jueves, 31 de julio de 2008

La última nota

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

El profesor Numerius pone una prueba a sus cinco alumnos y, después de corregirlas, introduce las notas en una plantilla electrónica que calcula automáticamente la media de las notas introducidas en cada momento.

Numerius observa que después de introducir cada nota, la media calculada por la plantilla siempre es un número entero.

Si las notas de los 5 estudiantes, en orden creciente, son 71, 76, 80, 82 y 91, ¿cuál es la última nota que ha introducido?

Solución

domingo, 27 de julio de 2008

Transporte aéreo

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

En el aeropuerto de Barcelona despega un avión cada 26 minutos, en el aeropuerto de Valencia, uno cada 24 minutos y en el aeropuerto de Alicante, uno cada 18 minutos. El 29 de abril, a las 2 a.m. coincidieron las partidas de los tres aeropuertos. Se sabe que los tres aeropuertos fueron cerrados por razones de seguridad aproximadamente una hora después de la siguiente coincidencia de partidas.

1. ¿Aproximadamente, a qué hora se cerraron los aeropuertos?

2. ¿Cuántos vuelos habían despegado del aeropuerto de Barcelona desde las 2 a.m. hasta la hora del cierre?

Solución

jueves, 24 de julio de 2008

Circuito

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Este circuito sólo reconoce números positivos sin decimales 0, 1, 2, 3... Cuando un número entra en este circuito se coloca en la casilla de Entrada, y siguiendo las flechas va avanzando hasta llegar a la Salida. En cada casilla debe realizar la operación que se indica y continuar su recorrido.

Circuito

Circuito

a) Irene hizo el circuito, y llegó a la salida con el 17. ¿Qué itinerario siguió, y con qué número empezó?

b) Nuria y Olga iniciaron el circuito con el mismo número y decidieron no pasar por la casilla central. Cada una eligió un camino distinto. si Olga salió con el 83 ¿qué itinerario siguió?

¿Qué itinerario siguió Nuria? ¿Con qué número acabó?

¿Con qué número empezaron ambas el circuito?

c) Explica porqué todo número que entra puede llegar a la casilla que divide por dos y esa división siempre da exacta.

d) El miércoles observé que alguien inició el circuito con un número menor que 50 y terminó con el 396. ¿Qué camino siguió?

e) ¿Es posible ir por los caminos del borde y llegar al mismo número? Contesta de manera razonada (se supone que partiendo con el mismo número, claro).

Solución

miércoles, 23 de julio de 2008

Resultados de la Olimpiada Internacional

El pasado día 21 se clausuró en Madrid la 49 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Para mí, ha sido una experiencia inolvidable, debido a que, como ya comenté en el blog, he sido invitado a participar como coordinador. Sin embargo, la participación española, pese a lograr tres ajustadas medallas de bronce y tres menciones honoríficas, sigue sin ser destacada, aunque suma el segundo mejor resultado en puntos y el mejor en clasificación (en porcentaje) de su historia.

Tres participantes lograron la totalidad de los puntos en juego, 42, Xiaosheng Mu, Dongyi Wei y Alex Zhai, los tres en su primera participación. Los dos primeros son chinos y el tercero, norteamericano. Muy próximo a ellos está el húngaro László Miklós Lovász, con 39 puntos, en su segunda participación (en Vietnam obtuvo una medalla de plata). La quinta posición la comparten Vladislav Volkov, de Rusia, István Tomon, también de Hungría, y Nikolay Ivanov Beluhov, de Bulgaria, con 37 puntos. Los dos primeros tienen dos participaciones, y el tercero, tres.

A continuación hay otro empate entre cuatro por el puesto octavo, con 36 puntos se encuentra a Pasin Manurangsi, de Tailandia, Dmitry Babichev, de Rusia, Kasra Ahmadi, de Irán, y Umut Varolgunes, de Turquía.

En el siguiente grupo encontramos a Fernando Manrique Montañez, de Perú, el primer hablante de español de la clasificación. También en el mismo grupo aparecen las dos primeras mujeres, Zhuo Chen, de China, y Lisa Sauermann, de Alemania.

En cuanto a España, consigue tres medallas de bronce, las de Arnau Messegué Buisan, Diego Bruno Izquierdo Arseguet y Gabriel Fürstenheim Milerud, y tres menciones honoríficas, las de David Alfaya Sánchez y Moisés Herradón Cueto, con 13 puntos, y la de Juan José Madrigal Martínez, con 11.

Los problemas fueron tan complicados como siempre, pero he decidido que publicaré poco a poco en este blog tanto su enunciado como las soluciones que puedan mostrar cómo se puede razonar para lograr su solución sin unos conocimientos previos excesivamente amplios, pero armado con una gran capacidad para el razonamiento y de búsqueda de patrones. Trataré de que no substituya a ninguna de las secciones que trato hasta ahora, de forma que probablemente aparezca un apartado nuevo cada dos semanas.

Si algún lector tiene curiosidad por algún apartado en concreto, estoy dispuesto a tratar de contestar a cualquier duda que se plantee.

domingo, 20 de julio de 2008

Sumando potencias

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Sea m un entero positivo. Demuestra que no existen números primos de la forma 25m + 2m + 1

Solución

jueves, 17 de julio de 2008

Cuerdas paralelas

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dos cuerdas de una circunferencia están opuestas por el centro, son paralelas y miden respectivamente 16cm y 12 cm. La distancia entre ellas es de 14 cm.

Calcula el diámetro de la circunferencia.

Solución

domingo, 13 de julio de 2008

Buen partido

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Supongamos que el 70% de los hombres son listos, el 70% de los hombres son guapos, y el 70% de los hombres son ricos. ¿Cuál es el porcentaje mínimo de hombres afortunados que poseen las tres cualidades?

Solución

sábado, 12 de julio de 2008

Olimpiada Internacional

Tengo el honor de haber sido convocado para participar como coordinador en la organización de la 49 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), que por primera vez se celebra en España, concretamente en su capital, Madrid.

El puesto de coordinador consiste en tratar de unificar criterios a la hora de corregir todos los resultados de una misma pregunta, es decir, que nadie reciba más puntos que otro si ha resuelto una parte menos importante, y que si han resuelto lo mismo reciban la misma puntuación. Hay que tener en cuenta que participan 104 países con un máximo de 6 participantes por país (en total, 551 participantes), y es imposible que la misma persona revise todos los ejercicios de un mismo problema, por no citar el detalle del idioma en el que estarán escritas las respuestas.

Para un mismo problema hay muchos coordinadores, y nos reuniremos antes de las pruebas para aunar criterios y tratar de decidir claramente a qué se le da puntos y a qué no. Hay que tener en cuenta que cada problema se puntúa con un máximo de 7 puntos, y no se pueden usar fracciones de punto.

El jurado de la prueba, al cual no pertenezco, es el encargado de seleccionar los 6 problemas que constituirán las preguntas de las dos sesiones, de entre la lista de problemas que han sido presentados por las delegaciones de los países participantes durante el último año. Debe ser muy difícil seleccionar esta prueba, ya que cada país tratará de que verse sobre los tipos de problema en los que más preparados estén sus representantes.

A título personal, esto supone un interesante reto, y la oportunidad de estar en contacto con muchos amigos que comparten mi afición por la resolución de problemas, y de conocer a más gente con este mismo gusto. Puede que durante unos días esté más ocupado que de costumbre, y tal vez se note en que dejo mi blog un poco abandonado. Trataré de dejar las entradas de los días en que esté concentrado programadas, pero notaréis que no puedo aprobar comentarios, ni corregir los problemas y las soluciones, ni enlazar unos con otros cuando aparezcan. En cuanto tenga un rato lo pondré al día.

Si alguno de los que leen este blog participa en la prueba, puede que después quiera saludarme (evidentemente, antes será imposible, pues en cuanto conozca los enunciados estaré muy ocupado).

Por otra parte, me gustaría saber si a los lectores de este blog les interesa conocer más detalles de la prueba, o si les podría interesar alguna entrevista con los preparadores, los participantes o los miembros de la organización, ya que esta oportunidad probablemente no se repita. Si es así, dejad un comentario con las sugerencias.

jueves, 10 de julio de 2008

Rectángulo

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Rectángulo dividido

Rectángulo dividido

Consideremos el rectángulo ABCD de la figura.

Dividimos la diagonal AC en tres segmentos iguales mediante los puntos E y F.

Y unimos los puntos E y F con B y con D.

a) Si hago el recorrido ABCFEDABCFEDA..., desplazándome por los segmentos trazados ¿en qué punto acabaré tras pasar por 2008 letras?

b) ¿Se podrá hacer un recorrido que pase por todos los segmentos de esa figura una sola vez empezando desde A?

¿Y empezando desde B? Dibújalo si es posible, o di qué dificultad has encontrado si crees que no lo es.

c) Si la base del rectangulo mide 12m y la altura 9m, ¿cuál es el área del triángulo de vértices BEF?

d) Dividimos la otra diagonal en tres segmentos iguales mediante dos puntos llamados G y H, formando el cuadrilátero EGHF. ¿Cuál es su área?

Solución

domingo, 6 de julio de 2008

Un triángulo sobre una circunferencia

(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

ABC es un triángulo isósceles con AB = AC. Sea P un punto cualquiera de la circunferencia tangente a los lados AB en B y a AC en C.

Llamamos a, b y c a las distancias desde P a los lados BC, AC y AB respectivamente. Probar que: a2 = b*c.

Solución

jueves, 3 de julio de 2008

Puntos alineados

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Sobre el lado DC de un cuadrado ABCD dibujamos un triángulo equilátero DCF, interior al cuadrado. Sobre el lado BC, dibujamos otro triángulo equilátero CHB, exterior al cuadrado.

Deduce que los puntos A, F y H pertenecen a una misma recta, es decir, están alineados.

Solución