domingo, 30 de diciembre de 2007

Juego de magia con números

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XVII Olimpiada Matemática, Castellón, 2006)

Joan quiere impresionar a sus amigos con un truco de magia numérico, y les propone el siguiente juego: "Elige un número de tres cifras y forma otro de seis cifras repitiéndolo dos veces. Divide este número entre 7, después, divide el resultado entre 11 y, para acabar, divide el resultado entre 13. Todas las divisiones te darán exactas, y resultará sorprendente el resultado final."

¿Cuál será ese resultado tan sorprendente? ¿Por qué sucede?

Solución

Actualización: Este problema fue propuesto, realmente, en la fase autonómica, que se celebró en Castellón, en 2006. No en la fase provincial de Castellón.

jueves, 27 de diciembre de 2007

La gran comida

(Fase comarcal de la XVIII Olimpiada Matemática, 2007)

Queremos preparar una comida para 15 personas y tenemos que comprar un cerdo. Hay tres tipos de cerdos:

Pequeño: 4,5 kg aproximadamente;

Mediano: 5,5 kg aproximadamente;

Grande: 6,5 kg aproximadamente;

Si sabemos que necesitaremos 425 gramos por persona, y en caso de duda más vale que sobre que no que falte.

a) ¿Qué tipo de cerdo compraremos?

b) Si el precio por kilogramo es de 6 euros, ¿cuánto nos costará?

c) Si sabemos que el tiempo de cocción es de 22 minutos por cada medio kilogramo, y queremos tener listo el cerdo para las 2 en punto ¿a qué hora debemos empezar a cocinar?

d) De postre queremos preparar un pastel de chocolate y, para los ingredientes, en el libro de cocina pone que para 6 personas necesitamos: 4 huevos, 150 gramos de azúcar, 200 gr de chocolate negro de cobertura, 50 gr de manteca y 250 de harina. ¿Cuántos huevos y cuánta cantidad de chocolate necesitaremos?

Solución

domingo, 23 de diciembre de 2007

Sumas de primos y cuadrados

(Fase local de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n2 + p, siendo n natural y p primo?

Razónese la contestación.

Solución

jueves, 20 de diciembre de 2007

Simetrías en un triángulo

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Dado un triángulo ABC rectángulo, se consideran los puntos A', B' y C', simétricos respectivamente de A, B y C respecto a los lados opuestos del triángulo.

¿Qué relación existe entre el área del triángulo A'B'C' y la del triángulo ABC?

Solución

domingo, 16 de diciembre de 2007

Dos moscas en una caja

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XVII Olimpiada Matemática, Castellón, 2006)

¿Cuál es la distancia máxima a la que se pueden encontrar dos moscas en una caja, cuyas dimensiones son 80 centímetros de largo, 60 de ancho y 20 de altura?

Solución

Actualización: Este problema fue propuesto, realmente, en la fase autonómica, que se celebró en Castellón, en 2006. No en la fase provincial de Castellón.

jueves, 13 de diciembre de 2007

Una suma femenina

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Encuentra el valor de cada una de las letras que aparecen en la suma, sabiendo que cada letra distinta corresponde a una cifra distinta, y que R vale 5: EVA + ANA = SARA.

Solución

domingo, 9 de diciembre de 2007

Consecuencias de una igualdad

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Los números reales no nulos a y b verifican la igualdad (a2b2)/(a4 - 2b4) = 1.

Encontrar, razonadamente, todos los valores tomados por la expresión (a2 - b2)/(a2 + b2).

Solución

jueves, 6 de diciembre de 2007

A partir de una fecha

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) Dada una fecha cualquiera (día, mes, año), forma el número con las cifras de esta fecha ordenadas de forma decreciente, y el número que forman las cifras ordenadas de forma creceiente. Resta la menor de la mayor. Suma las cifras del número que has obtenido, y vuelves a sumar las cifras del resultado, hasta que sólo quede una cifra. ¿Qué cifra es?

a) Haz el cálculo con la fecha del día de hoy (13 de mayo de 2006) y con la de tu cumpleaños.

b) Demuestra que siempre obtienes el mismo número.

Solución

domingo, 2 de diciembre de 2007

Sudoku

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Resuelve el sudoku que viene a continuación:

Sudoku

Sudoku

Solución