jueves, 30 de julio de 2009

Más símbolos desconocidos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Tablero con símbolos

Tablero con símbolos

Los símbolos representan tres números entre 1 y 9. Si sumas las filas y las columnas debes obtener los resultados que se indican fuera de la tabla.

¿Qué valor tiene cada símbolo?

Solución

domingo, 26 de julio de 2009

Retículas equilibradas

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Los puntos de una retícula m × n pueden ser de color blanco o negro.

Una retícula se dice que está equilibrada si para cualquier punto P de ella, la fila y columna que pasan por este punto P tienen ambas el mismo número de puntos de igual color que P.

Determinar todos los pares de enteros positivos (m, n) para los que existe una retícula equilibrada.

Solución

jueves, 23 de julio de 2009

La herencia

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un terreno se divide en partes iguales entre un cierto número de herederos. Si fuesen tres herederos más, cada parcela disminuiría en 20 metros cuadrados, pero si fuesen 4 menos, cada parcela aumentaría en 50 metros cuadrados.

¿Cuál es el área del terreno?

Solución

miércoles, 22 de julio de 2009

Chicos, chicas y olimpiadas de matemáticas

He estado pensando hacer una entrada de este tipo hace un cierto tiempo, pero no me decidía. La verdad es que me llama la atención la escasa presencia de chicas en los concursos de matemáticas, cuando mi observación directa en clase me revela que son tan capaces unas como los otros. Es difícil obtener estadísticas fiables, porque normalmente el sexo no suele ser un dato que se cite, pero la impresión es que la participación en general es escasa, de forma que eso puede ser determinante en que los premios sean la mayor parte de veces para chicos.

En esta edición de la IMO (Bremen, 2009) se registra una participación de 59 chicas, lo que significa un 10,44% de los participantes. Puede parecer poco, pero es la mayor cantidad de participantes femeninas, tanto en niveles absolutos como en relativos, de la historia de este concurso. He estado hojeando datos de otros años, y si miramos por porcentajes, tenemos una evolución significativa. Empezando desde la edición 1999 (40), tenemos un os porcentajes de 7,33, 6,5, 6,97, 7,3, 5,9, 7,4, 8,38, 7,63, 9,23, 10,28, y 10,44. Se puede observar una ligera tendencia al alza, aunque no parece que se llegue a una paridad en los próximos años.

En cuanto a premios, llama la atención el tercer puesto logrado por Lisa Sauermann, que no es, sin embargo la mejor posición histórica, ya que en el año 94 se le otorgó el primer puesto a Theresia Eisenkölbl, de Austria. Sin embargo, ese fue un año extraño, ya que hubo 22 personas empatadas en el primer puesto con una calificación perfecta, entre ellas dos mujeres.

Esperemos que esto cambie en el futuro, que haya más participación del sector femenino de la población y demuestren su capacidad en este tipo de pruebas.

lunes, 20 de julio de 2009

Resultados de la IMO 2009

Ya se han publicado los resultados de la 50 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), que se ha celebrado en Bremen (Alemania). Si los queréis consultar íntegramente, podéis visitar la página oficial de la IMO, concretamente el apartado de la edición 2009.

Los que han quedado en primer lugar, indudablemente (han conseguido una puntuación perfecta, 42 puntos) han sido Makoto Soejima, de Japón y Dongyi Wei, de la República Popular China. En ninguno de los dos casos se trataba de su primera participación. Makoto participaba por cuarta vez (bronce y tres oros, el primero con puntuación perfecta), y Dongyi participaba por segunda vez, cosa que es poco frecuente en su país, después de lograr otro oro con puntuación perfecta el año pasado.

A muy poca distancia, con sólo un punto menos en la segunda cuestión (lo que es afinar mucho, incluso en este tipo de competiciones), está Lisa Sauermann, de la que ya hablé en otra entrada. Lleva ya una plata y dos oros.

Después de estos tres concursantes, los siguientes están a 3 o más puntos. En total, 49 medallas de oro, 98 de plata, 135 de bronce y 96 menciones honoríficas.

El primer español clasificado, Moisés Herradón Cueto, se tuvo que conformar, por 4 puntos, con una medalla de bronce (20 puntos), al igual que Iván Geffner, Ander Lamaison y Glenier Lázaro Bello Burguet, que obtuvieron 15 puntos. Jaime Roquero y Alberto Merchante se quedaron sin premio en esta dura prueba.

Me gustaría destacar al concursante Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de Perú, que consiguió 16 puntos y una medalla de bronce con sólo 11 años.

Por países, aunque la clasificación es oficiosa (la oficial es la individual), de nuevo la República Popular China se sitúa en primer puesto, como 10 de las últimas 12 competiciones. El segundo puesto es para Japón, que consigue así su mejor resultado histórico (el siguiente lo obtuvo en 2007, año en que fue sexto). El tercer puesto lo ocupa la Federación Rusa, que suele ocupar una buena plaza desde hace muchas ediciones.

Posiciones destacadas también ocupan, en este orden, la República de Corea, la República Popular Democrática de Corea, Estados Unidos de América (su peor resultado en los últimos 9 años, a pesar de todo), Tailandia (lleva dos años sorprendiendo al mundo), Turquía (segunda vez consecutiva en octava posición), Alemania (no es frecuente verla entre los diez primeros, pero se celebraba en su país), y Bielorrusia, en su mejor posición en los últimos 9 años).

De los países iberoamericanos, Brasil ocupa el puesto 17, su mejor clasificación porcentual histórica, y su segunda absoluta, ya que en dos ocasiones ha sido décimo sexto, Perú está en el puesto 24, su segunda mejor clasificación, Portugal en el puesto 33, su mejor resultado histórico, Argentina en el puesto 35, Colombia con un puesto 39, y México con un puesto 39, que es el pero de los últimos años.

Detrás, España quedó en el puesto 55, superando al 47,6 % de los países participantes. Como clasificación absoluta tal vez no sea muy buena, pero en posición relativa es la 4ª mejor de la historia.

domingo, 19 de julio de 2009

Cuestión de ahorro

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una bombilla normal de 100W cuesta 0,6€ y dura aproximadamente un año. Una bombilla equivalente de bajo consumo cuesta 5€, gasta 12W por hora, y dura unos tres años aproximadamente.

Sabiendo que el precio de la energía está a 0,1€ por cada KW por hora consumido. ¿Son realmente más económicas las bombillas de bajo consumo?

Solución

viernes, 17 de julio de 2009

Baldosas

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cuadrado con baldosas rectangulares

Cuadrado con baldosas rectangulares

Rafa quiere hacer un cuadrado, como se indica en la figura, usando baldosas de 40 cm x 20 cm.

La idea es usar las baldosas para bordear internamente el cuadrado.

En el ejemplo, con 8 baldosas hace un cuadrado de 1 m por 1 m. Si tiene 150 baldosas, ¿de qué tamaño es el cuadrado más grande que puede hacer?

Solución

jueves, 16 de julio de 2009

Segunda sesión de la IMO 2009

Y aquí están los problemas de la segunda sesión. Debo recordar que las soluciones, si las escribo, no estarán disponibles hasta dentro de bastante tiempo. En esta ocasión he obtenido los enunciados de la página oficial de la IMO.

Problema 4. Sea ABC un triángulo con AB = AC. Las bisectrices de los ángulos CAB y ABC cortan a los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triángulo ADC. Supongamos que el ángulo BEK = 45◦. Determinar todos los posibles valores de CAB.

Problema 5. Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden a, f (b) y f (b + f (a) − 1).

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Problema 6. Sean a1, a2, ..., an enteros positivos distintos y M un conjunto de n − 1 enteros positivos que no contiene al número s = a1 + a2 + · · · + an . Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto 0 y da n saltos hacia la derecha de longitudes a1 , a2, ..., an , en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de M .

miércoles, 15 de julio de 2009

Primera sesión de la IMO 2009

Ya se conocen los problemas de la primera sesión. Si no cuento con ayuda, no creo que pueda poner una solución fácil de entender, porque no dispongo de mucho tiempo. La versión que pongo aquí la he obtenido del Portal Mathlinks.

Problema 1. Sea n un entero positivo y sean a1, a2, ..., ak (k ≥ 2) enteros distintos del conjunto {1, 2, ..., n}, tales que n divide a ai(ai+1-1), para i = 1, 2, ..., k-1. Demostrar que n no divide a ak(a1-1).

Problema 2. Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Sean P y Q puntos interiores de los lados CA y AB, respectivamente. Sean K, L y M los puntos medios de los segmentos BP, CQ y PQ, respectivamente, y Γ la circunferencia que pasa por K, L y M. Se sabe que la recta PQ es tangente a la circunferencia Γ. Demostrar que OP = OQ.

Problema 3. Sea s1, s2, s3, ... una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones ss1, ss2, ss3, ... y ss1+1, ss2+1, ss3+1, ... son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión s1, s2, s3, ... es también una progresión aritmética.

lunes, 13 de julio de 2009

Más información sobre la IMO 2009

Hoy, martes 14 de julio, deberían haber llegado a Bremen los participantes en la Olimpiada Matemática Internacional. El primer acto oficial en el que participan es la ceremonia de apertura. Mañana tendrán la primera prueba, que rápidamente estará en Internet a disposición de todos.

He contactado con algunos del equipo español, y me han comentado que han estado preparando la prueba hasta hace relativamente poco. Moisés Herradón Cueto, al que entrevisté hace casi un año, Alberto Merchante González y Jaime Roquero me han comentado que la preparación ha sido dura pero necesaria, y que me contarán detalles del desarrollo de la prueba en Bremen para que los ponga aquí.

A Moisés ya lo conceréis los veteranos del blog, aunque a la vuelta de Alemania, trataré de que nos ponga al día.

Jaime ha estudiado hasta 2º de Bachillerato en Liceo Francés de Madrid, que por lo visto tiene una gran tradición en las pruebas de matemáticas, ya que ha dado varios participantes en la IMO. Desde sexto de primaria ha participado en diversos concursos, aunque nunca con tanto éxito. Tiene intención de hacer Matemáticas y Física en París. El año pasado ya participó en la Olimpiada Matemática Española, y muestra predilección por los problemas de teoría de números, aunque también le gusta la geometría y la combinatoria.

Alberto estudia bachillerato en el Ramiro de Maeztu, de Madrid. El año que viene hará 2º. Se presenta a competiciones matemáticas desde 6º de primaria, y en 2º de la ESO participó en la fase nacional de Olimpiada de ese nivel. Es el primer año que se presenta a este concurso, y sus problemas favoritos son los de geometría.

Como curiosidad, estaba revisando los países que mejor resultado obtuvieron el año pasado, y he encontrado numerosos participantes que vuelven. No me da tiempo a citar a todos, me he quedado en la octava posición, pero si tengo un rato pondré más.

Dongyi Wei (República Popular China): Obtuvo un oro en 2008, consiguiendo una puntuación perfecta.

Evan O'Dorney y Eric Larson (Estados Unidos de América) consiguieron plata en 2008. El primero de ellos aún tiene 15 años.

Sunkyu Lim (República de Corea), de 17 años. Obtuvo una plata muy alta, con una gran primera jornada, aunque en la segunda no obtuvo muchos puntos.

Un Song Ri (República Popular Democrática de Corea), oro en 2008. consiguió una puntuación perfecta, excepto el último problema, en el que no obtuvo ningún punto.

Melih Üçer (Turquía), de 16 años, consiguió plata en 2007 y oro en 2008, con 5 problemas perfectos. También Umut Varolgunes, de 18 años, obtuvo oro en 2008, con un punto más. De Turquía también son Fehmi Emre Kadan y Sureyya Emre Kurt (18 y 17 años), ambos plata el año pasado.

Actualización: Como nos recuerda uno de los lectores del blog en otra entrada, llama la atención la juventud de uno de los participantes de Perú, Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de tan sólo 11 años. Es su primera participación, pero debido a su edad espero que gane mucha experiencia.

domingo, 12 de julio de 2009

Raíces en común

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Dado un número natural n mayor que 1 , hallar todos los pares de números enteros a y b tales que las dos ecuaciones xn + ax − 2008 = 0 y xn + bx − 2009 = 0 tengan, al menos, una raíz común real.

Solución

jueves, 9 de julio de 2009

Juego con bolas

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una caja contiene 40 bolas. Dos amigos participan en un juego extrayendo, alternativamente, bolas de la caja.

Cada uno, en su turno, puede extraer cualquier cantidad de bolas de la caja que no sea superior a la mitad de las que hay. El que no pueda extraer ninguna bola respetando las reglas, pierde el juego.

Suponiendo que los dos juegan correctamente, ¿quién ganará, el primero o el segundo en jugar?

Explica la estrategia ganadora.

Solución

martes, 7 de julio de 2009

IMO 2009 en Bremen

Como todos los años por estas fechas, desde 1959, se celebra la edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO). Este año se celebra en Bremen (Alemania). El 10 de julio comienza a recibir al jurado, que seleccionará los problemas a los que se enfrentarán 575 concursantes de 105 países, más 3 que sólo enviarán observadores. La verdadera competición comenzará el día 15 con la primera sesión de la prueba.

Por si alguien aún no se ha enterado en qué consiste, se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.

Como acuden representantes de todo el mundo, los problemas deben ser de una complejidad extraordinaria, aunque deben poderse resolver con pocos conocimientos previos. Esto, que parece contradictorio, ocasiona un largo proceso de selección de los problemas.

En esta ocasión, España participa con un equipo de seis chicos (el máximo permitido). El madrileño Moisés Herradón Cueto, de 17 años participa por segunda vez. En Madrid (2008) logró una mención honorífica, y aún puede volver a presentarse el año que viene.

También cuenta con experiencia previa Glenier Lázaro Bello Burguet, que participó en Hanoi (Vietnam) 2007, y el año pasado se tuvo que conformar con la medalla de plata en la Olimpiada Matemática Española.

Los participantes Ander Lamaison Vidarte y Alberto Merchante González participan por primera vez en una internacional, pero tan sólo tienen 16 años, por lo que es de esperar que este año les sirva de valiosa experiencia para futuras ediciones.

Por último, aunque no menos importante, Iván Geffner Fuenmayor y Jaime Roquero Giménez también acuden por primera vez, pero será la última debido a su edad.

Todos ellos obtuvieron medalla de oro en la pasada Olimpiada Matemática Española. Espero que tengan suerte y nos traigan alguna medalla más para España.

Les acompañará Ignasi Mundet Riera como tutor, veterano participante en estas pruebas (bronce en suecia en 1991), con gran experiencia, que fue el coordinador jefe el año pasado en la IMO de Madrid.

En calidad de jefa de la delegación, aunque los concursantes no la verán hasta después de la prueba, irá María Gaspar Alonso-Vega, que fue el año pasado vicepresidenta ejecutiva del Comité IMO 2008. También es presidenta de la Comisión de Olimpiadas de la Real Sociedad Matemática Española, y ha acompañado al equipo español en numerosas ocasiones.

Por último, España envía a un observador, Marco Castrillón López, que participó como concursante en 1990 y que también perteneció al comité organizador el año pasado. Como Ignasi, cuenta con bastante experiencia en este tipo de concursos.

Otro día hablaré de otros participantes de otros países, aunque no quiero despedir este breve artículo sin mencionar a una persona cuyo nombre me ha llamado la atención. Se trata de Lisa Sauermann, participante alemana de sólo 16 años que, pese a su juventud, ha obtenido plata en Hanoi (2007) y oro en Madrid (2008). Sin duda, un gran historial que la sitúan como favorita, más todavía si consideramos que juega en casa.

domingo, 5 de julio de 2009

Olimpiada de educación física

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un grupo de alumnos están formados en forma de cuadrado para realizar una exhibición de Educación Física. Como debían llevar a cabo dos actividades diferentes, el profesor los dividió en dos grupos en forma de rectángulo, uno de los cuales tenía 36 alumnos más que el otro. ¿Cuántos alumnos había en total al principio?

Sabemos que en esos rectángulos no hay menos de 30 ni más de 70 individuos.

Solución

jueves, 2 de julio de 2009

Cromos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Rafa y Mario coleccionan cromos de futbolistas. Rafa completó su álbum y Mario completó 3/4 partes del suyo.

Si entre los dos, pegaron 245 cromos, ¿cuántos cromos tiene el álbum?

Solución