 4 de agosto de 2013

Los triángulos

Fase comarcal de Valencia de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

Si dibujamos cuatro líneas como se ve en la figura, formando el triángulo OAB y la altura que llega a O, y trazamos 100 rectas paralelas al segmento AB, de forma que corten todas ellas a los segmentos OA y OB ¿cuántos triángulos obtendríamos?

Solución:

Trata de contar los que aparecen si sólo hacemos una línea, si hacemos dos, ..., hasta que estés preparado para pensar cuántos habría con 100.

sábado, 27 de julio de 2013

Un baile con poca diferencia

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

En una sala de baile hay 15 chicos y 15 chicas dispuestos en dos filas paralelas de manera que se formarán 15 parejas de baile.

Sucede que la diferencia de altura entre el chico y la chica de cada pareja no supera los 10 centímetros.

Demuestra que, si colocamos a los chicos y a las chicas en dos filas paralelas en orden creciente de estaturas, las parejas que se formen tomando de forma ordenada los miembros de las dos filas que están enfrentados, en ese caso tampoco superarán una diferencia de 10 centímetros.

Solución:

domingo, 21 de julio de 2013

Páginas de un libro

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Sofía sumó los números de las páginas de un libro empezando por el 1 de la primera página y obtuvo 2013. Pablo vio cómo hacía la suma y se dio cuenta de que se saltó una página. ¿Cuántas páginas tiene el libro y qué número de página que se saltó?

Solución

Éste es el primer ejercicio de segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2013. Es una competición cuyos problemas me parecen muy interesantes, espero que a mis visitantes también.

domingo, 7 de abril de 2013

Saludos en el patio

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

En el patio de un Instituto hay 70 chicos alineados en 7 filas y 10 columnas. Cada uno da la
mano a todos los que están a su alrededor -por ejemplo, el que está situado en una esquina
daría la mano a tres compañeros- ¿Cuántos saludos hubo en total?

Y en el caso de que formasen m filas y n columnas, ¿cuántos saludos habría en total?

Solución:

martes, 19 de marzo de 2013

Gallinas en el mercado

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

Dos granjeras han vendido las gallinas en el mercado, y han obtenido ambas la misma cantidad de dinero.

Si yo hubiese vendido las mías -dijo la primera- al precio que has puesto tú las tuyas, habría obtenido 100 monedas.

Si yo hubiera puesto el mismo precio que tú, nada más habría obtenido 36 monedas -dijo la segunda.

¿Cuántas gallinas habría vendido cada una, si en total no han llegado a vender una docena?

Solución

sábado, 9 de marzo de 2013

El año 2012

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

a) Empezando por el número 26, construimos una lista de números de la siguiente forma: cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del número anterior. Es decir, el segundo número de la lista es el 40, el tercero es 16, el cuarto es 37 y así sucesivamente.

Si empezamos por el número 2012 ¿cuál será el número que ocupa el lugar 2.012?

b)En la sucesión de números: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6,...

¿Cuál sería el término que ocupa el lugar 2012?

Solución

viernes, 22 de febrero de 2013

Áreas y triángulos

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012


En un triángulo similar al del dibujo, se ha trazado una linea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo).

El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u2.

Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).

Solución

lunes, 18 de febrero de 2013

Criterio de divisibilidad

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Dado un numero entero n escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el numero entero k restando del numero formado por las tres ultimas cifras de n el numero formado por las cifras anteriores restantes.

Demostrar que n es divisible por 7, 11 o 13 si y solo si k también lo es.

Solución

lunes, 11 de febrero de 2013

Números de tres cifras

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

¿Cuántos números naturales de tres cifras verifican que el producto de la cifra de las unidades por la de las decenas coincide con la cifra de las centenas?

Solución

jueves, 7 de febrero de 2013

Repartiendo la tarta

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

Ana quiere repartir una tarta cuadrada de 30 centímetros de lado entre 5 personas, de forma que reciban la misma cantidad de tarta. El primer corte lo hace partiendo del centro del cuadrado hasta el borde de la tarta, a 10 centímetros de una esquina.

Si el resto de cortes los hace también en línea recta y partiendo del centro ¿cómo corta la tarta?

Si imponemos la condición de que la longitud de borde de la tarta correspondiente a cada trozo sea un número entero, y que los trozos tengan la misma cantidad, ¿entre cuántas personas podría hacerse el reparto?

Solución

viernes, 1 de febrero de 2013

Cuadrados con condiciones

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

Encuentra todos los valores enteros de n que hacen que la expresión n/(20 - n) sea un cuadrado perfecto.

Espero que no tengas que probar muchos valores diferentes en esa expresión para encontrarlos, sino que emplees un método más directo.

Solución

miércoles, 23 de enero de 2013

Raíces que suman lo mismo

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Prueba que las sumas de las primeras, segundas y terceras potencias de las raíces del polinomio de tercer grado x3 + 2x 2 + 3x + 4 valen lo mismo.

He decidido retomar la publicación de problemas en el blog, aunque sea de manera más espaciada. Al menos publicaré un problema por semana, rebuscando entre los de competición y preparación, de diferentes niveles, y poniendo una solución en cuanto pueda.

Solución