martes, 30 de diciembre de 2008

Olimpiadas y Canguros

Van apareciendo fechas definitivas para algunas de las competiciones, y cambiando otras. Recopilo algunas por si a alguien se le han pasado por alto.

En primer lugar, la Olimpiada de Matemáticas Española (OME), que convoca la Real Sociedad Matemática Española, ya tiene fechas oficiales: la primera fase se celebrará entre el 23 y el 24 de enero, en las universidades que colaboren en su organización (en el caso de mis alumnos, en la Universidad de Alicante). Los tres primeros resultarán premiados con un premio en metálico entre los 380 y los 220 euros. La segunda fase, la nacional, se celebrará en Sant Feliu de Guíxols (Girona) entre los días 26 y 29 de marzo de 2009. En esta fase se entregarán 6 medallas de oro, con un premio en metálico de 750 euros, 12 de plata y 18 de bronce. Los mejor clasificados, habitualmente, representan a España en la Olimpiada Internacional, que este año se celebra en Bremen (República Federal de Alemania) en julio. De su participación en estas competiciones, también se decidirá el equipo que participa la Olimpiada Iberoamericana, que este año se celebra en Santiago de Querétaro (Méjico), en septiembre. Podemos encontrar toda esta información en la página de la OME.

En otro orden de cosas, en la competición Canguro Matemático nos han ampliado el plazo de inscripción de los alumnos hasta el 18 de enero, así que dejaremos un poco más de margen para presentarse a nuestros alumnos. La fecha de celebración de las pruebas sigue siendo el 24 de marzo.

Respecto a la Olimpiada de la Comunidad Valenciana también hay novedades, según el blog oficial de la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana, la fase comarcal (a nosotros nos corresponde, como siempre, Mutxamel) se celebra el 4 de abril, la fase provincial el 9 de mayo (a los alicantinos les corresponde visitar Teulada), y la fase de la Comunidad Valenciana se celebrará en Benicarló el 6 y el 7 de junio.

Espero que toda esta información os sea de utilidad. Buena entrada de año a todos los lectores.

domingo, 28 de diciembre de 2008

Cuadriláteros enteros

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Las longitudes de los lados y de las diagonales de un cuadrilátero convexo plano ABCD son números racionales. Si las diagonales AC y BD se cortan en el punto O, demuestra que la longitud OA es también racional.

Solución

jueves, 25 de diciembre de 2008

Triangulitis

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Un hexágono dividido

Un hexágono regular de 2 cm. de lado se puede descomponer en triángulos equiláteros de 1 cm. de lado, como se indica en el dibujo.

¿Cuánto mide el lado del menor hexágono que contiene 2008 triángulos equiláteros de 1 cm. de lado?

Solución

domingo, 21 de diciembre de 2008

Después del encuentro, un descanso

Estoy muy contento del resultado del Encuentro Preolímpico de Matemáticas. Podría haber ido mejor, pero dudo que hubiésemos podido manejar la situación con mucha más gente. Nos reunimos más de 50 personas, la mayoría de primer ciclo de la ESO, pero muchos también de 3º y 4º, y la reunión siguió el plan previsto.

Durante una hora, aproximadamente, desgranamos los tres problemas, que muchos habían visto pero no habían podido resolver totalmente, y hablamos sobre las peculiaridades de alguno de ellos (por ejemplo, contamos cómo preparar un torneo de encuentros entre dos de cualquier cantidad de equipos). Además, tratamos un par de problemas nuevos que habíamos preparado para la ocasión, que creo que eran muy originales y novedosos. Si a alguien le interesa y no está en contacto con nosotros, puede dejar un comentario con su dirección (no se hará pública, por supuesto) y se los enviaré.

Después, durante una hora más, nos dedicamos a hablar de las competiciones de problemas de matemáticas a las que pueden tener acceso a lo largo de este ciclo. Algunos de los participantes en anteriores ediciones nos contaron sus experiencias (agradecemos a todos su colaboración), y Salvador Caballero, que coordina la organización de alguna de las pruebas, nos contó algunos de los detalles y fechas de la edición de este año. También se repartió una hoja de enlaces interesantes.

La tercera hora la usamos con un grupo de 1º de ESO para contarles el funcionamiento de un programa que es muy útil para aprender geometría, el Geogebra, mientras que los demás nos reunimos en un aula para comprender parte de los secretos matemáticos que esconde el famoso cubo de Rubik.

Ahora, aún nos queda el trabajo de recopilar todas las direcciones para confirmarlas y utilizarlas para enviar información y avisos de fechas para concursos.

Personalmente, esta semana se me ha amontonado terriblemente el trabajo, de forma que he tenido que aplazar la publicación de problemas y soluciones, espero que sepáis disculparme. Después de Navidad estaré de nuevo añadiendo contenido al blog. Hasta entonces.

domingo, 14 de diciembre de 2008

Poniendo paréntesis

XIV Olimpiada de Mayo, primer problema del segundo nivel, 2008

En la pizarra está escrita la siguiente expresión: 1 - 2 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 210.

Juan intercala paréntesis de distintas maneras y efectúa el cálculo que queda. Por ejemplo así: 1 - 2 - (22 - 23) - 24 - (25 - 26 - 27) - 28 - (29 - 210) = 403. También puede hacerlo así: 1 - (2 - 22 - (23 - 24) - (25 - 26 - 27)) - (28 - 29) - 210 = -933.

¿Cuántos resultados diferentes puede obtener Juan?

Solución

jueves, 11 de diciembre de 2008

El peso de una baldosa y media

(Fase provincial de Castellón de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Si una baldosa pesa lo que media baldosa y 2 kilogramos, ¿cuánto pesa una baldosa y media?

Solución

martes, 9 de diciembre de 2008

Encuentro Preolímpico y Canguro Matemático

Como ya dije en un comentario anterior, el día 18 celebramos otra jornada del Encuentro Preolímpico. Pero esa fecha coincide con el fin del plazo para inscribirse en otra interesante actividad, a la que voy a dedicar también esta entrada en el blog, el concurso Canguro Matemático (XVI edición castellana, XIV catalana/valenciana).

Se trata de un concurso por niveles (de 1º de ESO a 2º de Bachillerato para la edición en castellano, de 3º de ESO a 2º de Bachillerato en la edición en valenciano/catalán), en el que los alumnos deben resolver en una hora y cuarto 30 preguntas de matemáticas de tipo test (5 posibles respuestas de las que habitualmente sólo una es válida) de dificultad creciente.

Todos los participantes serán obsequiados con un regalo y se les hará entrega de un diploma en un acto posterior a la prueba, que tendrá lugar el día 24 de marzo (edición castellana) o el 25 de marzo (edición valenciana/catalana).

Para más información, o para leer los problemas de otros años, pueden consultar la web de la convocatoria en castellano o de la convocatoria de la edición en catalán.

En cuanto a nuestro encuentro, la recepción de participantes sigue adelante. Puedes descargar e imprimir la convocatoria, los problemas para los alumnos de primero y segundo de la ESO, y los problemas para los alumnos de tercero y cuarto de la ESO. Ánimo y participa.

domingo, 7 de diciembre de 2008

Dividiendo un triángulo

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Sea p ≥ 3 un número primo. Se divide cada lado de un triángulo en p partes iguales y se une cada uno de los puntos de división con el vértice opuesto. Calcula el número máximo de regiones, disjuntas dos a dos, en que queda dividido el triángulo.

Solución

jueves, 4 de diciembre de 2008

Un tablero recubierto

XIV Olimpiada de Mayo, quinto problema del segundo nivel, 2008

Piezas distintas

Piezas distintas

Matías cubrió un tablero cuadrado de 7 × 7, dividido en casillas de 1 × 1, con piezas de los siguientes tres tipos: la de tipo 1, tiene tres cuadrados en ángulo, la de tipo 2, cuatro cuadrados formando un cuadrado mayor, y la de tipo 3, cuatro cuadrados formando un 2.

Cubrió el tablero sin huecos ni superposiciones, y sin salirse del tablero.

Cada pieza del tipo 1 cubre exactamente 3 casillas y cada pieza del tipo 2 o del tipo 3 cubre exactamente 4 casillas.

Determina la cantidad de piezas del tipo 1 que pudo haber usado Matías.

(Ten en cuenta que las piezas se pueden girar y dar vuelta.)

Solución

martes, 2 de diciembre de 2008

Entrevista con Moisés Herradón

Moisés Herradón es un estudiante que ha participado en varias competiciones de problemas de matemáticas, logrando una buena posición en la fase final de la última Olimpiada Española de Matemáticas, y participando como representante español tanto en la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), donde consiguió una mención honorífica, como en la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (OIM), donde obtuvo una medalla de bronce.

Hace un tiempo conseguí contactar con él y me pareció interesante hacerle unas preguntas para que los lectores de este blog conozcan un poco más a la gente que participa (con éxito) en este tipo de eventos.

¿Nos puedes decir tu edad, de dónde eres y dónde estudias?

Tengo 16 años, y soy de Madrid. Hasta hace un año estudiaba en el colegio Brains, de Alcobendas. En la actualidad, estudio en el IES San Juan Bautista.

Cuéntanos cómo has llegado a participar en la Olimpiada Internacional y una en la Iberoamericana.

¿Como he acabado en la olimpiada? Pues empecé participando en el concurso de primavera cuando estaba en sexto de primaria, me gustó y desde entonces fui conociendo todo lo que organizan en Madrid. Ese año me presenté a la olimpiada de mayo y a la prueba de Estalmat.

Desde entonces fui presentándome a los concursos de matemáticas que hay, hasta que en 3º de ESO probé suerte en la fase local de la olimpiada. Ese año no pasé a la fase nacional, pero éste lo volví a intentar y fui la nacional, y tuve suerte y quedé el último de los que iban a la IMO.

¿Crees que influye el centro donde estudias en tus logros en los concursos de problemas? ¿Qué factores crees que son importantes?

No, no creo que el centro de estudios haya influido para nada en cualquier cosa que haya conseguido.

Lo que sí creo que ha influido es que de pequeño entre mis padres y algunos libros hicieron que me empezara a interesar por la ciencia, y luego en Estalmat aprendí muchas cosas, completamente distintas de lo que se da en el instituto, y de manera mucho más lúdica y participativa..

¿A qué edad empezó a interesarte la matemática?

Yo creo que me empezó a interesar de verdad a los 12 años, cuando empecé a ir a las clases de Estalmat

¿Te has presentado a otros concursos, además de la Olimpiada Española?

Sí, al Concurso de Primavera, a la Olimpiada de Mayo, al Intercentros y al Puig Adam todos los años que he podido.

¿Perteneces a algún colectivo relacionado con las matemáticas (estalmat, clubes de problemas, ...)?

A Estalmat

¿Te influyó alguien en tu habilidad de forma decisiva? (Un profesor, un familiar, una amistad...)

En estalmat aprendí muchísimo, y además allí te das cuenta de que las matemáticas no se parecen nada a los ejercicios mecánicos del instituto. Antes de eso mi padre, que es químico, me explicaba cosas de matemáticas desde pequeño.

¿Tienes más aficiones, además de los problemas?

Pues claro que tengo más aficiones (!!!???). Me gusta mucho la música, toco la guitarra y el piano, también me gusta salir con mis amigos, leer...

Ya imaginaba, lo que pasa es que a veces, cuando uno destaca en algo, piensas que lo disfruta tanto que puede que no le quede tiempo para otras cosas, pero veo que no es tu caso. ¿Qué tienes pensado estudiar en la Universidad? (o cuando acabes tu etapa en secundaria)

No lo tengo muy decidido, pero seguramente alguna carrera de ciencias y probablemente matemáticas

¿Has dedicado mucho tiempo a prepararte para la Olimpiada Internacional?

Pues antes de ir estuve yendo los sábados a clases de preparación con gente de Madrid y exolímpicos, y un par de semanas antes de la olimpiada estuve haciendo problemas en mi casa.

¿Crees que con más preparación, o variando algún otro factor (evidentemente, sin conocer las preguntas, claro) se podría haber mejorado el resultado obtenido en la IMO?

Hombre, siempre es posible prepararte más, y siempre conseguirás mejores resultados, hasta llegar al punto de equipos como china que llegan a hacer miles de problemas en los años anteriores a la olimpiada. Yo creo que perjudicaron mucho los nervios en la prueba, y si esa prueba la hubiésemos hecho en una clase, creo que varios habrían sacado plata en la olimpiada.

¿Qué destacarías de la experiencia de participar en este tipo de concursos, a nivel personal?

La posibilidad de conocer a seiscientos personas de tu edad de todo el mundo. No creo que tenga otra oportunidad así de otra forma.

¿Piensas que estas actividades benefician también a los que no ganan? ¿Y a la sociedad en general? ¿Por qué?

Cualquiera que esté allí se va a beneficiar del ambiente de compañerismo que hay, y hacer amigos de toda España o del mundo con gustos parecidos a los tuyos. A la sociedad, bueno, se lleva beneficiando desde siempre de las matemáticas, y yo creo que está muy bien que salgan jóvenes matemáticos y científicos de las olimpiadas.

Gracias por contestar estas preguntas, Moisés. Si alguien deja alguna cuestión interesante en los comentarios del blog, te la enviaré para que comentes algo. Hasta siempre.

Actualización: He cambiado el centro de estudios, porque desde que le hice las preguntas ha cambiado de centro. Gracias por la rectificación.

domingo, 30 de noviembre de 2008

Hablando de divisores...

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

¿Cuántos números naturales de 1 a 1000 no son divisibles ni por 3 ni por 7 ni por 11?

Solución

viernes, 28 de noviembre de 2008

Alumnos superados

XIV Olimpiada de Mayo, segundo problema del primer nivel, 2008

En el colegio Olímpico los exámenes se califican con números enteros, la menor nota posible es 0, y la mayor es 10. En la clase de aritmética el profesor toma dos exámenes. Este año tiene 15 alumnos. Cuando uno de sus alumnos obtiene en el primer examen menos de 3 y en el segundo examen más de 7, él lo llama alumno superado. El profesor, al terminar de corregir los exámenes, promedió las 30 notas y obtuvo 8.

¿Cuál es la mayor cantidad de alumnos superados que pudo haber tenido esta clase?

Solución

miércoles, 26 de noviembre de 2008

Encuentro Preolímpico de la ESO

Encuentro Preolímipico de Matemáticas de Alicante

Seguimos organizando esta actividad José Antonio Mora, del IES San Blas y varios profesores del IES Miguel Hernández, junto con todos los voluntarios que quieran participar en este proyecto.

Esta segunda jornada, el 18 de diciembre por la tarde, juntaremos en el IES Miguel Hernández a los estudiantes de la E.S.O. (de 1º a 4º, de 12 a 15 años) interesados en presentarse a concursos o competiciones de matemáticas, o sencillamente en la resolución de problemas, para lograr que se conozcan entre ellos e informarles sobre el tipo de competiciones a las que se pueden presentar, las pruebas que deben superar, conozcan páginas web, y que hablen con otros alumnos que, recientemente, hayan participado en ese nivel.

Pensamos que este tipo de encuentros pueden ser interesantes, tanto para los alumnos que empiezan en esto, como para los que llevan algún tiempo concursando.

El encuentro tendrá lugar el 18 de diciembre de 2008, por la tarde (de 17:30 a 20:30), y la competición en la que estará centrado es en la Olimpiada Matemática que organiza la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana Al-Khwarizmi (Societat d'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi).

La inscripción se realizará por correo electrónico, sencillamente enviando un mensaje a la dirección problematemh(arroba)yahoo.es, indicando los siguientes datos: Nombre, edad, etapa en la que está matriculado en el curso 2008-09, centro de procedencia, y un correo electrónico de contacto. Para facilitar cambios de última hora, se agradecería (aunque no es imprescindible) un teléfono de un responsable por centro, para poder avisar con una única llamada a todos los estudiantes de ese instituto o colegio. Con un único correo se pueden inscribir varios estudiantes. La asistencia será gratuita.

Los datos que se envíen se utilizarán exclusivamente para fines de organización del evento, siendo destruidos a continuación, salvo que se manifieste el deseo por parte del asistente a participar en una lista de correo, para futuros contactos, en cuyo caso se mantendrán los necesarios para este fin.

Antes de la celebración del encuentro se enviará un material por correo electrónico para preparar alguna actividad (aunque no será imprescindible para participar).

A falta de perfilar el programa, nos reuniremos a las 17:30, se confeccionarán los grupos de alumnos (preparados para que no se conozcan previamente), se repartirán unos cuantos problemas con algún guión (pistas), y se acudirá a la zona de trabajo (aulas). Después de un rato en el que se contestará a preguntas y se supervise la resolución de los problemas, se les impartirán las charlas, tanto de los profesores que tengan algo que decirles como de alumnos con alguna experiencia. Después, un tiempo para intercambio de datos y direcciones, y despedida.

Espero que también escriban a esta dirección profesores con ganas de aportar, tanto sugerencias como colaboración (seguro que vendrá bien que asistáis y nos contéis vuestras experiencias). Tal vez en otra ocasión podamos montar un grupo de trabajo para los profesores.

lunes, 24 de noviembre de 2008

Los puntos del producto constante

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Dada una circunferencia, y en ella dos puntos fijos, A y B, otro variable, P, y una recta r; se trazan PA y PB, que cortan a r en los puntos C y D respectivamente. Determina dos puntos fijos de r, M y N, tales que el producto CM·DN sea constante al variar P.

Solución

sábado, 22 de noviembre de 2008

El señor Euritis

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Don José Euritis quiere repartir 2008 euros entre Alberto, Blas i Carlos, de la siguiente manera: da 1€ a Alberto, 2€ a Blas, 3€ a Carlos, después, 4€ a Alberto, 5€ a Blas, 6€ a Carlos, y así sucesivamente, mientras puede o hasta que se le acaba el dinero.

¿Cuánto dinero recibe Blas?

¿Cuánto dinero le sobra al señor Euritis?

Solución

domingo, 16 de noviembre de 2008

Monedas en un tablero

XIV Olimpiada de Mayo, quinto problema del primer nivel, 2008

Tablero con monedas

Tablero con monedas

En un tablero de 16 x 16 se colocaron 25 monedas, como en la figura.

En el dibujo apreciamos que se han puesto 16 en la diagonal, 8 en las 8 primeras filas exactamente a la derecha de la diagonal, y una moneda en la primera casilla de la novena fila.

Está permitido seleccionar 8 filas y 8 columnas y retirar del tablero todas las monedas que se encuentran en esas 16 líneas. Determina si es posible retirar todas las monedas del tablero.

Solución

viernes, 14 de noviembre de 2008

Símbolos numéricos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Suma de símbolos

Suma de símbolos

En la siguiente imagen, substituye cada símbolo por un dígito, de forma que la suma sea correcta.

Símbolos iguales representan números iguales, símbolos diferentes, letras diferentes.

Nota: Puede que haya más de una solución ¿cuántas soluciones encuentras? Por si no ves la imagen, puede convertirse a letras de la siguiente forma: A5BC + DEA5 = DF8BE.

Solución

miércoles, 12 de noviembre de 2008

Cuarto problema de la Iberoamericana 2008

Cuarto problema de la 23 Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (2008)

Demuestra que no existen enteros x e y tales que:

x2008 + 2008! = 21y

Es decir, que ninguna potencia de número entero de exponente 2008 puede añadirse al factorial de 2008 de forma que se obtenga una potencia entera de 21.

Solución

domingo, 9 de noviembre de 2008

Coloreando puntos

XIV Olimpiada de Mayo, cuarto problema del segundo nivel, 2008

En el plano se tienen 16 rectas tales que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Sebastián tiene que colorear los 120 puntos que son intersección de dos de las rectas de modo que en cada recta todos los puntos sean de distinto color.

Determina el mínimo número de colores que necesita Sebastián para su tarea.

¿Y si las rectas son 15 (en este caso, los puntos son 105)?

Solución

jueves, 6 de noviembre de 2008

Una desigualdad muy grande

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Prueba que para cualesquiera números reales a,b tales que 0 < a,b < 1, se cumple la desigualdad siguiente:

√(ab2 + a2b) + √((1 - a)(1 - b)2 + (1 - a)2(1 - b)) < √2

Solución

lunes, 3 de noviembre de 2008

Mermelada de cerezas

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Manolo recoge en Caudiel 10 kg de cerezas para hacer mermelada. Al deshuesarlas y pelarlas se pierde 1/5 de su peso. Lo que queda se pone a cocer con una cantidad igual de azúcar. Durante la cocción la mezcla pierde 1/4 de su peso.

¿Cuántos kg de mermelada se obtienen?

Si quisiera obtener 10 kg de mermelada, ¿cuántos kg de cerezas necesitaría?

Solución

jueves, 30 de octubre de 2008

A partir del 2008

XIV Olimpiada de Mayo, primer problema del primer nivel, 2008

¿Cuántos números distintos de 6 cifras y múltiplos de 45 se pueden escribir añadiendo un dígito a la izquierda y otro a la derecha de 2008?

Solución

domingo, 26 de octubre de 2008

La media de los divisores

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Sean p y q dos números enteros positivos primos diferentes. Prueba que existen enteros positivos a y b tales que la media aritmética de todos los divisores positivos del número n = paqb es un número entero.

Solución

jueves, 23 de octubre de 2008

Un programa de televisión

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad.

Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas, tiene 176 puntos. Determina cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba, sabiendo que ambas cantidades son números enteros positivos.

Solución

martes, 21 de octubre de 2008

Un segmento desde el centro

XIV Olimpiada de Mayo, cuarto problema del primer nivel, 2008

Sobre el lado AB de un cuadrado ABCD se dibuja exteriormente el triángulo rectángulo ABF, de hipotenusa AB. Se sabe que AF = 6, y que BF = 8. Llamamos E al centro del cuadrado. Calcula la longitud del segmento EF.

Nota: Como todos los de primer nivel de la Olimpiada de Mayo, en realidad se propone a estudiantes que cumplen a lo sumo 13 años el año de su celebración. En España, si siguen los cursos programados para su edad, estarían en 1º de Enseñanza Secundaria Obligatoria. También pueden participar los alumnos de sexto de primaria.

Solución

jueves, 16 de octubre de 2008

¿Cuántos cuadrados?

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Cruz de puntos

Cruz de puntos

¿Cuántos cuadrados que tengan los vértices en los centros de los puntos marcados en la figura que hay junto a estas líneas pueden dibujarse?

Por si no puede verse, la figura está compuesta por los vértices de una retícula de cuadrados de 6 por 6 puntos, en la que se han suprimido los cuatro puntos que forman todas las esquinas. Evidentemente, tiene forma de una cruz formada por cuatro líneas de seis puntos

Solución

domingo, 12 de octubre de 2008

Con la suma y el MCM

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de que la suma sea 3972 y el mínimo común múltiplo sea 985928.

Solución

jueves, 9 de octubre de 2008

Con unos y ceros

XIV Olimpiada de Mayo, tercer problema del segundo nivel, 2008

En los números 1010...101 se alternan los unos y los ceros; si hay n unos, hay n - 1 ceros (n ≥ 2). Determina los valores de n para los cuales el número 1010...101, que tiene n unos, es primo.

Nota: Como todos los de segundo nivel de la Olimpiada de Mayo, en realidad se propone a estudiantes que cumplen a lo sumo 15 años el año de su celebración. En España, si siguen los cursos programados para su edad, estarían en 3º de Enseñanza Secundaria Obligatoria.

Solución

martes, 7 de octubre de 2008

Primer problema de la Iberoamericana 2008

Primer problema de la 23 Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (2008)

Se distribuyen los números 1, 2, 3, ..., 20082 en un tablero de 2008 por 2008 casillas, de forma que en cada casilla haya un número distinto.

Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea S la suma de los 4016 números obtenidos.

Determine el mayor valor posible de S.

Solución

domingo, 5 de octubre de 2008

Fiesta de fin de carrera

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Toni celebró su fin de carrera con una cena en casa a la que invitó a sus nueve mejores amigos. Compró dos botellas de cava de un litro cada una. Éste se servía en copas de forma cónica de manera que el diámetro de la copa es de 5 cm y la altura del cono de la copa es de 12 cm. Las 10 copas están llenas hasta el borde. Pero, cuando están a punto de brindar, aparecen de repente sus 30 compañeros de clase y Toni decide invitarles a ellos también. Les va sirviendo uno a uno hasta poner sus copas exactamente a la mitad de altura.

1. ¿Cuánto cava gastaron entre unos y otros?

2. ¿Podrán repetir y volver a brindar todos juntos, los 40, aunque sea con media copa de cava?

3. ¿Seria posible brindar todos desde el principio poniendo las 3⁄4 partes de la copa?

Solución

sábado, 4 de octubre de 2008

La nota de Carlos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Carlos ha conseguido una media del 85% en las primeras cuatro pruebas de su examen de matemáticas. Teniendo en cuenta que sólo le falta una prueba, ¿cuál es el porcentaje más elevado que puede obtener?

Solución

martes, 30 de septiembre de 2008

Encuentros preolímpicos y olimpiadas iberoamericanas

Hoy escribo con un par de comentarios que hacer. Ambos tienen una parte esperanzadora y otra algo decepcionante. Espero que al final predomine la esperanza.

Por una parte, esta semana celebro, el jueves, la primera parte del encuentro preolímpico de Alicante de matemáticas. Concretamente, la que corresponde a los alumnos de bachillerato.

Estoy impaciente por encontrarme con los asistentes, hablar con ellos y plantearles mis objetivos y solucionar sus dudas, hacerles trabajar en los problemas que he seleccionado, y ver su reacción a las pistas, y el trabajo en equipo que son capaces de desarrollar. Sin embargo, me ha decepcionado un poco la tibia acogida que he encontrado en (muchos de) los alumnos (y algunos profesores) a los que he invitado personalmente. Muchos, me han comentado que participarían, pero ni siquiera han tenido el detalle de enviar un correo con sus datos. La verdad, temo que al final vengan cuatro gatos y tenga una influencia negativa en los participantes. Ójala me equivoque. Compartiré el resultado del encuentro con los lectores del blog en otra ocasión, porque los martes que se avecinan tengo material que poner en el blog, y poco tiempo.

Por otra parte, el tema de la Olimpiada Iberoamericana. Si habéis visto mi anterior post relacionado con el tema, conoceréis la página del evento. No la visitéis. No se lo merece. Aparece escasa información, dirigida sobre todo a los participantes, antes del comienzo, y no ha sido modificada, a fecha de hoy, ni siquiera para poner un enlace a los problemas, o un cuadro de resultados. ¿Es tan difícil mantener informados a los interesados? Si no fuese por uno de los participantes (gracias, Moisés), que ha tenido la amabilidad de informarme, seguiría sin saber que España ha conseguido un buen quinto puesto, por detrás de Brasil, Perú, Cuba y a sólo tres puntos de Argentina. Que se vuelven de Brasil con tres medallas de plata, y una de bronce. Como es habitual, pondré aquí los problemas a los que se han enfrentado, pero poco a poco.

En resumen, buena participación española, pero escasa información al respecto. Esperemos mejoras.

domingo, 28 de septiembre de 2008

Una ecuación difícil

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Halla todas las ternas (x, y, z) de números reales que son solución de la ecuación:

√(3x(5y + 7z)) + √(5y(7z + 3x)) + √(7z(3x + 5y)) = (√2)*(3x + 5y + 7z)

Solución

jueves, 25 de septiembre de 2008

Olimpiada Matemática

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Los participantes de una olimpiada matemática están ocupando todos los asientos de un salón rectangular, en el que los asientos están alineados en filas y columnas, de tal manera que hay más de dos filas, y en cada fila hay más de dos asientos.

Al inicio de la prueba, un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los que están junto a él (delante, detrás, a los lados y en diagonal), y sólo a éstos.

Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos. ¿Cuántos participantes hay, si se sabe que el número de filas es múltiplo de 7?

Solución

lunes, 22 de septiembre de 2008

¿Qué son discos de vinilo?

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Un par de discos

Un par de discos

Hace unos años, la música se escuchaba en unos discos llamados de vinilo, porque estaban hechos de este material, que era muy delicado.

Imagina que cada uno de los discos de vinilo de la figura lleva escrito otro número en la otra cara, por detrás (en la imagen aparecen el 7 y el 10).

Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números que queden a la vista, solamente podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16 y 17.

¿Qué números pueden ser los que están ocultos en cada disco? Explica cómo los has hallado.

Solución

viernes, 19 de septiembre de 2008

Sellos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Le he preguntado a Mireia cuántos sellos tiene. Y me ha contestado: “Si divides el número entre dos, el resto de la división será uno. Si lo divides entre tres, el resto será dos. Si lo divides entre cuatro, el resto será tres. Si lo divides entre cinco, el resto será cuatro. Si lo divides entres seis, el resto será cinco; entre siete, será seis; entre ocho, será siete; entre nueve, será ocho y entre diez será nueve”. ¿Cuántos sellos tiene Mireia?

Solución

miércoles, 17 de septiembre de 2008

Olimpiada Iberoamericana

Faltan pocos días para que dé comienzo, en Salvador de Bahía (Brasil), la 23ª edición de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática, concretamente del 18 al 28 de septiembre. Tiene un gran parecido con la Olimpiada Internacional, pero los problemas habitualmente sólo se presentan en Español y Portugués, y el número de países participantes es más reducido (23 en esta edición).

Si tenéis interés en los detalles de esta competición, podéis consultar su página oficial, o la página correspondiente a esta convocatoria en concreto. También publicaré, en la sección mensual dedicada a problemas internacionales, problemas correspondientes a esta competición, si es posible.

La representación española se selecciona entre los que participan en la Olimpiada Internacional que se celebra en julio. Normalmente acuden los cuatro que quedan mejor clasificados. En el caso de este año 2008, puesto que ha habido un empate entre el cuarto y el quinto, supongo que se recurrirá a la posición en la Olimpiada Española de ambos. Cuando tenga más detalles al respecto, ampliaré la información.

lunes, 15 de septiembre de 2008

Un club y muchos comités

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Un club tiene 25 miembros. Cada comité está formado por 5 miembros. Dos comités cualesquiera tienen como mucho un miembro en común.

Prueba que el número de comités no puede ser superior a 30.

Solución

jueves, 11 de septiembre de 2008

El fósil de un número

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8. Hallar el mayor número natural, con todas sus cifras distintas, cuyo fósil sea impar.

Solución

martes, 9 de septiembre de 2008

Encuentro Preolímpico, segunda convocatoria

Hasta ahora, la convocatoria del Encuentro Preolímpico no ha tenido excesivo eco, pero como el curso comienza por estas fechas, confío en que los centros de enseñanza me ayuden a llegar a los participantes.

De momento, el primer encuentro de este curso se centra en los alumnos de bachillerato (tanto 1º como 2º), a los que les interese la resolución de problemas, y la matemática en general. La fecha de convocatoria se mantiene, en principio, para el próximo día 2 de octubre, en el IES Miguel Hernández. El horario, en principio será de 17:30 a 20:30, en función de las actividades que podamos preparar.

Para los alumnos, habrá una charla introductoria con información acerca de varios eventos que tienen lugar anualmente en torno a este tipo de competiciones (Olimpiada Matemática Española, Mathcamp, páginas de Internet...), tenemos concertada (a falta de confirmarla) un encuentro con algunos participantes en la olimpiada del año pasado, y puede que acuda también el preparador de la Universidad de Alicante, si podemos acordar un horario adecuado. Estamos preparando unos problemas que usaremos para trabajar con grupos de alumnos, en forma de reto con pistas.

Esperamos sugerencias de otros profesores para incorporar más actividades (presentación de libros, de rompecabezas...).

Para los profesores que acudan, además de la asistencia a la charla introductoria y al encuentro, tendremos una mesa redonda donde trataremos el tema de preparación de alumnos para concursos de problemas, aportando cada uno su experiencia. Otra propuesta es que nos mantengamos en contacto a lo largo del tiempo para facilitar la actualización de los temas y crear materiales.

Recordamos a los interesados que para acudir al Encuentro Preolímpico, hay que inscribirse mediante el envío al correo electrónico problematemh(arroba)yahoo.es, indicando los siguientes datos: nombre, edad, etapa en la que está matriculado en el curso 2008-09, centro de procedencia, y un correo electrónico de contacto. Para facilitar cambios de última hora, se agradecería un teléfono de un responsable por centro, para poder avisar con una única llamada a todos los estudiantes de ese instituto o colegio. Con un único correo se pueden inscribir varios estudiantes. La participación es totalmente gratuita.

Organizamos este encuentro los profesores del IES San Blas y del IES Miguel Hernández de Alicante. Los coordinadores somos José Antonio Mora y Roberto Selva, que es el autor de este blog.

lunes, 8 de septiembre de 2008

¡Manolo, que es tu cumple!

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Manolo lleva bombones a clase para invitar a sus compañeros por su cumpleaños, con tan mala suerte que se le deshacen las 2/5 partes por el calor. Vuelve a la tienda, y compra 21 bombones más, por lo que ahora tiene 1/8 más de los que tenía al principio. ¿Cuántos compañeros tiene en clase, si les pensaba dar dos bombones a cada uno?

Solución

jueves, 4 de septiembre de 2008

Círculos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Estrella numérica

Estrella numérica

Coloca todos los números del 1 al 9 en los círculos, de manera que la suma de cada grupo de tres círculos dé como resultado el número central de cada región.

Solución

martes, 2 de septiembre de 2008

El problema internacional

Primer problema de la 49 Olimpiada Internacional de Matemáticas (2008)

Un triángulo acutángulo ABC tiene ortocentro H. La circunferencia con centro en el punto medio de BC que pasa por H corta a la recta BC en A1 y A2. La circunferencia con centro en el punto medio de CA que pasa por H corta a la recta CA en B1 y B2. La circunferencia con centro en el punto medio de AB que pasa por H corta a la recta AB en C1 y C2. Demostrar que A1, A2, B1, B2, C1 y C2 están sobre una misma circunferencia.

Comentario: este problema, por ser el primero, fue el que más concursantes resolvieron satisfactoriamente. El 60% alcanzaron la puntuación máxima. Además, sólo un 11% no lograron ni siquiera un punto con él.

Solución

domingo, 31 de agosto de 2008

El menor perímetro

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Determina el triángulo de menor perímetro entre todos los que tienen la circunferencia inscrita con el mismo radio y el mismo valor de un ángulo.

Solución

jueves, 28 de agosto de 2008

Capicúas

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Juan quería sumar todos los números capicúa de cuatro cifras, pero se olvidó de sumar uno de ellos. ¿Qué número olvidó si la suma obtenida fue 490776?

Solución

domingo, 24 de agosto de 2008

Rodeado de circunferencias

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Tres circunferencias tangentes

Tres circunferencias tangentes

Calcula el área sombreada que queda delimitada por estas tres circunferencias tangentes entre sí, sabiendo que el diámetro de cada una de ellas es 10 cm.

Solución

jueves, 21 de agosto de 2008

Alienígenas

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Nos ha visitado un grupo de alienígenas. Algunos tienen cuatro ojos. Algunos tienen seis ojos. Algunos tienen ocho ojos. Algunos tienen doce ojos. Ha venido la misma cantidad de cada tipo de alienígenas. El número total de ojos de los alienígenas reunidos en un estadio es de 5120.

¿Cuántos alienígenas hay?

Solución

martes, 19 de agosto de 2008

Entrevista con Felipe Gago

Felipe Gago actuó de Jefe de Delegación (Team Leader) del equipo español en la 49 edición de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO), celebrada el pasado mes de julio en Madrid. Gracias a una serie de afortunadas coincidencias le conozco personalmente, y ha tenido la amabilidad de responder a unas cuantas preguntas para publicarlas en este blog.

Espero que esta entrevista os resulte interesante. Si es así, procuraré publicar más en el futuro, con personas dedicadas a este tipo de eventos.

Hola, Felipe. ¿Nos puedes decir cuál es tu trabajo habitual?

Soy profesor en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela.

¿Qué relación has tenido hasta este curso con las Olimpiadas Matemáticas?

Desde 1999 estoy en la Comisión de Olimpiadas de la RSME y organizo la Fase Autonómica de la Olimpiada Matemática Española (OME) en Galicia. También he organizado la fase Nacional de la LXI OME en 2005, y, como recordarás, coincidimos como miembros del Tribunal de Coordinación el la XIX Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas que se celebró en Castellón.

¿Cuándo te ofrecieron actuar de líder del equipo español?

La decisión se tomó en Valencia, en la Fase Nacional de la XLIV OME.

¿Cómo calificarías la experiencia?

Poder participar en el Jurado como Jefe de Delegación es una experiencia enriquecedora en si misma, y hacerlo cuando la Olimpíada se celebra en tu país añade un plus de ilusión y responsabilidad.

¿Qué opinas de los resultados del equipo español en la 49ª IMO?

Después de los recientes éxitos deportivos de españoles en competiciones internacionales, pueda que a alguien le sepa a poco lo cosechado por nuestros chicos en la 49 IMO. Lo cierto es todos han estado a buen nivel y fue una pena que se les resitiesen los problemas 2 y 5, que hubiesen significado un cambio substancial en el medallero. Pero todos han obtenido al menos una mención de honor por haber resuelto correctamente alguno de los problemas.

¿Te parecieron difíciles las pruebas?

En mi opinión no se puede hablar de fácil o difícil en los problemas de olimpíada, lo más que se puede hacer es juzgar por los resultados.

Lo que quiero decir es que, en el Jurado, los países no punteros opinaban que los problemas 3 y 6 no habían salido suficientemente difíciles y que eso no nos favorecía; algunos llegaban a vaticinar que las medallas de oro requerirían "perfect score". Si miramos los resultados vemos que sólo hubo 3 chicos con la máxima puntuación de 42 puntos.

¿Tienes alguna anécdota que quieras compartir con los lectores del blog?

Como sabes, el jefe de delegación y el tutor corrigen los ejercicios de los chicos para después coordinar la nota con el Tribunal. Pues bien, uno de nuestros chicos, en el problema 1, olvidó reflejar que el centro de la circunferencia cuya existencia había que demostrar coincidía con el circuncentro del triángulo dado. Y ahí nos tienes al tres veces olímpico, Luis Hernández Corbato, que era el tutor del equipo español, y a mí rastreando en el papel los puntos en los que había apoyado el compás para hacer unas mediatrices, por ver si podíamos justificar que la idea estaba implícita. Fue bastante divertido, aunque infructuoso.

¿Nos puedes hacer un resumen de los objetivos que crees que cubre la IMO?

La IMO en sí es una auténtica fiesta de las matemáticas. Para todos aquellos que llevamos dentro el gusanillo es un evento inolvidable. Desde mi punto de vista, el objetivo más importante es el de dar relevancia social al esfuerzo de mucha gente, no sólo de los particpantes, que dedica muchas horas a desarrollar sus capacidades. Por otra parte, están los intrínsecos de la competición: descubrir, animar y retar a aquellos estudiantes especialmente dotados para la matemática. En todo el proceso, de difusión, selección y preparación, además se establecen relaciones entre alumnos y profesores que resultan de provecho para todos.

¿Crees que se podría hacer una mayor labor de difusión? ¿Sería útil?

Siempre se puede hacer algo más, naturalmente. Donde tenemos que aumentar la labor de difusión es para la Olimpiada Matemática Española, consiguiendo que más y más profesores vean que es una salida natural para estudiantes con especial gusto por (o capacidad para) resolver problemas. Creo que nosotros aún vemos la participación en la IMO como un premio para los ganadores de la OME. En otros países es un objetivo en si mismo, y lo demás no son sino etapas necesarias. Son puntos de vista.

Yo también pienso que muchas personas con gran potencial no participan en la OME, bien sea por falta de información, o por que no creen que les puede beneficiar. ¿Qué quieres decir con que participar en la IMO lo vemos como un premio para los ganadores de la OME?

Lo que quiero decir, es que en otros países el equipo de la IMO se selecciona por medio de varias pruebas que a su vez forma parte de la preparación. A los concursantes se les exige mucho más, se les libera de clases para que puedan concentrarse en la preparación, se les hace competir más entre ellos.

Nosotros, no interferimos (o lo hacemos lo menos posible) con su vida académica: está también su selectividad, "su futuro" y así. Lo vemos como algo más "amateur", como complementario.

En cuanto a la selección, pues es así, los seis medallas de oro de la OME ya forman participan en la IMO, como antes los ganadores de las fases locales compiten en la fase nacional. No quiero decir que sea mejor, pero si sería distinto si, digamos los 12 primeros de la OME, viéndose próximos a las medallas, tuviesen oportunidad de ser formados un tiempo y volver a competir entre ellos para estar en el equipo.

En fin, son reflexiones de un científico, sentado en su mesa de trabajo. Después está como se lleva esto a la práctica y como se conjuga con con nuestro trabajo (nuestro famoso voluntarismo, que no en todas partes es así) y con las necesidades de los chicos.

¿Se establecen contactos con matemáticos, o futuros matemáticos, de otros países en este tipo de eventos?

No es un tópico lo de la familia olímpica. Date cuenta de que desde el día 10 hasta el 17 los miembros del jurado estuvimos prácticamente encerrados en el hotel, y a pesar del mucho trabajo, esto favorece el contacto y el conocimiento mútuo. Se producen intercambios de experiencias, problemas de las distintas olimpíadas, soluciones y comentarios a los problemas en los que se trabaja para preparar la prueba, etc. Hay personas con mucha experiencia y años de dedicación cuyas opiniones tienen peso en las decisiones, pero aún así, en las distancias cortas, se muestran abiertos y son generosos.

También los participantes tienen muchas oportunidades para establecer relaciones con otros que comparten sus aficiones, aunque de distintas lenguas y culturas.

¿Participas en labores de formación de participantes?

Estoy en contacto con con los responsables de ESTALMAT en Galicia y he colaborado en labores de organización, pero no en labores formativas. Lo que sí hago es preparar a los ganadores de la Fase Autonómica en Galicia para acudir a la Fase Nacional Española.

¿Vas a participar en la Iberoamericana de este mes de septiembre, en Brasil?

!Ya me gustaría! pero hay que dejar paso.

Gracias por todo, y hasta pronto, Felipe. Si alguien propone en los comentarios alguna pregunta interesante, te escribiré para pedir tu opinión.

domingo, 17 de agosto de 2008

Los 17 números

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Se consideran 17 enteros positivos tales que ninguno de ellos tiene un factor primo mayor que 7. Demuestra que, al menos, el producto de dos de estos números es un cuadrado perfecto.

Solución

jueves, 14 de agosto de 2008

Vecinos perfectos

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Coloca los 16 primeros números naturales (1, 2, 3..., 16), en 16 casillas consecutivas, uno en cada casilla y sin repetir ninguno, de manera que la suma de dos números vecinos cualesquiera sea un cuadrado perfecto.

Solución

domingo, 10 de agosto de 2008

¡Menudo numerito!

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Encuentra un número de 4 cifras que cumpla las siguientes condiciones:

a) La suma de los cuadrados de las cifras de las centenas y las unidades es igual a 53.

b) La suma de los cuadrados de las otras dos cifras es 45.

c) Si del número pedido restamos el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, encontramos un múltiplo de 99 comprendido entre 1000 y 1200.

Solución

jueves, 7 de agosto de 2008

Policubos

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Cubo

Cubo

Un policubo es un sólido macizo que se obtiene al pegar por sus caras cubos unitarios (del mismo lado). El orden de un policubo es el número de cubos necesario para formarlo.

Evidentemente, sólo hay un policubo de orden 1, que se trata del mismo cubo.

Policubo de orden 2

Policubo de orden 2

De orden 2 sólo hay un único policubo, que es el representado junto a estas líneas, compuesto por dos cubos pegados por una cara. Da igual qué cara usemos, girándolo podremos llegar a la misma posición.

Policubo de orden 3

Policubo de orden 3

Cuando llegamos al orden 3, hay alguna variación. Podemos ver que hay dos tipos de policubos distintos, que vemos junto a estas líneas.

a) ¿Sabrías decir cuántos policubos hay de orden 4? Dibújalos.

b) Dibuja dos descomposiciones distintas de policubos de orden cuatro que se necesiten para construir la figura que hay bajo estas líneas, formada por 8 cubos.

Dos 4-policubos

Dos 4-policubos

c) ¿Se pueden recubrir todas las caras de la siguiente figura con policubos de orden 4 sin repetir ninguno? Razona la respuesta.

Figura a cubrir

Figura a cubrir

Solución

martes, 5 de agosto de 2008

El problema internacional

Tercer problema de la 49 Olimpiada Internacional de Matemáticas (2008)

Demostrar que existen infinitos números enteros positivos n tales que n2 + 1 tiene un divisor primo mayor que 2n + √(2n) (la expresión es el doble de n más la raíz cuadrada del doble de n).

Comentario: inicio la publicación de problemas de categoría internacional. Esta sección será mensual, y propondrá problemas extraídos de competiciones preuniversitarias de carácter internacional. Proponer en primer lugar el problema 3 de la IMO 2008 tiene para mí un significado especial, pues trabajé con él durante la coordinación.

El porcentaje de participantes que solucionó este problema en la olimpiada fue bastante bajo (8,60 %), como corresponde a un problema tercero, que suele ser el más difícil de la jornada.

Solución

domingo, 3 de agosto de 2008

Un cuadrilátero especial

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Un cuadrilátero convexo tienen la propiedad que cada una de sus dos diagonales biseca su área. Demuestra que este cuadrilátero es un paralelogramo.

Solución

jueves, 31 de julio de 2008

La última nota

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

El profesor Numerius pone una prueba a sus cinco alumnos y, después de corregirlas, introduce las notas en una plantilla electrónica que calcula automáticamente la media de las notas introducidas en cada momento.

Numerius observa que después de introducir cada nota, la media calculada por la plantilla siempre es un número entero.

Si las notas de los 5 estudiantes, en orden creciente, son 71, 76, 80, 82 y 91, ¿cuál es la última nota que ha introducido?

Solución

domingo, 27 de julio de 2008

Transporte aéreo

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

En el aeropuerto de Barcelona despega un avión cada 26 minutos, en el aeropuerto de Valencia, uno cada 24 minutos y en el aeropuerto de Alicante, uno cada 18 minutos. El 29 de abril, a las 2 a.m. coincidieron las partidas de los tres aeropuertos. Se sabe que los tres aeropuertos fueron cerrados por razones de seguridad aproximadamente una hora después de la siguiente coincidencia de partidas.

1. ¿Aproximadamente, a qué hora se cerraron los aeropuertos?

2. ¿Cuántos vuelos habían despegado del aeropuerto de Barcelona desde las 2 a.m. hasta la hora del cierre?

Solución

jueves, 24 de julio de 2008

Circuito

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Este circuito sólo reconoce números positivos sin decimales 0, 1, 2, 3... Cuando un número entra en este circuito se coloca en la casilla de Entrada, y siguiendo las flechas va avanzando hasta llegar a la Salida. En cada casilla debe realizar la operación que se indica y continuar su recorrido.

Circuito

Circuito

a) Irene hizo el circuito, y llegó a la salida con el 17. ¿Qué itinerario siguió, y con qué número empezó?

b) Nuria y Olga iniciaron el circuito con el mismo número y decidieron no pasar por la casilla central. Cada una eligió un camino distinto. si Olga salió con el 83 ¿qué itinerario siguió?

¿Qué itinerario siguió Nuria? ¿Con qué número acabó?

¿Con qué número empezaron ambas el circuito?

c) Explica porqué todo número que entra puede llegar a la casilla que divide por dos y esa división siempre da exacta.

d) El miércoles observé que alguien inició el circuito con un número menor que 50 y terminó con el 396. ¿Qué camino siguió?

e) ¿Es posible ir por los caminos del borde y llegar al mismo número? Contesta de manera razonada (se supone que partiendo con el mismo número, claro).

Solución

miércoles, 23 de julio de 2008

Resultados de la Olimpiada Internacional

El pasado día 21 se clausuró en Madrid la 49 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Para mí, ha sido una experiencia inolvidable, debido a que, como ya comenté en el blog, he sido invitado a participar como coordinador. Sin embargo, la participación española, pese a lograr tres ajustadas medallas de bronce y tres menciones honoríficas, sigue sin ser destacada, aunque suma el segundo mejor resultado en puntos y el mejor en clasificación (en porcentaje) de su historia.

Tres participantes lograron la totalidad de los puntos en juego, 42, Xiaosheng Mu, Dongyi Wei y Alex Zhai, los tres en su primera participación. Los dos primeros son chinos y el tercero, norteamericano. Muy próximo a ellos está el húngaro László Miklós Lovász, con 39 puntos, en su segunda participación (en Vietnam obtuvo una medalla de plata). La quinta posición la comparten Vladislav Volkov, de Rusia, István Tomon, también de Hungría, y Nikolay Ivanov Beluhov, de Bulgaria, con 37 puntos. Los dos primeros tienen dos participaciones, y el tercero, tres.

A continuación hay otro empate entre cuatro por el puesto octavo, con 36 puntos se encuentra a Pasin Manurangsi, de Tailandia, Dmitry Babichev, de Rusia, Kasra Ahmadi, de Irán, y Umut Varolgunes, de Turquía.

En el siguiente grupo encontramos a Fernando Manrique Montañez, de Perú, el primer hablante de español de la clasificación. También en el mismo grupo aparecen las dos primeras mujeres, Zhuo Chen, de China, y Lisa Sauermann, de Alemania.

En cuanto a España, consigue tres medallas de bronce, las de Arnau Messegué Buisan, Diego Bruno Izquierdo Arseguet y Gabriel Fürstenheim Milerud, y tres menciones honoríficas, las de David Alfaya Sánchez y Moisés Herradón Cueto, con 13 puntos, y la de Juan José Madrigal Martínez, con 11.

Los problemas fueron tan complicados como siempre, pero he decidido que publicaré poco a poco en este blog tanto su enunciado como las soluciones que puedan mostrar cómo se puede razonar para lograr su solución sin unos conocimientos previos excesivamente amplios, pero armado con una gran capacidad para el razonamiento y de búsqueda de patrones. Trataré de que no substituya a ninguna de las secciones que trato hasta ahora, de forma que probablemente aparezca un apartado nuevo cada dos semanas.

Si algún lector tiene curiosidad por algún apartado en concreto, estoy dispuesto a tratar de contestar a cualquier duda que se plantee.

domingo, 20 de julio de 2008

Sumando potencias

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Sea m un entero positivo. Demuestra que no existen números primos de la forma 25m + 2m + 1

Solución

jueves, 17 de julio de 2008

Cuerdas paralelas

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dos cuerdas de una circunferencia están opuestas por el centro, son paralelas y miden respectivamente 16cm y 12 cm. La distancia entre ellas es de 14 cm.

Calcula el diámetro de la circunferencia.

Solución

domingo, 13 de julio de 2008

Buen partido

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Supongamos que el 70% de los hombres son listos, el 70% de los hombres son guapos, y el 70% de los hombres son ricos. ¿Cuál es el porcentaje mínimo de hombres afortunados que poseen las tres cualidades?

Solución

sábado, 12 de julio de 2008

Olimpiada Internacional

Tengo el honor de haber sido convocado para participar como coordinador en la organización de la 49 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), que por primera vez se celebra en España, concretamente en su capital, Madrid.

El puesto de coordinador consiste en tratar de unificar criterios a la hora de corregir todos los resultados de una misma pregunta, es decir, que nadie reciba más puntos que otro si ha resuelto una parte menos importante, y que si han resuelto lo mismo reciban la misma puntuación. Hay que tener en cuenta que participan 104 países con un máximo de 6 participantes por país (en total, 551 participantes), y es imposible que la misma persona revise todos los ejercicios de un mismo problema, por no citar el detalle del idioma en el que estarán escritas las respuestas.

Para un mismo problema hay muchos coordinadores, y nos reuniremos antes de las pruebas para aunar criterios y tratar de decidir claramente a qué se le da puntos y a qué no. Hay que tener en cuenta que cada problema se puntúa con un máximo de 7 puntos, y no se pueden usar fracciones de punto.

El jurado de la prueba, al cual no pertenezco, es el encargado de seleccionar los 6 problemas que constituirán las preguntas de las dos sesiones, de entre la lista de problemas que han sido presentados por las delegaciones de los países participantes durante el último año. Debe ser muy difícil seleccionar esta prueba, ya que cada país tratará de que verse sobre los tipos de problema en los que más preparados estén sus representantes.

A título personal, esto supone un interesante reto, y la oportunidad de estar en contacto con muchos amigos que comparten mi afición por la resolución de problemas, y de conocer a más gente con este mismo gusto. Puede que durante unos días esté más ocupado que de costumbre, y tal vez se note en que dejo mi blog un poco abandonado. Trataré de dejar las entradas de los días en que esté concentrado programadas, pero notaréis que no puedo aprobar comentarios, ni corregir los problemas y las soluciones, ni enlazar unos con otros cuando aparezcan. En cuanto tenga un rato lo pondré al día.

Si alguno de los que leen este blog participa en la prueba, puede que después quiera saludarme (evidentemente, antes será imposible, pues en cuanto conozca los enunciados estaré muy ocupado).

Por otra parte, me gustaría saber si a los lectores de este blog les interesa conocer más detalles de la prueba, o si les podría interesar alguna entrevista con los preparadores, los participantes o los miembros de la organización, ya que esta oportunidad probablemente no se repita. Si es así, dejad un comentario con las sugerencias.

jueves, 10 de julio de 2008

Rectángulo

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Rectángulo dividido

Rectángulo dividido

Consideremos el rectángulo ABCD de la figura.

Dividimos la diagonal AC en tres segmentos iguales mediante los puntos E y F.

Y unimos los puntos E y F con B y con D.

a) Si hago el recorrido ABCFEDABCFEDA..., desplazándome por los segmentos trazados ¿en qué punto acabaré tras pasar por 2008 letras?

b) ¿Se podrá hacer un recorrido que pase por todos los segmentos de esa figura una sola vez empezando desde A?

¿Y empezando desde B? Dibújalo si es posible, o di qué dificultad has encontrado si crees que no lo es.

c) Si la base del rectangulo mide 12m y la altura 9m, ¿cuál es el área del triángulo de vértices BEF?

d) Dividimos la otra diagonal en tres segmentos iguales mediante dos puntos llamados G y H, formando el cuadrilátero EGHF. ¿Cuál es su área?

Solución

domingo, 6 de julio de 2008

Un triángulo sobre una circunferencia

(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

ABC es un triángulo isósceles con AB = AC. Sea P un punto cualquiera de la circunferencia tangente a los lados AB en B y a AC en C.

Llamamos a, b y c a las distancias desde P a los lados BC, AC y AB respectivamente. Probar que: a2 = b*c.

Solución

jueves, 3 de julio de 2008

Puntos alineados

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Sobre el lado DC de un cuadrado ABCD dibujamos un triángulo equilátero DCF, interior al cuadrado. Sobre el lado BC, dibujamos otro triángulo equilátero CHB, exterior al cuadrado.

Deduce que los puntos A, F y H pertenecen a una misma recta, es decir, están alineados.

Solución

domingo, 29 de junio de 2008

Un trabajo en común

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Una amiga me pidió que le pasara un trabajo a ordenador.

El primer día pasé la cuarta parte del trabajo total, el segundo día una tercera parte del trabajo que quedaba, el tercer día la sexta parte del que faltaba, y el cuarto día lo acabé pasando 30 hojas.

¿Puedes averiguar cuántas hojas tenía el trabajo en total?

Solución

jueves, 26 de junio de 2008

Lío de lámparas en una habitación

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Lámpara

Lámpara

En una habitación cuadrada se pueden poner lámparas de pie como las que ves en el dibujo. Te dicen que las coloques junto a la pared, con la condición de que haya el mismo número de lámparas en cada una de las cuatro paredes. Para ello, te permiten poner, como máximo, una lámpara en cada uno de los cuatro rincones de la habitación y, en ese caso, la lámpara se cuenta como perteneciente a las dos paredes que forman ese rincón (no siempre es necesario poner lámparas en un rincón).

a) Tienes 12 lámparas. ¿Cómo puedes colocarlas? Haz un dibujo que nos muestre, de un vistazo, la solución.

b) Ahora tienes 10 lámparas. ¿Cómo puedes colocarlas? Haz un dibujo que nos muestre, de un vistazo, la solución.

c) Resuelve el mismo problema para 11 y para 13 lámparas.

d) Prueba con otros cuatro números consecutivos, por ejemplo, 20, 21, 22 y 23 lámaparas, y comprueba que también es posible. Haz un dibujo explicativo de cada caso.

e) Para un número cualquiera de lámparas, ¿podrías hacer unos dibujos que representen las diferentes soluciones del problema según sea el número de lámparas? ¿Cómo puedes hacerlo? ¿Cuántas habrá en cada pared?

Solución

domingo, 22 de junio de 2008

Tres veces repetida

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

En un recipiente se introducen 900 tarjetas del 100 al 999 y se mezclan concienzudamente. Le pedimos a Marta que saque una de las tarjetas, anote la suma de los tres dígitos del número que sacó y rompa la tarjeta.

¿Cuál es el menor número de veces que deberá repetir Marta esta operación para poder estar seguros de que anotará al menos tres veces la misma suma?

Solución

sábado, 21 de junio de 2008

Olimpiada de Mayo

Hace poco que descubrí la existencia de esta competición. Un amigo me la había mencionado varias veces, pero no sabía cómo presentar a gente, y no le había prestado mucha atención. Sin embargo, recientemente me enteré que estaban organizando una sede en mi localidad, y recopilé algo de información, que comparto con vosotros.

Se trata de una competición Internacional, pero al parecer no tiene una página web de referencia (o yo no he conseguido encontrarla). Su organización recae en el CLAMI (Centro Latinoamericano de Matemáticas e Informática) y la Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas.

Su sistema de competición consiste en cinco problemas a resolver en tres horas, simultáneamente en todas las sedes que participen (en ocasiones hay un pequeño aplazamiento en alguna de las sedes, por lo que es fundamental no divulgar enseguida los problemas). Evidentemente, se celebra anualmente en el mes de mayo. Los premios se conceden por país, hasta un máximo de siete medallas para cada uno, que pueden ser, como es tradicional, de oro, plata o bronce. También se conceden menciones y diplomas.

Hay dos niveles, en el primer nivel compiten personas que cumplan a lo sumo 13 años durante el año de la prueba (como mucho, en mi país cursarán 1º de ESO) y en el segundo nivel compiten personas que a lo sumo cumplan 15 años el año de la prueba (3º de ESO en España).

Los problemas tienen una gran dificultad, pero son muy originales. Iré publicando alguno en el blog de vez en cuando. Aunque sus dos grupos de edad no se ajustan bien a los que yo uso, pondré los enunciados en primaria (los de primer nivel sencillos), primer ciclo (los difíciles de primer nivel, y los sencillos de segundo) y en segundo ciclo (los difíciles de segundo nivel).

Los requisitos para acceder a la prueba son muy variados según el país, pues (según parece) dependen de la organización local. En España estos requisitos no están muy definidos, puedes presentarte si entras en contacto con el organizador de alguna sede y le justificas tu interés (por ejemplo, puede ser suficiente con haberte clasificado en alguna competición local). Sin embargo, para obtener algún resultado es conveniente que hayas resuelto antes numerosos problemas.

Solución: próximamente

jueves, 19 de junio de 2008

La bolsa de dulces

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Una bolsa está llena con 71 dulces de los siguientes sabores: limón, naranja, uva y fresa. Hay el doble de dulces de limón que de fresa. Los dulces de naranja son uno menos que los de fresa. Hay seis dulces menos de uva que de limón.

¿Cuál es el número mínimo de dulces que tienes que sacar para tener dulces de por lo menos dos sabores?

Solución

domingo, 15 de junio de 2008

El área del más pequeño

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Cuadrado partido

Cuadrado partido

En un cuadrado de lado 6 unidades, dibujamos una diagonal y, desde otro de los vértices, una línea hasta la mitad del lado opuesto. Eso traza tres triángulos en el interior del cuadrado.

¿Puedes calcular el área del más pequeño?

Pista: busca ángulos iguales.

Solución

jueves, 12 de junio de 2008

Los tres sobres

Pruebas de selección para Estalmat 2008

En una mesa hay tres sobres marcados con las letras A, B y C. Los tres contienen una cantidad (entera) diferente de euros y no hay ninguno vacío, con la peculiaridad de que el sobre C es el que más euros tiene y el sobre A el que menos.

Ana, Beatriz y Carlos son tres hermanos "excelentes lógicos", que examinan cada uno el sobre marcado con su inicial.

Considera los siguientes casos:

a) Si el total de dinero en los tres sobres es de 10 euros, Ana mira el sobre A y dice: "Ya sé cuánto hay en cada sobre". ¿Podrías deducirlo tú también?

b) Si el total de dinero en los tres sobres es de 11 euros, Carlos mira el sobre C y dice: "Ya sé cuánto hay en cada sobre", y Ana mira el sobre A y dice "Yo también sé cuánto hay en cada sobre". Entonces, Beatriz, sin mirar, asegura saber cuánto hay en su sobre. ¿Podrías tú decir cuánto hay en cada sobre?

c) Si el total de dinero en los tres sobres es de 13 euros, Ana, después de mirar el contenido de su sobre, declara que no puede deducir el contenido de los otros sobres. Mira entonces Carlos el suyo y dice que él tampoco puede saberlo. Entonces, Beatriz examina el suyo y declara que tampoco ella puede deducirlo. ¿Cuánto dinero hay en el sobre B?

d) Si el total de dinero en los tres sobres es de 32 euros, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir los 32 euros en los tres sobres de forma que en C haya más que en B y en B más que en A? Si Ana mira su sobre en primer lugar, ¿puede en algún caso averiguar el contenido de los otros dos sobres? Razona la respuesta.

Actualización (10/07/2008): Como curiosidad, he encontrado un fragmento de este problema en un libro muy recomendable (y anterior a la prueba de Estalmat). Ignoro si se utilizó de inspiración, se trata de "Las nueve cifras, el cambiante cero y otros divertimentos matemáticos", de Bernardo Recamán. Pertenece a una colección de libros sobre problemas matemáticos que debo comentar aquí un día de estos. La mayoría de los libros de la colección son interesantes, pero éste me está gustando especialmente. El autor cita que el problema lo encontró originalmente en el examen para estudiantes talentosos AHSME, American High School Mathematics Examinations, de 1998.

Solución

miércoles, 11 de junio de 2008

Encuentro Preolímpico, primera convocatoria

Encuentro Preolímipico de Matemáticas de Alicante

Esto es una propuesta que tratamos de llevar a cabo José Antonio Mora, del IES San Blas y yo mismo, junto con todos los voluntarios que quieran participar en este proyecto.

La idea consiste en juntar en un centro, una tarde del curso, a todos los estudiantes de centros próximos de un determinado nivel interesados en presentarse a concursos o competiciones de matemáticas, para lograr que se conozcan entre ellos e informarles sobre el tipo de competiciones que pueden encontrar, las pruebas que deben superar, asistan a exposiciones (si procede), y que hablen con otros alumnos que, recientemente, hayan participado en ese nivel.

Pensamos que este tipo de encuentros pueden ser interesantes, tanto para los alumnos que empiezan en esto, como para los que llevan algún tiempo concursando.

En realidad, el encuentro tendría lugar en varias fechas, según el nivel al que fuera dirigido. La primera convocatoria, que será a principio de curso, el 2 de octubre de 2008, por la tarde (probablemente de 17:30 a 20:30), sería el encuentro entre estudiantes de bachillerato que se quieran presentar a la Olimpiada Española de Matemáticas (OME).

Todavía no tenemos fechas ni lugar para las posteriores convocatorias, pero tenemos intención que haya una para cuarto y tercero de ESO, otra para segundo y primero de ESO, y otra para sexto y quinto de primaria, sobre todo pensando en la Olimpiada de Matemáticas que organiza la SEMCV Al-Khwarizmi, pero pueden ser simultáneas o no, y pueden ser en el mismo centro o no, en función de cómo resulte esta primera.

La inscripción se realizará por correo electrónico, sencillamente enviando un mensaje a la dirección problematemh(arroba)yahoo.es, indicando los siguientes datos: Nombre, edad, etapa en la que está matriculado en el curso 2008-09, centro de procedencia, y un correo electrónico de contacto. Para facilitar cambios de última hora, se agradecería un teléfono de un responsable por centro, para poder avisar con una única llamada a todos los estudiantes de ese instituto o colegio. Con un único correo se pueden inscribir varios estudiantes. Estamos en condiciones de asegurar que la asistencia será gratuita, si se presentan gastos imprevistos, trataremos de corregirlos en futuras ediciones.

Los datos que se envíen se utilizarán exclusivamente para fines de organización del evento, siendo destruidos a continuación, salvo que se manifieste el deseo por parte del asistente a participar en una lista de correo, para futuros contactos, en cuyo caso se mantendrán los necesarios para este fin.

A falta de perfilar el programa, nos reuniremos a las 17:30, se confeccionarán los grupos de alumnos (preparados para que no se conozcan previamente), se repartirán unos cuantos problemas con algún guión (pistas), y se acudirá a la zona de trabajo (aulas). Después de un rato en el que se contestará a preguntas y se supervise la resolución de los problemas, se les impartirán las charlas, tanto de los profesores que tengan algo que decirles como de alumnos con alguna experiencia. Después, un tiempo para intercambio de datos y direcciones, y despedida.

Espero que también escriban a esta dirección profesores con ganas de aportar, tanto sugerencias como colaboración (seguro que vendrá bien que asistáis y nos contéis vuestras experiencias). Tal vez en otra ocasión podamos montar un grupo de trabajo para los profesores.

Actualización: he añadido algunos cambios y ampliaciones en la descripción de las sesiones, como que las convocatorias de ESO y primaria se centrarán en la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, y que el encuentro será gratuito en cualquier caso en esta edición.

lunes, 9 de junio de 2008

Cuadriláteros circunscritos

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Demuestra que si un cuadrilátero admite una circunferencia inscrita (es decir, tangente a sus cuatro lados), entonces la suma de dos de sus lados opuestos es igual a la suma de sus otros dos lados.

Solución

jueves, 5 de junio de 2008

Expresiones misteriosas

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Si nos dicen que se cumple la igualdad x2 + (1/x)2 = 4, ¿podemos, sin calcular el valor de x, saber cuánto vale la expresión x + 1/x?

Solución

miércoles, 4 de junio de 2008

Estalmat 2008

Ya se ha celebrado la prueba de Estalmat 2008, y a partir de ahora se empezarán a convocar a las familias de los seleccionados para la entrevista. Todavía no puedo hacer públicos los problemas que se usaron para seleccionar a los alumnos, pero puedo asegurar que han sido muy interesantes, aunque tal vez algo largos para ellos.

En unas semanas pondré aquí algunos de los enunciados, en la sección de primaria, junto con las soluciones que se me ocurren, así como algunas ideas que tuvieron algunos de los participantes, que muchas veces son muy interesantes y creativas.

La lista de los seleccionados para participar en este proyecto se hará pública cuando hayan concluido las entrevistas. Lamentablemente, la inmensa mayoría de los participantes quedarán fuera (sólo va a seleccionarse a 25 personas), pero eso, insisto, no significa que tengan menos talento, o que sean peores. Sencillamente, nuestros imperfectos instrumentos de medida no lo han detectado. A veces, insistiendo, leyendo, y preparándose, puedes hacer brillar tu talento. Aunque no formes partes de Estalmat, o no tengas un profesor dedicado, o no vayas a ese colegio tan magnífico. Dependes sólo de ti.

domingo, 1 de junio de 2008

Cuadrados en una trama

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Trama

Trama

En la trama de cuatro por cuatro puntos indicada junto a estas líneas, ¿cuántos cuadrados distintos se pueden dibujar de forma que sus vértices ocupan puntos de la trama?

Interpretamos que dos cuadrados son distintos cuando cambia alguno de los vértices en los que se apoya, es decir, que pueden ser cuadrados de la misma forma, pero en posiciones diferentes. Indica cuántos tamaños de cuadrado diferentes aparecen.

Solución

jueves, 29 de mayo de 2008

Las series

(Fase comarcal de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Completa las tres series siguientes, explicando la manera en que lo haces.

a) 100 ➝ 99 ➝ 95 ➝ 86 ➝ 70 (obtén tres números más).

b) 3 ➝ 6 ➝ 7 ➝ 14 ➝ 15 ➝ 30 (obtén dos números más).

c) 26 ➝ 31 ➝ 27 ➝ 32 ➝ 28 ➝ 33 (obtén dos números más).

Solución

miércoles, 28 de mayo de 2008

Resultados de la segunda fase

No he podido publicar antes un comentario sobre los resultados de la segunda fase (la provincial de Alicante) de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, porque no los tenía completos y no quería meter la pata. Como ya sabréis, se celebró el pasado 10 de mayo, en Novelda. A pesar de que llovió, e incluso granizó, me consta que para todos los presentes fue un gran día y la organización fue excelente.

La verdad es que los resultados no los han expuesto en la página de la sociedad organizadora, y he tenido que preguntar a los que pudieron ir por los resultados completos. Pido disculpas si hay algún error.

Antes de nada, felicitar a la alumna de mi centro Marina Miró Oca, que logró un meritorio segundo puesto en la categoría B, segundo ciclo de la ESO. A los otros tres de mi centro que participaban, Ana, David y Julen, mi enhorabuena por estar ahí. Tal vez en otra ocasión podáis estar en las primeras plazas, os lo merecéis.

En la categoría C, de primaria, los tres primeros puestos fueron ocupados por Pablo Gadea Martínez, del colegio San Agustín de Alicante, Laura Peña Queralta, del CEIP Els Tolls, de Benidorm, y por Lucía Capella Mateos de Arriba, del CEIP Enric Valor, de Alicante. También se clasificaron para la siguiente fase Yezi y Yezer, del CP la Aneja de Alicante, Noelia Beatriz y Jorge, del Azorín de Alicante e Ignacio del Colegio Jesús-María (San Agustín) de Orihuela. Como suplentes, Mar, del Paidos de Denia y Carlos, del Santa María del Carmen (Carmelitas), de Alicante.

En la categoría A, primer ciclo de secundaria, quedaron en los tres primeros lugares Jorge Peña Queralta, del IES L'Almadrava, de Benidorm, David Pardo Simón, del Colegio Jesús-María (San Agustín) de Orihuela y Miguel Ángel Hernández Boj, del Colegio Nuestra Señora del Carmen, de Sant Joan d'Alacant. También se clasificaron para la fase autonómica, Carmen y Belén, de Maristas, de Alicante, Manuel, del Colegio Jesús-María (San Agustín) de Orihuela, Álvaro, de la Melva, de Elda, María y Andrea, del Sagrada Familia de Elda y Jordi, del IES Francisco Figueras Pacheco, de Alicante. Como suplentes, quedaron Héctor y Ana Victoria, ambos de la Melva, de Elda.

Por último, en la categoría B, de segundo ciclo de secundaria, los tres primeros lugares los ocuparon Raúl Moragues Moncho, del IES Jorge Juan, de Alicante, la anteriormente citada Marina Miró Oca, del IES Miguel Hernández, de Alicante, y Oscar Vila Sempere, del IES Onil (evidentemente, de Onil). Les acompañarán a la siguiente fase Ricardo, también del IES Onil, Leticia, del IES Thader, de Orihuela, Jorge Juan, del IES Bellaguarda, de Altea, María, del colegio Maristas de Alicante, y María del IES L'Almadrava, de Benidorm. Como suplentes, quedan Jairo, del IES Mutxamel, y Diego, del colegio Maristas de Alicante.

Estoy seguro de que los demás también se merecieron estar ahí, aunque no estuviesen tan afortunados ese día.

Por último, desear a todos los clasificados (aunque especialmente a Marina, claro) suerte en la fase regional, que tendrá lugar los días 14 y 15 de junio en Alborache (Valencia). Se alojarán en el albergue juvenil "Torre de Alborache", y disfrutarán de un fin de semana que compartirán con los clasificados de Valencia y Castellón.

domingo, 25 de mayo de 2008

Polinomio y números impares

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Tenemos un polinomio p(x) de cierto grado, y de coeficientes enteros, que cumple que al aplicarlo en los puntos 1 y 2 (es decir, p(1) y p(2)), se obtienen dos números impares (en concreto, 3 y 19).

Demuestra que es imposible que este polinomio tenga una raíz entera, es decir, que el polinomio no se anula para ningún valor entero de x.

Solución

sábado, 24 de mayo de 2008

Convocatoria Estalmat 2008

Hace ya algún tiempo que estoy comprometido con el proyecto Estalmat, trabajando en sesiones con alumnos y enviando a los centros que conozco (y aquellos a los que me puedo acercar físicamente) la documentación, ya que por lo visto oficialmente no ha llegado.

El proyecto Estalmat (proviene de Estímulo del Talento Matemático), de la Real Academia de Ciencias de España, consiste en detectar y potenciar el talento matemático en estudiantes jóvenes, concretamente de 12 a 13 años. En cada comunidad autónoma se desarrolla de una forma ligeramente distinta, por lo que si tienes interés en la manera en que cada una detecta a estos jóvenes y cómo organiza las reuniones, deberás de visitar su página web o ponerte en contacto con ellos. Está patrocinado por Fundación Vodafone España.

En el caso de mi comunidad, la Comunidad Valenciana, el proyecto está coordinado por la mayoría de las universidades de la comunidad. La labor con estos estudiantes se realiza durante dos años de forma más intensiva (tres horas semanales), y durante dos o tres años más con intervenciones menos frecuentes.

El proyecto, aquí, finaliza su primer año de vida, es decir, sólo se ha trabajado con un grupo y a lo largo de un único año, hasta ahora. El día 24 de mayo, sábado, se celebra la clausura del curso, que ha sido muy interesante por lo que hemos aprendido y por lo que vamos preparando para futuros cursos.

Casi inmediatamente empieza la labor de selección de la siguiente promoción (la información está en la página de entrada a la web). Sólo hay hasta el día 28 para inscribirse en la prueba, que se celebra el día 31 (sábado) a las 10 de la mañana en los campus que convocan las pruebas. De los participantes se seleccionará una cierta cantidad de ellos, a los que se convocará a las reuniones de los sábados. Si te interesa, pongo aquí un enlace directo a la inscripción.

El principal problema en nuestra comunidad es la distancia, ya que si sólo creamos un grupo, los desplazamientos se vuelven muy largos y costosos. Si dependiese de mí, organizaría dos grupos, aunque hubiese que reducir alguna otra variable, siempre y cuando hubiese suficiente personal.

No sé cuánta gente se presentó a la convocatoria del año pasado, pero en el momento de escribir estas líneas ya hay más de 100 inscritos para la de éste. Creo que tendremos entre ellos alumnos de mucha calidad. Aquellos que no sean seleccionados, que no piensen que no valen para esto, o que carecen de eso que llamamos talento matemático. Es posible que ese día no tuviesen la inspiración necesaria, o bien que no entendieron los enunciados adecuadamente. Nuestros instrumentos de medida son necesariamente imprecisos, y mucha gente que podría entrar en este grupo, queda fuera. Si están en el rango adecuado de edad, pueden presentarse al curso siguiente, y si no, siempre pueden aprender por su cuenta. Seguir este blog puede ser una ayuda. Y este no es el único proyecto que hay en marcha para potenciar la formación en resolución de problemas. Ójala pudiésemos llegar a todos los que quieren aprender. Tal vez en un futuro no muy lejano.

jueves, 22 de mayo de 2008

Círculo y cuadrado

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Círculo y cuadrado engarzados

Círculo y cuadrado engarzados

En la figura contigua, en la que un círculo está situado sobre un cuadrado de forma que pasa por dos vértices contiguos y el centro del lado opuesto, el lado del cuadrado mide 16 unidades. ¿Cuánto mide el radio del círculo?

Solución

domingo, 18 de mayo de 2008

Número divisible a trozos

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Encuentra un número de seis cifras, formado usando una única vez cada una de las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, de forma que sus dos primeras cifras forman un número divisible por dos, sus tres primeras cifras forman un número divisible por tres, sus cuatro primeras cifras forman un número divisible por cuatro, sus cinco primeras cifras forman un número divisible por cinco, y todo él es un número divisible por seis.

Solución

jueves, 15 de mayo de 2008

Contando cuadrados

(Fase comarcal de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

cinco cuadrados

cinco cuadrados

A Pepe Cuadrado le gusta hacer figuras con cerillas.

En esta figura (un cuadrado grande con dos cerillas en cada lado, junto con una cruz de cuatro cerillas que lo divide en cuatro cuadrados más pequeños), Pepe cuenta cinco cuadrados, pero sabe que moviendo sólo dos cerillas puede obtener otra figura donde cuente siete cuadrados. ¿Puedes ayudarle?

Solución