jueves, 31 de marzo de 2011

Un rectángulo cortado (II)

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Ana tenía una hoja rectangular de 12 por 7 centímetros, y la ha cortado en cuatro rectángulos (no sabemos si iguales o distintos).

La primera parte del problema es ver de qué formas diferentes puede Ana haber hecho los cortes en la hoja: ¿Puede haber hecho un corte que no sea paralelo a los lados? ¿En qué direcciones puede haber hecho cada uno (hay varias posibilidades)?

Encuentra un método para partir cada uno de esos rectángulos en dos trozos de forma que uniendo cuatro de los trozos sobrantes se pueda construir un cuadrado, y uniendo los otros cuatro, un rectángulo. Se supone que unirlos quiere decir pegarlos sin superponer ningún fragmento.

Como debes haber estudiado las posibilidades en el caso anterior, trata de explicar tu método claramente en cada uno de los casos.

Solución

domingo, 27 de marzo de 2011

Un rectángulo cortado (I)

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Ana tenía un rectángulo de cartón que mide 9 por 4 centímetros. Lo ha cortado en tres rectángulos (no sabemos si iguales o distintos) de lados enteros.

La primera parte del problema es ver de qué formas diferentes puede Ana haber hecho los cortes en la hoja: ¿Puede haber hecho un corte que no sea paralelo a los lados? ¿En que dirección puede haberlos hecho (hay varias posibilidades)?

La segunda parte es más complicada. Encuentra un método para partir cada uno de esos rectángulos en dos trozos de forma que uniendo tres de los trozos sobrantes se pueda construir un cuadrado, y uniendo los otros tres, un rectángulo. Se supone que unirlos quiere decir pegarlos sin superponer ningún fragmento.

Como debes haber estudiado las posibilidades en el caso anterior, trata de explicar tu método claramente en cada uno de los casos.

Solución

sábado, 26 de marzo de 2011

Un problema de ciudades y carreteras

Concurso de El Pais, marzo de 2011

Grafo

Grafo

El dibujo que hay junto a estas líneas es un grafo, y representa una serie de puntos (pueden ser ciudades, interruptores, puntos de interés, estaciones de metro, ...), llamados nodos unidos por unos trazos (pueden ser carreteras, calles, vías, cables, ...) llamados aristas. Un camino en el grafo es un recorrido por el grafo que usa las aristas para saltar de nodo en nodo.

Encuentra un camino en el grafo de forma que se recorran todos los números una única vez y se vuelva al número inicial, o bien, demuestra que es imposible. Puedes empezar por el número que quieras, pero (salvo el inicial) no puedes pasar dos veces por el mismo nodo.

No es necesario recorrer todos los caminos, si no todos los nodos (números). Este tipo de caminos se llaman Hamiltonianos, y los que recorren todos los caminos, Eulerianos.

Solución

viernes, 25 de marzo de 2011

Triangulando números

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Triángulo de círculos

Triángulo de círculos

Coloca los números del 1 al 9 en los círculos que hay dibujados en el triángulo, para que la suma de los de cada lado sea 20.

Colócalos para que la suma 17.

¿Cuál es la suma máxima se puede conseguir?

¿Y la mínima?

Solución

martes, 22 de marzo de 2011

Matemáticas en El Pais

Esta semana he observado con mucha alegría que un medio de comunicación muy popular en España, el periódico El Pais, hace una interesante promoción de una colección de libros de contenido matemático.

El blog Gaussianos ya se ha hecho eco de la noticia.

Además, convoca un concurso semanal con un problema que hay que resolver para recibir la colección de forma gratuita.

Por mi parte, ya he participado en el primer problema, aunque he cometido un error en mi dibujo del grafo que seguramente invalidará la solución.

En fin, me alegra que esta materia con la que tanto disfruto aparezca en un medio de difusión generalista.

domingo, 20 de marzo de 2011

19 puntos en un hexágono

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

En un hexágono regular de lado unidad se sitúan 19 puntos.

Demuestra que hay al menos un par de ellos separados por una distancia no mayor que √3/3.

Solución

viernes, 18 de marzo de 2011

El torneo de la urbanización

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Todos los años en mi urbanización organizamos una competición de baloncesto llamada “8 hores de basquetbol”. Para poder contar con más participantes reducimos los partidos a 20 minutos a tiempo corrido (sin parar el reloj), más 10 minutos de preparación entre partido y partido.

Como cada partido ocupa media hora de campo, y sólo contamos con un campo para celebrar el concurso, podemos disputar un máximo de 16 partidos durante las ocho horas.

Nuestro modelo de competición consiste en partidos por sorteo (buscando que descansen, si es posible, los que más partidos lleven en ese momento y que no se repitan encuentros en la medida de lo posible). El equipo que acumule dos derrotas es eliminado, entrando en la clasificación según el número de victorias. Al final debe quedar un único campeón, que será el único que no ha perdido dos partidos en todo el torneo.

¿Cuántos equipos podemos invitar a jugar en esas condiciones, teniendo en cuenta que sólo podemos disputar 16 partidos?

La junta de gobierno nos ha dicho que el año que viene podremos contar con un segundo campo de juego en el polideportivo municipal. ¿A cuántos equipos podremos invitar entonces? ¿En algún momento no podremos jugar en ambos campos a la vez?

Solución

martes, 15 de marzo de 2011

Entrar en la asociación

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Para entrar a formar parte de una asociación nueva, hay que presentar una solicitud, que será o no aprobada por la Comisión Directiva.

Esta comisión está formada por cuatro personas, y votan por separado sobre si admiten o no una determinada solicitud. En una de estas votaciones pueden votar a favor, en contra, o abstenerse.

Cada aspirante a ingresar sólo será admitido si recibe dos o más votos a favor y ninguno en contra.

En la última sesión de la Comisión Directiva hubo varias solicitudes que considerar, y tenemos en nuestro poder las papeletas con las que se votó. Hemos contado en total 23 votos a favor, 2 votos en contra y 7 abstenciones.

¿Cuántas solicitudes se presentaron? Este dato es fácil de calcular.

Ahora bien, sólo podemos hacer suposiciones sobre las decisiones, ya que hay muchas situaciones diferentes posibles.

¿Cuál es la mayor cantidad posible de gente que fue admitida? Explica en qué te basas para dar esa cifra.

¿Qué cantidad de estas solicitudes se admitieron como mínimo? Explica de nuevo tu razonamiento en este caso.

Solución

viernes, 11 de marzo de 2011

Dos por uno

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Carmen y Jorge han ido juntos a comprarse unos zapatos.

Han aprovechado una ocasión de 2 x 1.

Los zapatos que ha elegido Carmen iban marcados con el precio de 2000 pesetas.

Los de Jorge estaban a 3500.

Como es costumbre en estos casos, han tenido que pagar sólo 3500 pesetas (el precio de los más caros) por llevarse los dos pares.

El caso es que ahora no saben muy bien cómo determinar la cantidad que le corresponde pagar a cada uno.

Intenta tú establecer un procedimiento que sea lo más justo posible.

Solución

domingo, 6 de marzo de 2011

Propiedad del baricentro

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Demuestra que en un triángulo se verifica: si r es una recta que pasa por su baricentro y no pasa por ningún vértice, la suma de las distancias a dicha recta de los vértices que quedan en un mismo semiplano es igual a la distancia del tercer vértice a dicha recta.

Solución

jueves, 3 de marzo de 2011

Tres de la canguro 2010 de nivel 3

Tres problemas de la competición canguro 2010, nivel 3º ESO

Están seleccionados de los tres niveles (3 puntos, 4 puntos y 5 puntos). Como es una competición contra reloj, deben emplearse a lo sumo 7 minutos y medio en los tres.

1.- ¿Cuánto vale 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89?

A) 405

B) 404

C) 396

D) 389

E) otro número

2.- La abuela hizo una tarta para los nietos que vienen a visitarla. Ella quiere que todos coman la misma cantidad de tarta, pero no se acuerda si son 3, 5 ó 6 los nietos que vendrán. Para asegurarse que eso ocurra, ¿en cuántos pedazos iguales debe dividir la tarta?

A) 12

B) 15

C) 18

D) 30

E) 32

Cinco círculos, nueve zonas

Cinco círculos, nueve zonas

3.- En la figura hay nueve regiones interiores a las circunferencias. Se escriben los números de 1 a 9, uno en cada región, de modo que la suma de los números en el interior de cada circunferencia sea 11. ¿Qué número deberá ser escrito en la región indicada por el signo de interrogación?

A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

Solución