lunes, 28 de diciembre de 2009

Desigualdad cuadrática

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Sean a, b, c números reales positivos tales que abc = 1. Prueba la desigualdad siguiente:

(a/(1 + ab))2 + (b/(1 + bc))2 + (c/(1 + ca))2 ≥ 3/4

Solución

sábado, 26 de diciembre de 2009

Polígonos con ángulos enteros

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Encuentra todos los polígonos regulares que cumplen que el ángulo entre lados consecutivos mide una cantidad entera de grados sexagesimales.

Solución

miércoles, 23 de diciembre de 2009

Capicúas en base 3

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Los primeros 2009 enteros se han escrito en base 3.

¿Cuántos de ellos son capicúas?

Un número es capicúa si empieza igual que acaba, es decir, que si invertimos el orden de todas sus cifras, obtenemos el mismo número (por ejemplo, 12021 es capicúa).

Los números en base tres son aquellos que se escriben usando únicamente tres cifras, las cifras 0, 1 y 2. Así, el que habitualmente representamos por 3, en base 3 se escribe 10, el 4 se escribe 11, el 5, 12, y el 6 se escribe 20. El 2009 se escribe 2202102, ya que es igual a 1458 + 486 + 54 + 9 + 2 = 2*36 + 2*35 + 2*33 + 32 + 2, como puedes comprobar.

Solución

sábado, 19 de diciembre de 2009

Pintando juntos

Fase provincial de castellón de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Pau y Joana son amigos y pintan juntos, y les han contratado para pintar tres paredes iguales. A Pau le cuesta pintar una pared tres horas y a Joana le cuesta seis horas.

Si pintan juntos, averigua las horas que necesitan para acabar el encargo.

Explica qué parte del encargo que ha pintado cada uno.

Solución

lunes, 14 de diciembre de 2009

El incentro y la altura

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Sean ABC un triángulo acutángulo, I el centro del círculo inscrito en el triángulo ABC , r su radio y R el radio del círculo circunscrito al triángulo ABC.

Se traza la altura AD = ha, con D perteneciente al lado BC. Demuestra que DI2 = (2R - ha)(ha - 2r)

Solución

jueves, 10 de diciembre de 2009

Lotería primitiva

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En el sorteo de la Lotería Primitiva se extraen 6 bolas de 49 números posibles, además de otra bola que representa el número complementario, y una bola de otro bombo con 10 posibles valores (del 0 al 9) para determinar el reintegro (devolución de la apuesta).

Hay un premio "gordo" para los acertantes de los seis números de la combinación ganadora; y otros premios menores: cinco números más el complementario, cinco números, cuatro números, tres números y el reintegro.

El precio de una apuesta es de un euro. Consiste en marcar 6 números de los 49. Si apostamos un euro, calcula la probabilidad de que toque cada uno de los premios.

Solución

lunes, 7 de diciembre de 2009

Colección de cubos

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Helena pinta blancas o negras las caras de una colección de cubos de madera y en cada cubo usa los dos colores.

¿Cuantos cubos puede conseguir que tengan repartidos los colores de manera diferente?

Justifica tu respuesta.

Solución

jueves, 3 de diciembre de 2009

Tarjetas en pilas

XV Olimpiada de Mayo, tercer problema del primer nivel, 2009

Se tienen 26 tarjetas y cada una tiene escrito un número. Hay dos con el 1, dos con el 2, dos con el 3, y así siguiendo hasta dos con el 12 y dos con el 13. Hay que distribuir las 26 tarjetas en pilas de manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:

(i) Si dos tarjetas tienen el mismo número están en la misma pila.

(ii) Ninguna pila contiene una tarjeta cuyo número es igual a la suma de los números de dos tarjetas de esa misma pila.

Determina cuál es el mínimo número de pilas que hay que hacer. Da un ejemplo con la distribución de las tarjetas para ese número de pilas y justifica por qué es imposible tener menos pilas.

Solución

martes, 1 de diciembre de 2009

Bronce en la Olimpiada de Mayo

Esta semana me he llevado una alegría, ya que un alumno del IES Miguel Hernández, Julen Rebollo Múgica, ha obtenido medalla de bronce (7º puesto) en la pasada XV Olimpiada de Mayo 2009. Resulta que nadie nos lo había comunicado (los resultados estaban disponibles, al parecer, desde finales de septienmbre) y yo había olvidado por completo revisar la página.

Si quieres conocer el resto de resultados, se encuentran en la página de la Olimpiada de Mayo o en un archivo PDF en la página de la Sociedad Puig Adam.

Supongo que, en un cierto tiempo, nos llegarán los diplomas correspondientes tanto a él como al resto de alumnos participantes, a los que desde aquí felicito por su participación en la competición.

domingo, 29 de noviembre de 2009

La diferencia es 2009

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Determina justificadamente todos los pares de números enteros (x, y) que verifican la siguiente ecuación: x2 - y4 = 2009.

Solución

jueves, 26 de noviembre de 2009

Impuesto en la aduana

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Dos comerciantes de vino entraron en París con 64 y 20 barriles de vino, respectivamente.

Como no tenían bastante para pagar los derechos de la aduana, el primero de ellos entregó 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio.

¿Cuál era el precio del barril y el impuesto que se pagaba en la aduana?

Solución

domingo, 22 de noviembre de 2009

Un punto en un triángulo equilátero

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

El punto P está en el interior de un triángulo equilátero ABC. los puntos Q, R y S son los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados AB, BC y AC, respectivamente. Sabemos que PQ = 1, PR =2 y PS = 3.

¿Cuánto vale el lado del triángulo equilátero ABC?

Solución

jueves, 19 de noviembre de 2009

Tres números primos

XV Olimpiada de Mayo, segundo problema del primer nivel, 2009

Encuentra números primos p, q, r, para los cuales sea p + q2 + r3 = 200.

Da todas las posibilidades.

Recuerda que el número 1 no es primo.

Solución

domingo, 15 de noviembre de 2009

Sumando 2009

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos a1, a2, ..., an, con n ≥ 3, tales que a1 + a2 + ... + an = 2009.

Solución

jueves, 12 de noviembre de 2009

Duplicar moviendo cifras

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un grupo de alumnos no tiene profesor y, aprovechando el momento, uno de los alumnos escribe en la pizarra un número muy largo, de 18 cifras. Cuando llega el profesor de guardia, borra la última cifra de la derecha y la escribe al principio del número, quedando así un número que es el doble del que había escrito el alumno.

¿Qué número había escrito el alumno en la pizarra?

Solución

martes, 10 de noviembre de 2009

Concursos del curso 2009/10

Ya conocemos más detalles de los concursos de este curso.

Hemos recibido información del concurso Canguro Matemático, que estrena nuevo dominio para su página web, http://www.canguromat.org.es/. La fecha de realización de la prueba es el 23 de marzo, martes, en su versión castellana, y el 25 de marzo, jueves, en su versión catalana.

En ambos casos, el periodo de inscripción acaba el 18 de diciembre.

La Olimpiada Matemática Española (OME) ya ha confirmado su fecha de convocatoria para el distrito universitario de Alicante, el sábado día 16 de enero, de 10 a 13 horas, y de 15 a 18. La inscripción se realiza enviando el boletín correspondiente al delegado de la RSME para el distrito universitario hasta pocos días antes. Os recuerdo que la fase final se celebrará entre los días 25 y 28 de marzo en Valladolid y la fase internacional en Astana (República de Kazajstán). Toda esta información se hará pública en la web sobre olimpiadas de la Universidad de Alicante.

En mi instituto, el Miguel Hernández de Alicante, vamos a proponer una pequeña recopilación de material para preparar la prueba. Estad atentos a las noticias de la página web del centro, porque no sé cuándo se pondrá el material.

domingo, 8 de noviembre de 2009

Cubo inscrito en esfera inscrita en cubo

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una esfera está inscrita en un cubo de 24 metros cuadrados de superficie.

Un segundo cubo está inscrito dentro de la esfera.

¿Qué superficie tiene el segundo cubo, en metros cuadrados?

Solución

viernes, 6 de noviembre de 2009

Asignando un dígito

XV Olimpiada de Mayo, primer problema del primer nivel, 2009

A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras, se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación.

Por ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3 × 2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.

Halla todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.

Solución

domingo, 1 de noviembre de 2009

Un triángulo de tres colores

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Se tienen en el plano 3n puntos: n de color blanco, n de color azul y n de color negro.

Cada uno de los puntos está unido con puntos de color distinto al suyo mediante n + 1 segmentos exactamente.

Probar que hay, al menos, un triángulo formado por vértices de distinto color.

Solución

jueves, 29 de octubre de 2009

Suma de ángulos

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Se considera un cuadrado ABCD de lado 1. Sea P un punto sobre el lado CB de forma que la distancia PB mide 1/2, y Q otro punto de CB tal que la distancia QB mide 1/3.

Prueba que se cumple que el ángulo BAC es igual a la suma de los ángulos BAP y BAQ.

Solución

lunes, 26 de octubre de 2009

Medias en familia

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una familia está formada por un padre, una madre y algunos hijos. La media aritmética de las edades de todos ellos es 20.

El padre tiene 48 años, y la media aritmética de las edades de la madre y los hijos es de 16 años.

¿Cuántos hijos hay en la familia?

Solución

jueves, 22 de octubre de 2009

¿Llenamos los huecos?

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En este problema consiste en llenar los huecos entre los números que hay a continuación para que en vertical y en horizontal resulte el número que está indicado.

Hay dos apartados, en el primero de ellos sólo hay que buscar los signos de las operaciones que hay que poner entre los números para que el resultado siempre sea 16, tanto en horizontal como en vertical:

02 02 02 02 = 16

03 02 05 02 = 16

08 05 04 06 = 16

02 04 02 10 = 16

 =  =  =  =

16 16 16 16

El segundo ejercicio es algo más complicado, porque las operaciones están situadas, pero no todos los números, de forma que habrá que descubrir los que faltan.

+05 + -03 - ___ = -18

 -     -     +     -

___ - ___ + -05 = -04

 -     +     -     +

-02 + ___ + +10 = ___

 =     =     =     =

+04 + -10 - ___ = ___

Solución

miércoles, 21 de octubre de 2009

Olimpiada Matemática Española 2010

Ya se ha publicado la convocatoria de la XLVI Olimpiada Matemática Española, para el año 2010.

Aunque en muchas comunidades autónomas modifican ligeramente las condiciones y fechas, en la convocatoria general de la primera fase fecha la prueba en los días 15 y 16 de enero de 2010 (puede ser en uno de ellos, o en ambos).

En particular, en Cataluña se suele celebrar antes, en diciembre (con otras pruebas, claro).

Si no sabéis cómo poneros en contacto con la organización para participar, en la página de los encargados locales de la Olimpiada podéis encontrar las direcciones de correo de las personas a las que podéis preguntar, aunque tal vez tarden unos días en poder deciros con seguridad los horarios y los lugares de las pruebas.

domingo, 18 de octubre de 2009

Caminando por las aristas de un cubo

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Se consideran un cubo de 1 cm de arista y dos vértices A y B diagonalmente opuestos de una cara del cubo.

Se denomina camino de longitud n a una sucesión de n + 1 vértices de forma que dos consecutivos están a 1 cm de distancia.

Entonces: ¿Cuál de los siguientes números es mayor: el número de caminos de longitud 1000 que empiezan y acaban en A, o el número de caminos de longitud 1000 que empiezan en A y acaban en B?

Justifica la respuesta.

Solución

jueves, 15 de octubre de 2009

Triángulos sobre unos puntos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Retícula

Retícula

¿Cuál es el número máximo de triángulos que se pueden construir con los vértices situados en los puntos de la figura adjunta?

Es evidente que depende de cómo se cuenten, supondremos que dos triángulos son distintos si tienen distinta forma, es decir, no se puede situar un o sobre el otro mediante un giro o una simetría.

La figura es una retícula rectangular de 5 por 3 puntos, en la que se han suprimido los dos puntos que ocupan posición par en las dos filas de 5 primera y última.

Solución

martes, 13 de octubre de 2009

Encuentro Preolímpico 2009 (III)

Esta semana, el jueves día 15 celebraremos por fin el Encuentro Preolímpico de Matemáticas en el IES Miguel Hernández de Alicante. El programa definitivo, a falta de otras propuestas, será el que figura a continuación.

Programa

17:30 - 18:30 en el aula A-203

A las 17:30 se recibirá a los participantes, procediendo a una sesión de resolución de problemas compuesta por 10 problemas seleccionados de tres competiciones diferentes.

18:30-19:30 en el Salón de Actos

Se celebrará una charla sobre las competiciones matemáticas, en la que se comentará el calendario anual de competiciones, incluyendo la información de que se disponga, y los resultados del año pasado.

19:30 - 20:30 en el Aula A-203

Charla sobre probabilidad con prácticas sobre un sistema llamado ábaco probabilístico. ¡Traed varias monedas de uno, dos o cinco céntimos, que las usaremos como fichas!

domingo, 11 de octubre de 2009

A dos velas

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Hemos colocado en el jardín dos velas de distinta altura.

La más larga mide 28 cm y tarda en consumirse 7 horas, mientras que la más corta, que es más gruesa, tarda en consumirse 11 horas.

Encendemos las dos a la vez cuando empieza la fiesta y al cabo de 3 horas, cuando se van los amigos, las apagamos. En ese momento tienen las dos la misma altura.

¿Sabes qué altura tenía la vela más corta en origen?

Solución

sábado, 10 de octubre de 2009

Descubriendo un fallo

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un hombre deja al morir una herencia a repartir entre sus hijos en partes iguales. Cuando el notario les reúne para repartir la herencia, menciona que las cifras de este número son 0 0 0 1 2 3 5 6 7 9 9, pero no en ese orden. Cuando dice lo que le toca a cada uno de los hijos, dice "Redondeando los decimales, a cada uno le toca..." y es interrumpido por uno de los hijos, que dice "Me temo que ha cometido un error, o bien está tratando de engañarnos"

¿Cómo pudo averiguar eso el heredero?

Solución

miércoles, 7 de octubre de 2009

Fechas de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana

La Sociedad de Educación Matemática hizo públicas hace un tiempo las fechas para la celebración de la XXI Olimpiada de Matemática de la Comunidad Valenciana, en la que suelen participar alumnos de mi instituto y también de muchos centros que conozco.

Para que los interesados vayan reservando fechas, la primera fase (comarcal) en las provincias de Alicante y Valencia será el sábado 24 de abril, la segunda fase, que será provincial, se celebrará simultáneamente en las dos provincias antedichas y en la de Castellón el 15 de mayo, y la final de la Comunidad Valenciana se celebrará el fin de semana del 5 y 6 de junio.

Al parecer, la inscripción de los participantes se llevará a cabo desde enero hasta el 14 de abril.

Como siempre, habrá un límite de alumnos por centro de enseñanza, si es el centro el que los inscribe. Si alguno de vosotros cursa estudios en un centro que no participe en esta actividad, pero queréis participar, os queda el recurso de inscribiros por vuestra cuenta, siempre que no lo hagan más de seis del mismo nivel y centro. En la provincia de Castellón, aunque no haya fase comarcal, suelen servir las mismas reglas y fechas que en las demás, es decir, que se cierra la inscripción en la misma fecha.

Como todos los años, habrá tres niveles, el de primaria (5º y 6º de primaria, nivel C), el de primer ciclo de secundaria (1º y 2º de ESO, nivel A) y el de segundo ciclo de ESO (3º y 4º de ESO, nivel B).

domingo, 4 de octubre de 2009

Sumando números con cifras repetidas

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.

i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.

ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).

Solución

jueves, 1 de octubre de 2009

¿Cuál es el último?

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Consideramos los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2007, 2008, 2009.

Comenzando por el uno, eliminamos un número sí y otro no.

Con los que quedan, repetimos el proceso.

Así, repetimos este proceso hasta que tan solo queda un solo número.

¿Cuál es este número?

Solución

martes, 29 de septiembre de 2009

Finaliza la Olimpiada Iberoamericana 2009

Aunque por las fechas ya lo sabía, me avisa María Gaspar de que ya ha acabado la Olimpiada Iberoamericana. Pensaba dedicarle un artículo, pero no encontraba suficiente información. Sin embargo, entre lo que María me ha dicho y lo que aparece en la página web de la Olimpiada Iberoamericana (que este año sí es adecuada para este evento), puedo decir bastantes cosas.

En primer lugar, los mejores resultados han ido a Perú y Brasil, con escasas diferencias entre ambos. Los dos tuvieron dos medallas de oro, Percy Guerra Rios y Ricardo Jesús Ramos Castillo por Perú y Matheus Secco Torres da Silva y Henrique Finder Renan por Brasil, si bien uno de estos dos logró la puntuación más alta, 41 puntos (a sólo 1 de la perfección).

Las demás de oro fueron para Colombia (Jorge Alberto Olarte Parra), Cuba (Reynaldo Gil Pons) y México (Manuel Guillermo López Buenfil).

España consiguió tres de las 14 medallas de plata (Glenier Lázaro Bello Burguet, Iván Geffner Fuenmayor y Moisés Herradón Cueto), una de ellas, la de Moisés, a tan sólo dos puntos de las de oro.

El cuarto participante español, Ander Lamaison Vidarte, tuvo que conformarse con una de las 20 medallas de bronce. Pero es el único que puede repetir participación el año que viene, siempre que se gane el derecho a participar.

Podéis consultar más detalles en la web arriba indicada, y si tengo un rato en breve añadiré a este blog los enunciados de los problemas, aunque por falta de tiempo no podré dar una solución detallada.

Cabe destacar que sólo Argentina, Brasil, Cuba, España y Perú obtuvieron medalla para todos y cada uno de los participantes. Creo que es un buen resultado para nuestra delegación. En la clasificación oficiosa por países quedamos en cuarto lugar, con una puntuación muy similar a Argentina, México y Colombia, aunque algo apartados de Brasil y Perú, los grandes triunfadores del concurso, en especial éste último país, campeón por tan sólo un punto.

domingo, 27 de septiembre de 2009

Trenes de mercancías

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un tren de mercancías llena sus vagones de gasolina en la refinería para transportarla. Se pesa el tren después y su peso total es de 123 toneladas.

En la primera parada deja la mitad de su carga de gasolina. Se pesa entonces y su peso es de 98 toneladas.

Necesitamos saber el peso del tren vacío, una vez haya descargado toda la gasolina de su carga.

Solución

jueves, 24 de septiembre de 2009

Haciendo un marco

Pieza en L

Pieza en L

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Corta la imagen siguiente, que tiene forma de "L", de forma que con las piezas resultantes construyas un cuadrado dentro de otro. dibuja el corte que harías y cómo encajarías las piezas resultantes.

Solución

lunes, 21 de septiembre de 2009

Sección rómbica de un tetraedro

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Si la sección producida por un plano al cortar un tetraedro regular es un rombo, probar que necesariamente el rombo es un cuadrado.

Actualización: Corregido el enunciado para que el tetraedro aparezca como regular, a propuesta de un comentario. Al parecer se trataba de un error, ya que se pueden construir tetraedos irregulares con secciones rómbicas no cuadradas.

Solución

viernes, 18 de septiembre de 2009

La tarjeta de crédito

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

El número secreto de la nueva tarjeta de crédito de Javier tiene 4 dígitos, y está formado por dos números de dos cifras, ordenados de mayor a menor.

Éstos son los dos únicos números de dos cifras que son iguales a la suma del cuadrado de la cifra de les decenas y el cubo de la cifra de las unidades.

¿Cuál es el número secreto de la tarjeta de Javier?.

Solución

miércoles, 16 de septiembre de 2009

Olimpiada Iberoamericana 2009

Esta semana, en la ciudad de Santiago de Querétaro, México, comenzará la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas. Se celebrará del 17 al 27 de septiembre y contará con la participación de más de 20 países de ese ámbito. Si quieres información de primera mano, consultya la página oficial de la 24 Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas.

Como todos los años, en esta competición volverán a encontrarse muchos de los que participaron en la Olimpiada Internacional de Bremen, celebrada en julio, y también asistirán países que, por diversas razones, no pudieron participar o lo hicieron con una pequeña representación.

Cada país envía un máximo de cuatro representantes, que aspiran a medallas de oro, plata y bronce en condiciones similares a las de otras olimpiadas internacionales.

Normalmente, la selección española se compone de los cuatro mejor clasificados en la Olimpiada Internacional, pero en este caso al parecer dos de los participantes han encontrado dificultades debido a las fechas, de manera que participarán todos los que pueden ir.

Si no estoy equivocado, serán Moisés Herradón Cueto, Iván Geffner, Ander Lamaison y Alberto Merchante los seleccionados. Espero que todo les vaya bien y que consigan la mejor clasificación posible.

Se da la circunstancia de que, al parecer, el reglamento sólo permite dos participaciones por persona, de forma que será la última para Moisés.

Me gustaría que si alguien relacionado con otros equipos lee este artículo comente los nombres y las circunstancias de su participación.

domingo, 13 de septiembre de 2009

¡Nos vamos al cine!

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Antonio, Bernardo y Carlos son tres amigos que van al cine todos los sábados. Cada sábado le toca a uno ir a recoger a sus amigos y tienen el siguiente acuerdo.

Cuando Antonio recoge a Carlos pasa primero a por Bernardo recorriendo 14 Km.

Bernardo siempre que recoge a Antonio pasa primero por casa de Carlos, recorriendo 18 Km.

Mientras que Carlos siempre que recoge a Bernardo pasa primero a recoger a Antonio recorriendo 16 km.

Sabiendo que sus casas forman un triángulo. ¿Sabrías indicar el área del triángulo que forman sus casas?

Solución

jueves, 10 de septiembre de 2009

Seguimos la pista...

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Intenta continuar las siguientes sucesiones numéricas añadiendo tres términos más en cada una de ellas.

Explica la relación que has encontrado entre sus términos, en la que te has fijado para poder continuarlas:

A) -3, 7, -11, 15, -19, ...

B) 4, 27, 256, 3125, 46656, ...

C) 3, 8, 15, 24, 35, ...

D) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

E) 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

Solución

miércoles, 9 de septiembre de 2009

Encuentro Preolímpico 2009 (II)

Ya tenemos fecha para el Encuentro Preolímpico para alumnos de Bachillerato. Será el 15 de octubre, jueves, de 17:30 a 20:30.

Como el año anterior, lo celebraremos en el IES Miguel Hernández de Alicante, en el Salón de Actos y la segunda planta, pasillo A.

El programa todavía no está cerrado, por lo que si tienes alguna propuesta, aún puedes remitirla, si tienes algo que contar a estos alumnos.

Admitimos ya inscripciones, mediante el envío de un correo con tus datos (nombre, edad y centro) a problemate (@) gmail.com.

A falta de ampliar o modificar actividades, contamos con el programa descrito en las siguientes líneas.

Nos reuniremos a las 17:30, se confeccionarán los grupos de alumnos, se repartirán unos cuantos problemas con guión (pistas), y se acudirá a la zona de trabajo (aulas). Después de un rato en el que se contestará a preguntas y se supervisará la resolución de los problemas, se les impartirán las charlas. En principio se cuenta con una charla genérica, a las 18:30, en la que se hable de actividades y competiciones matemáticas (Salón de Actos), y otra, a las 19:30, en la que se presente una curiosidad relacionada con el cálculo de probabilidades llamado el ábaco probabilístico.

Puede que haya más conferencias, aunque algunas de ellas tenga que ser, por limitaciones de tiempo y espacio, simultáneas. en ese caso, se pedirá a los inscritos su preferencia por unas u otras. Confiamos tener cerrado el programa para la semana anterior al evento, publicarla aquí y en la página del instituto.

Probablemente en diciembre organizaremos otro encuentro para estudiantes de ESO.

domingo, 6 de septiembre de 2009

Puntos especiales de un triángulo

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Dado un triángulo acutángulo ABC, determinar para qué puntos P de su interior se verifican las siguientes desigualdades entre ángulos:

a) 1 ≤ APB/ACB ≤ 2

b) 1 ≤ BPC/BAC ≤ 2

c) 1 ≤ CPA/CBA ≤ 2

Solución

jueves, 3 de septiembre de 2009

Números triangulares

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Se llaman números triangulares a los números naturales que se pueden escribir de la forma Tn = 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n.

Se les llama así porque con la cantidad de objetos que indica uno de ellos se puede crear un triángulo poniendo filas cada vez con un elemento menos

Los primeros números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15, ...

¿Cuántas parejas (Tm,Tn) de números triangulares hay tales que: Tm – Tn = 2008?

Solución

domingo, 30 de agosto de 2009

Noventanos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Unos exploradores han encontrado una pequeña aldea aislada entre las montañas donde habitan lo que se ha dado en llamar los “noventanos”.

Éstos tienen la peculiaridad que el día lo dividen en 90 horas noventanas, cada hora noventana en 90 minutos noventanos, y cada minuto noventano en 90 segundos noventanos.

¿Sabrías decir qué hora noventana es la una de la madrugada?

¿Y las 18 horas, 32 minutos qué hora es en la aldea de los noventarios?

Los exploradores han quedado con el gobernador de la aldea a las 19 h hora noventana, ¿sabrías indicarle a qué hora deben acudir?

Solución

jueves, 27 de agosto de 2009

La parcela

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En una parcela, la piscina ocupa 30 metros cuadrados.

La casa ocupa tantos metros cuadrados como la piscina más la mitad del jardín.

El jardín ocupa tantos metros cuadrados como la piscina y la casa juntos.

Encuentra cuántos metros cuadrados tiene la parcela, la casa y el jardín.

Solución

domingo, 23 de agosto de 2009

Sumandos numerosos

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Calcular la suma 2[h(1/2009) + h(2/2009) + ... + h(2008/2009)], donde h(t) = 5/(5 + 25t)

Solución

jueves, 20 de agosto de 2009

La cruz sombreada

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cruz sombreada

Cruz sombreada

En la figura siguiente, tenemos un cuadrado de lado 2 y 8 arcos de circunferencia centrados en los vértices del cuadrado.

Los cuatro arcos mayores pasan por el centro del cuadrado, y los cuatro menores pasan por los puntos de corte de los mayores con el cuadrado. La zona sombreada está fuera de los arcos pequeños, y cada uno de sus brazos dentro de un único arco grande (cada par de arcos grandes contiguos tienen una zona común, y ésta no pertenece a la zona sombreada).

Calcula el área de la cruz sombreada.

Solución

domingo, 16 de agosto de 2009

Dos pájaros y un río

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En cada una de las dos orillas del río que tiene 60 metros de ancho, hay dos palmeras de 24 y 36 m de altura. Desde la copa de cada una de ellas se lanzan a la vez y a la misma velocidad dos pájaros que se posan sobre la boya que flota sobre el río, llegando a la vez.

¿A qué distancia de la orilla se encuentra la boya?

¿Cuántos metros se desplazan los pájaros?

Solución

jueves, 13 de agosto de 2009

Gominolas y caramelos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En el supermercado, 600 gramos de gominolas cuestan lo mismo que 900 gramos de caramelos.

Los caramelos cuestan 5 céntimos y las gominolas 30 céntimos.

Si las gominolas pesan 8 gramos, ¿cuánto pesa un caramelo?

Solución

martes, 11 de agosto de 2009

Encuentro Preolímpico 2009 (I)

De nuevo ponemos en marcha la primera actividad de cada curso: el Encuentro Preolímpico.

Esta actividad consiste en una reunión de una tarde de duración (tres horas, aproximadamente), totalmente gratuita para los participantes, que pretende informar sobre otras actividades y concursos de tema matemático y disfrutar de las matemáticas entre gente que comparte esta afición.

El encuentro se organiza anualmente (este curso se lleva a cabo la tercera edición) y no tiene ánimo competitivo, ni premios, ni regalos. Fundamentalmente se trata de entretener, informar y poner en contacto.

Está dirigido a residentes en Alicante y alrededores, y es organizado en el IES Miguel Hernández por profesores de matemáticas del mismo centro y del IES San Blas, aunque eventualmente han colaborado profesores de otros centros de enseñanza. Nos gustaría contar con más gente para futuras ediciones. La edición del curso 2009/10 aún no está cerrada, si eres docente puedes colaborar, si quieres. Si eres alumno o interesado en las matemáticas, puedes participar en el encuentro. Habrá varias actividades en las que será preciso registrarse por necesidad de organización (algunas de las sesiones serán simultáneas, y tendrán un límite de aforo).

Las fechas y los contenidos aún no están fijados, aunque sí se pueden adelantar algunos datos.

Para los alumnos de Bachillerato, la fecha probable será a mediados de octubre, probablemente un jueves. Contaremos, probablemente, con la presencia de Juan Manuel Conde Calero, jefe de equipo en numerosas ocasiones del equipo español en la Olimpiada Internacional e Iberoamericana. Habrá actividades de resolución de problemas y de cálculo intuitivo de probabilidad. Probablemente acudan participantes en ediciones anteriores de la Olimpiada Española.

Para los alumnos de primer y segundo ciclo de la ESO la fecha será a mediados de diciembre. Trataremos de contar con participantes y organizadores de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana. También se tratarán algunos métodos de resolución de problemas, y esperamos dar alguna sorpresa más.

Para la inscripción, que estará abierta hasta la semana anterior, enviad un correo con vuestro nombre a problemate (@) gmail.com. Recibiréis con tiempo el aviso para reservar plaza en las actividades de vuestra preferencia.

Por otra parte, si eres profesor o profesional en matemáticas, y quieres organizar alguna actividad para este encuentro, puedes ponerte en contacto con nosotros en la misma dirección, problemate (@) gmail.com.

domingo, 9 de agosto de 2009

Distancias en circunferencias tangentes

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Sean C1 y C2 dos circunferencias exteriores tangentes en el punto P.

Por un punto A de C2 trazamos dos rectas tangentes a C1 en los puntos M y M'.

Sean N y N' los puntos respectivos de corte, distintos ambos de A, de estas rectas con C2.

Probar que |PN'|⋅|MN| = |PN|⋅|M'N'|.

Solución

jueves, 6 de agosto de 2009

Triángulo sombreado

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Triángulo sombreado

Triángulo sombreado

Dibujamos sobre la misma recta y en contacto por un vértice, un triángulo equilátero y un cuadrado, ambos de 8 centímetros de lado. Si unimos el extremo más lejano de ambos con una línea recta, queda entre los dos delimitado un triángulo. En la figura aparece sombreado.

Calcula su área.

Solución

domingo, 2 de agosto de 2009

Aguando el vino

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

De una garrafa de 5 litros de vino se saca un litro y se rellena con un litro de agua.

Se mezcla bien, se deja en reposo y al rato se vuelve a sacar un litro de la mezcla pero volvemos a echar un litro de agua, con lo que la garrafa sigue estando llena.

Una hora después volvemos a sacar de la garrafa otro litro de líquido, rellenando la garrafa de agua otra vez.

La pregunta es cuánto vino y cuánta agua queda al final en el recipiente.

¿Hay más vino o más agua?

Solución

jueves, 30 de julio de 2009

Más símbolos desconocidos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Tablero con símbolos

Tablero con símbolos

Los símbolos representan tres números entre 1 y 9. Si sumas las filas y las columnas debes obtener los resultados que se indican fuera de la tabla.

¿Qué valor tiene cada símbolo?

Solución

domingo, 26 de julio de 2009

Retículas equilibradas

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Los puntos de una retícula m × n pueden ser de color blanco o negro.

Una retícula se dice que está equilibrada si para cualquier punto P de ella, la fila y columna que pasan por este punto P tienen ambas el mismo número de puntos de igual color que P.

Determinar todos los pares de enteros positivos (m, n) para los que existe una retícula equilibrada.

Solución

jueves, 23 de julio de 2009

La herencia

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un terreno se divide en partes iguales entre un cierto número de herederos. Si fuesen tres herederos más, cada parcela disminuiría en 20 metros cuadrados, pero si fuesen 4 menos, cada parcela aumentaría en 50 metros cuadrados.

¿Cuál es el área del terreno?

Solución

miércoles, 22 de julio de 2009

Chicos, chicas y olimpiadas de matemáticas

He estado pensando hacer una entrada de este tipo hace un cierto tiempo, pero no me decidía. La verdad es que me llama la atención la escasa presencia de chicas en los concursos de matemáticas, cuando mi observación directa en clase me revela que son tan capaces unas como los otros. Es difícil obtener estadísticas fiables, porque normalmente el sexo no suele ser un dato que se cite, pero la impresión es que la participación en general es escasa, de forma que eso puede ser determinante en que los premios sean la mayor parte de veces para chicos.

En esta edición de la IMO (Bremen, 2009) se registra una participación de 59 chicas, lo que significa un 10,44% de los participantes. Puede parecer poco, pero es la mayor cantidad de participantes femeninas, tanto en niveles absolutos como en relativos, de la historia de este concurso. He estado hojeando datos de otros años, y si miramos por porcentajes, tenemos una evolución significativa. Empezando desde la edición 1999 (40), tenemos un os porcentajes de 7,33, 6,5, 6,97, 7,3, 5,9, 7,4, 8,38, 7,63, 9,23, 10,28, y 10,44. Se puede observar una ligera tendencia al alza, aunque no parece que se llegue a una paridad en los próximos años.

En cuanto a premios, llama la atención el tercer puesto logrado por Lisa Sauermann, que no es, sin embargo la mejor posición histórica, ya que en el año 94 se le otorgó el primer puesto a Theresia Eisenkölbl, de Austria. Sin embargo, ese fue un año extraño, ya que hubo 22 personas empatadas en el primer puesto con una calificación perfecta, entre ellas dos mujeres.

Esperemos que esto cambie en el futuro, que haya más participación del sector femenino de la población y demuestren su capacidad en este tipo de pruebas.

lunes, 20 de julio de 2009

Resultados de la IMO 2009

Ya se han publicado los resultados de la 50 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), que se ha celebrado en Bremen (Alemania). Si los queréis consultar íntegramente, podéis visitar la página oficial de la IMO, concretamente el apartado de la edición 2009.

Los que han quedado en primer lugar, indudablemente (han conseguido una puntuación perfecta, 42 puntos) han sido Makoto Soejima, de Japón y Dongyi Wei, de la República Popular China. En ninguno de los dos casos se trataba de su primera participación. Makoto participaba por cuarta vez (bronce y tres oros, el primero con puntuación perfecta), y Dongyi participaba por segunda vez, cosa que es poco frecuente en su país, después de lograr otro oro con puntuación perfecta el año pasado.

A muy poca distancia, con sólo un punto menos en la segunda cuestión (lo que es afinar mucho, incluso en este tipo de competiciones), está Lisa Sauermann, de la que ya hablé en otra entrada. Lleva ya una plata y dos oros.

Después de estos tres concursantes, los siguientes están a 3 o más puntos. En total, 49 medallas de oro, 98 de plata, 135 de bronce y 96 menciones honoríficas.

El primer español clasificado, Moisés Herradón Cueto, se tuvo que conformar, por 4 puntos, con una medalla de bronce (20 puntos), al igual que Iván Geffner, Ander Lamaison y Glenier Lázaro Bello Burguet, que obtuvieron 15 puntos. Jaime Roquero y Alberto Merchante se quedaron sin premio en esta dura prueba.

Me gustaría destacar al concursante Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de Perú, que consiguió 16 puntos y una medalla de bronce con sólo 11 años.

Por países, aunque la clasificación es oficiosa (la oficial es la individual), de nuevo la República Popular China se sitúa en primer puesto, como 10 de las últimas 12 competiciones. El segundo puesto es para Japón, que consigue así su mejor resultado histórico (el siguiente lo obtuvo en 2007, año en que fue sexto). El tercer puesto lo ocupa la Federación Rusa, que suele ocupar una buena plaza desde hace muchas ediciones.

Posiciones destacadas también ocupan, en este orden, la República de Corea, la República Popular Democrática de Corea, Estados Unidos de América (su peor resultado en los últimos 9 años, a pesar de todo), Tailandia (lleva dos años sorprendiendo al mundo), Turquía (segunda vez consecutiva en octava posición), Alemania (no es frecuente verla entre los diez primeros, pero se celebraba en su país), y Bielorrusia, en su mejor posición en los últimos 9 años).

De los países iberoamericanos, Brasil ocupa el puesto 17, su mejor clasificación porcentual histórica, y su segunda absoluta, ya que en dos ocasiones ha sido décimo sexto, Perú está en el puesto 24, su segunda mejor clasificación, Portugal en el puesto 33, su mejor resultado histórico, Argentina en el puesto 35, Colombia con un puesto 39, y México con un puesto 39, que es el pero de los últimos años.

Detrás, España quedó en el puesto 55, superando al 47,6 % de los países participantes. Como clasificación absoluta tal vez no sea muy buena, pero en posición relativa es la 4ª mejor de la historia.

domingo, 19 de julio de 2009

Cuestión de ahorro

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una bombilla normal de 100W cuesta 0,6€ y dura aproximadamente un año. Una bombilla equivalente de bajo consumo cuesta 5€, gasta 12W por hora, y dura unos tres años aproximadamente.

Sabiendo que el precio de la energía está a 0,1€ por cada KW por hora consumido. ¿Son realmente más económicas las bombillas de bajo consumo?

Solución

viernes, 17 de julio de 2009

Baldosas

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cuadrado con baldosas rectangulares

Cuadrado con baldosas rectangulares

Rafa quiere hacer un cuadrado, como se indica en la figura, usando baldosas de 40 cm x 20 cm.

La idea es usar las baldosas para bordear internamente el cuadrado.

En el ejemplo, con 8 baldosas hace un cuadrado de 1 m por 1 m. Si tiene 150 baldosas, ¿de qué tamaño es el cuadrado más grande que puede hacer?

Solución

jueves, 16 de julio de 2009

Segunda sesión de la IMO 2009

Y aquí están los problemas de la segunda sesión. Debo recordar que las soluciones, si las escribo, no estarán disponibles hasta dentro de bastante tiempo. En esta ocasión he obtenido los enunciados de la página oficial de la IMO.

Problema 4. Sea ABC un triángulo con AB = AC. Las bisectrices de los ángulos CAB y ABC cortan a los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triángulo ADC. Supongamos que el ángulo BEK = 45◦. Determinar todos los posibles valores de CAB.

Problema 5. Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden a, f (b) y f (b + f (a) − 1).

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Problema 6. Sean a1, a2, ..., an enteros positivos distintos y M un conjunto de n − 1 enteros positivos que no contiene al número s = a1 + a2 + · · · + an . Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto 0 y da n saltos hacia la derecha de longitudes a1 , a2, ..., an , en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de M .

miércoles, 15 de julio de 2009

Primera sesión de la IMO 2009

Ya se conocen los problemas de la primera sesión. Si no cuento con ayuda, no creo que pueda poner una solución fácil de entender, porque no dispongo de mucho tiempo. La versión que pongo aquí la he obtenido del Portal Mathlinks.

Problema 1. Sea n un entero positivo y sean a1, a2, ..., ak (k ≥ 2) enteros distintos del conjunto {1, 2, ..., n}, tales que n divide a ai(ai+1-1), para i = 1, 2, ..., k-1. Demostrar que n no divide a ak(a1-1).

Problema 2. Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Sean P y Q puntos interiores de los lados CA y AB, respectivamente. Sean K, L y M los puntos medios de los segmentos BP, CQ y PQ, respectivamente, y Γ la circunferencia que pasa por K, L y M. Se sabe que la recta PQ es tangente a la circunferencia Γ. Demostrar que OP = OQ.

Problema 3. Sea s1, s2, s3, ... una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones ss1, ss2, ss3, ... y ss1+1, ss2+1, ss3+1, ... son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión s1, s2, s3, ... es también una progresión aritmética.

lunes, 13 de julio de 2009

Más información sobre la IMO 2009

Hoy, martes 14 de julio, deberían haber llegado a Bremen los participantes en la Olimpiada Matemática Internacional. El primer acto oficial en el que participan es la ceremonia de apertura. Mañana tendrán la primera prueba, que rápidamente estará en Internet a disposición de todos.

He contactado con algunos del equipo español, y me han comentado que han estado preparando la prueba hasta hace relativamente poco. Moisés Herradón Cueto, al que entrevisté hace casi un año, Alberto Merchante González y Jaime Roquero me han comentado que la preparación ha sido dura pero necesaria, y que me contarán detalles del desarrollo de la prueba en Bremen para que los ponga aquí.

A Moisés ya lo conceréis los veteranos del blog, aunque a la vuelta de Alemania, trataré de que nos ponga al día.

Jaime ha estudiado hasta 2º de Bachillerato en Liceo Francés de Madrid, que por lo visto tiene una gran tradición en las pruebas de matemáticas, ya que ha dado varios participantes en la IMO. Desde sexto de primaria ha participado en diversos concursos, aunque nunca con tanto éxito. Tiene intención de hacer Matemáticas y Física en París. El año pasado ya participó en la Olimpiada Matemática Española, y muestra predilección por los problemas de teoría de números, aunque también le gusta la geometría y la combinatoria.

Alberto estudia bachillerato en el Ramiro de Maeztu, de Madrid. El año que viene hará 2º. Se presenta a competiciones matemáticas desde 6º de primaria, y en 2º de la ESO participó en la fase nacional de Olimpiada de ese nivel. Es el primer año que se presenta a este concurso, y sus problemas favoritos son los de geometría.

Como curiosidad, estaba revisando los países que mejor resultado obtuvieron el año pasado, y he encontrado numerosos participantes que vuelven. No me da tiempo a citar a todos, me he quedado en la octava posición, pero si tengo un rato pondré más.

Dongyi Wei (República Popular China): Obtuvo un oro en 2008, consiguiendo una puntuación perfecta.

Evan O'Dorney y Eric Larson (Estados Unidos de América) consiguieron plata en 2008. El primero de ellos aún tiene 15 años.

Sunkyu Lim (República de Corea), de 17 años. Obtuvo una plata muy alta, con una gran primera jornada, aunque en la segunda no obtuvo muchos puntos.

Un Song Ri (República Popular Democrática de Corea), oro en 2008. consiguió una puntuación perfecta, excepto el último problema, en el que no obtuvo ningún punto.

Melih Üçer (Turquía), de 16 años, consiguió plata en 2007 y oro en 2008, con 5 problemas perfectos. También Umut Varolgunes, de 18 años, obtuvo oro en 2008, con un punto más. De Turquía también son Fehmi Emre Kadan y Sureyya Emre Kurt (18 y 17 años), ambos plata el año pasado.

Actualización: Como nos recuerda uno de los lectores del blog en otra entrada, llama la atención la juventud de uno de los participantes de Perú, Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de tan sólo 11 años. Es su primera participación, pero debido a su edad espero que gane mucha experiencia.

domingo, 12 de julio de 2009

Raíces en común

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Dado un número natural n mayor que 1 , hallar todos los pares de números enteros a y b tales que las dos ecuaciones xn + ax − 2008 = 0 y xn + bx − 2009 = 0 tengan, al menos, una raíz común real.

Solución

jueves, 9 de julio de 2009

Juego con bolas

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una caja contiene 40 bolas. Dos amigos participan en un juego extrayendo, alternativamente, bolas de la caja.

Cada uno, en su turno, puede extraer cualquier cantidad de bolas de la caja que no sea superior a la mitad de las que hay. El que no pueda extraer ninguna bola respetando las reglas, pierde el juego.

Suponiendo que los dos juegan correctamente, ¿quién ganará, el primero o el segundo en jugar?

Explica la estrategia ganadora.

Solución

martes, 7 de julio de 2009

IMO 2009 en Bremen

Como todos los años por estas fechas, desde 1959, se celebra la edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO). Este año se celebra en Bremen (Alemania). El 10 de julio comienza a recibir al jurado, que seleccionará los problemas a los que se enfrentarán 575 concursantes de 105 países, más 3 que sólo enviarán observadores. La verdadera competición comenzará el día 15 con la primera sesión de la prueba.

Por si alguien aún no se ha enterado en qué consiste, se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.

Como acuden representantes de todo el mundo, los problemas deben ser de una complejidad extraordinaria, aunque deben poderse resolver con pocos conocimientos previos. Esto, que parece contradictorio, ocasiona un largo proceso de selección de los problemas.

En esta ocasión, España participa con un equipo de seis chicos (el máximo permitido). El madrileño Moisés Herradón Cueto, de 17 años participa por segunda vez. En Madrid (2008) logró una mención honorífica, y aún puede volver a presentarse el año que viene.

También cuenta con experiencia previa Glenier Lázaro Bello Burguet, que participó en Hanoi (Vietnam) 2007, y el año pasado se tuvo que conformar con la medalla de plata en la Olimpiada Matemática Española.

Los participantes Ander Lamaison Vidarte y Alberto Merchante González participan por primera vez en una internacional, pero tan sólo tienen 16 años, por lo que es de esperar que este año les sirva de valiosa experiencia para futuras ediciones.

Por último, aunque no menos importante, Iván Geffner Fuenmayor y Jaime Roquero Giménez también acuden por primera vez, pero será la última debido a su edad.

Todos ellos obtuvieron medalla de oro en la pasada Olimpiada Matemática Española. Espero que tengan suerte y nos traigan alguna medalla más para España.

Les acompañará Ignasi Mundet Riera como tutor, veterano participante en estas pruebas (bronce en suecia en 1991), con gran experiencia, que fue el coordinador jefe el año pasado en la IMO de Madrid.

En calidad de jefa de la delegación, aunque los concursantes no la verán hasta después de la prueba, irá María Gaspar Alonso-Vega, que fue el año pasado vicepresidenta ejecutiva del Comité IMO 2008. También es presidenta de la Comisión de Olimpiadas de la Real Sociedad Matemática Española, y ha acompañado al equipo español en numerosas ocasiones.

Por último, España envía a un observador, Marco Castrillón López, que participó como concursante en 1990 y que también perteneció al comité organizador el año pasado. Como Ignasi, cuenta con bastante experiencia en este tipo de concursos.

Otro día hablaré de otros participantes de otros países, aunque no quiero despedir este breve artículo sin mencionar a una persona cuyo nombre me ha llamado la atención. Se trata de Lisa Sauermann, participante alemana de sólo 16 años que, pese a su juventud, ha obtenido plata en Hanoi (2007) y oro en Madrid (2008). Sin duda, un gran historial que la sitúan como favorita, más todavía si consideramos que juega en casa.

domingo, 5 de julio de 2009

Olimpiada de educación física

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un grupo de alumnos están formados en forma de cuadrado para realizar una exhibición de Educación Física. Como debían llevar a cabo dos actividades diferentes, el profesor los dividió en dos grupos en forma de rectángulo, uno de los cuales tenía 36 alumnos más que el otro. ¿Cuántos alumnos había en total al principio?

Sabemos que en esos rectángulos no hay menos de 30 ni más de 70 individuos.

Solución

jueves, 2 de julio de 2009

Cromos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Rafa y Mario coleccionan cromos de futbolistas. Rafa completó su álbum y Mario completó 3/4 partes del suyo.

Si entre los dos, pegaron 245 cromos, ¿cuántos cromos tiene el álbum?

Solución

domingo, 28 de junio de 2009

Planos y puntos en el espacio

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Determinar el mayor número de planos en el espacio tridimensional para los que existen seis puntos con las siguientes condiciones:

i) Cada plano contiene al menos cuatro de los puntos.

ii) Cuatro puntos cualesquiera no pertenecen a una misma recta.

Solución

jueves, 25 de junio de 2009

Transporte escolar

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un instituto programa una excursión para sus alumnos.

El día señalado, les transporta a la estación de tren en n autobuses (donde n es un entero positivo mayor que 1 y no primo), donde ya estaban esperando 7 alumnos que viven muy cerca de allí. Los alumnos fueron distribuidos en 14 vagones del tren.

Los autobuses iban casi llenos (cabían en cada uno de ellos 52 personas) y todos ellos llevaban el mismo número de personas.

¿Cuántos alumnos iban en cada vagón, suponiendo que el número buscado es el menor que cumpla todas las condiciones anteriores, y que en cada vagón va la misma cantidad de alumnos?

Solución

domingo, 21 de junio de 2009

La magia de los círculos

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cuadrado con círculos

Cuadrado con círculos

En la imagen aparece un cuadrado de lado una unidad en el que se inscribe primero un círculo, después cuatro, después nueve, y, finalmente, 16.

Calcula la relación en cada caso entre el área del cuadrado y la suma del área del total de círculos inscritos.

¿Cuál sería la relación si inscribiésemos 10x10 = 100 círculos en el cuadrado? ¿Por qué?

Solución

jueves, 18 de junio de 2009

Una clase de deportistas

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En una clase todos los estudiantes practican algún deporte: 12 juegan al fútbol, 13 al baloncesto y otros 13 al tenis. Hay 3 estudiantes que practican los tres deportes, 8 que juegan al fútbol y baloncesto, 4 a baloncesto y tenis, y 2 que sólo practican fútbol.

¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Solución

martes, 16 de junio de 2009

Preparando el próximo curso

En mi centro, el IES Miguel Hernández de Alicante, estamos ya preparando el final de curso, porque pronto empiezan las fiestas locales. Hemos escrito unas hojas para los alumnos con cierta capacidad para las matemáticas, preparándoles para las actividades en las que podrán participar el próximo curso.

Por si te interesa, pongo enlaces aquí mismo. Todos los problemas que menciono es probable que los veas aquí en breve tiempo, en diferentes categorías.

Entrada al artículo completo, tal y como lo hemos puesto en la página web.

El documento para los que empezarán 1º de ESO (nacieron en el año 97).

El documento para los que empezarán 2º de ESO (nacieron en el año 96).

El documento para los que empezarán 3º de ESO (nacieron en el año 95).

El documento para los que empezarán 4º de ESO (nacieron en el año 94).

El documento para los que empezarán 1º de Bachillerato (nacieron en el año 93).

El documento para los que empezarán 2º de Bachillerato (nacieron en el año 92).

domingo, 14 de junio de 2009

Dos circunferencias en un paralelogramo

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

En el interior de un paralelogramo ABCD se dibujan dos circunferencias. Una es tangente a los lados AB y AD, y la otra es tangente a los lados CD y CB. Probar que si estas circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia está en la diagonal AC.

Solución

jueves, 11 de junio de 2009

Pintando mapas

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Mapa de cuatro

Mapa de cuatro

¿De cuántas maneras distintas se puede pintar un mapa de cuatro países como el del dibujo, si se dispone de 5 colores diferentes? El dibujo representa un rectángulo dividido en cuatro partes iguales por dos perpendiculares a los lados.

Cada país se puede pintar de un único color, con la condición de que sea diferente al de los países con los que tiene una línea que los separa. Un único punto no se considera una línea.

Solución

domingo, 7 de junio de 2009

Padre e hijo

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

A principios del pasado mes de marzo, fue el cumpleaños de Antonio y de su hijo Marc. El padre, aficionado a las matemáticas, le dijo a su hijo: De aquí a 16 años tu edad será un cuadrado perfecto y, además, el cuadrado de mi edad coincidirá con el año en que nos encontremos".

¿Cuál es la edad actual de este padre y de este hijo?

Pista: tened en cuenta que este problema se plantea en abril del año 2009

Solución

jueves, 4 de junio de 2009

El abuelo

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un hombre de entre 50 y 70 años de edad, y con una cantidad realmente grande de nietos, dijo: “Cada uno de mis hijos tiene tantos hijos como hermanos, y el número combinado de mis hijos y mis nietos es exactamente mi edad”.

¿Qué edad tiene el abuelo y cuántos nietos tiene?

Solución

domingo, 31 de mayo de 2009

Una diferencia muy divisible

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Probar que, para todo entero positivo n, n19 - n7 es divisible por 30.

Es decir, que la diferencia entre la potencia séptima y la decimonovena de cualquier entero positivo es un múltiplo de 30.

Solución

jueves, 28 de mayo de 2009

Simplificación

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Mal método

Mal método

Considera la fracción 16/64. Si simplificamos tachando la cifra 6, presente en las unidades del numerador y en las decenas del denominador, nos queda la fracción 1/4 que, inesperadamente, es equivalente a la anterior. Es decir, el método es absolutamente incorrecto, pero el resultado es cierto.

¿Puedes encontrar todas las fracciones, cuyos numerador y denominador tengan también dos cifras, que cumplan esta curiosa propiedad?

Solución

lunes, 25 de mayo de 2009

Cifras ausentes

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En la siguiente multiplicación, averigua las cifras que faltan:

ABC4DE*7 = 6743F56

Como siempre en estos casos, cada letra representa a una cifra.

Solución

sábado, 23 de mayo de 2009

La cadena

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cadena de anillas

Cadena de anillas

Silvia hace una cadena con argollas circulares, como se ve en la figura, introduciendo cada argolla dentro de la otra y encadenandola a la siguiente.

El diámetro del circulo interior de cada argolla es de 26 centímetros.

El diámetro del circulo exterior de cada argolla es de 30 centímetros.

Las argollas miden 2 centímetros de ancho.

a)¿Cuál es la máxima longitud en centímetros de la cadena de 3 anillas desde un extremo al otro?

b)Si Rafa hizo una cadena con anillas similares cuya longitud máxima era de 1070 centímetres, ¿cuántas usó en total?

Solución

miércoles, 20 de mayo de 2009

Estalmat 2009

Queda ya poco tiempo para inscribirse en la prueba de acceso. Como este año no me ha dado tiempo a pasar por todos los centros por los que pasé el año pasado, he decidido enviar una carta a los medios tradicionales de comunicación (prensa escrita), como última opción para llegar a ciertos centros. Puede que aún me pase por un par de centros más, pero creo que las personas que puedo informar directamente ya están informadas.

Por si alguien busca aún más información a través de Internet, voy a resumir qué es Estalmat y cuáles son sus objetivos. Si tienen alguna duda al respecto o quieren hacer alguna aclaración, pueden dejar un comentario y trataré de aclararla o preguntar a alguien que pueda ayudar.

El proyecto Estalmat (proviene de Estímulo del Talento Matemático), promovido por la Real Academia de Ciencias de España, consiste en detectar y potenciar el talento matemático en estudiantes jóvenes, concretamente de 12 a 13 años. En cada comunidad autónoma se desarrolla de una forma ligeramente distinta, por lo que si tienes interés en la manera en que cada una detecta a estos jóvenes y cómo organiza las reuniones, deberás de visitar su página web o ponerte en contacto con ellos. Está patrocinado por Fundación Vodafone España, entre otras empresas colaboradoras.

En el caso de mi comunidad, la Comunidad Valenciana, el proyecto está coordinado por la mayoría de las universidades de la comunidad. La labor con estos estudiantes se realiza durante dos años de forma más intensiva, tres horas semanales unos 20 sábados al año, y durante dos o tres años más con intervenciones menos frecuentes.

El proyecto, ahora y en esta comunidad, finaliza su segundo año de vida, es decir, sólo se ha trabajado con dos grupos: uno a lo largo de un único año y otro a lo largo de dos, hasta ahora. El día 23 de mayo, sábado, se celebra la clausura del curso, que ha sido muy interesante por lo que hemos aprendido y por lo que vamos preparando para futuros cursos.

Casi inmediatamente empieza la labor de selección de la siguiente promoción (la información está en la página de entrada a la web). Sólo hay hasta el día 27 para inscribirse en la prueba, que se celebra el día 30 (sábado) a las 10 de la mañana en los campus que convocan las pruebas. De los participantes se seleccionará una cierta cantidad de ellos, a los que se convocará a las reuniones de los sábados. Si te interesa, pongo aquí un enlace directo a la inscripción.

El principal problema en nuestra comunidad es la distancia, ya que si sólo creamos un grupo, los desplazamientos se vuelven muy largos y costosos. Es posible que este curso se organicen dos grupos para evitar el factor distancia.

La convocatoria del año pasado recibió más de 150 inscripciones, y he oído que este año puede que tenga una afluencia similar, pero no tengo cifras. Creo que tendremos entre las personas inscritas alumnos de mucha calidad.

Aquellos que no sean seleccionados, que no piensen que no valen para esto, o que carecen de eso que llamamos talento matemático. Es posible que ese día no tuviesen la inspiración necesaria, o bien que no entendieron los enunciados adecuadamente. Nuestros instrumentos de medida son necesariamente imprecisos, y mucha gente que podría entrar en este grupo, queda fuera. Si están en el rango adecuado de edad, pueden presentarse al curso siguiente, y si no, siempre pueden aprender por su cuenta. Seguir este blog puede ser una ayuda. Y este no es el único proyecto que hay en marcha para potenciar la formación en resolución de problemas. Ójala pudiésemos llegar a todos los que quieren aprender. Tal vez en un futuro no muy lejano.

Espero contribuir a ello

lunes, 18 de mayo de 2009

Algunos números son así

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

¿Cuántos números enteros hay de tres cifras de forma que todas son distintas, y al escribirlo en orden inverso obtenemos un número mayor?

Un ejemplo de tales números es el 346, ya que el 643 es mayor.

Ten en cuenta que la primera cifra de un número de tres cifras no puede ser 0.

Solución

sábado, 16 de mayo de 2009

Punta de flecha

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Punta de flecha

Punta de flecha

En un cuadrado de área 4, dibujamos la siguiente figura coloreada uniendo sólo vértices con centros de los lados. ¿Qué área tiene?

La descripción de la figura con precisión dice así: El cuadrado (en el sentido de las agujas del reloj), DCBA, P es el centro de AD, Q el centro de BC, R el centro de DC, y M es el punto donde se cortan AQ y BP. La figura coloreada es el cuadrilátero ARBM.

Solución

miércoles, 13 de mayo de 2009

Fase provincial de la olimpiada de la SEMCV

Como suele suceder por estas fechas, se ha celebrado la fase provincial de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana, organizada por la SEMCV. En esta ocasión no se han clasificado para la final, que tendrá lugar en Benicarló, alumnos de mi instituto, pero voy a dar cuenta de los detalles de la jornada en la provincia.

Parece ser que la jornada fue muy interesante para ellos, a tenor de lo que me contaron aquellos con los que hablé, a pesar de que, evidentemente, no todos se clasificaron para la final, y de que durante la prueba de calle llovió un poco, aunque no lo suficiente como para cancelar la actividad.

En la categoría de tercer ciclo de primaria se clasificaron dos personas de Alicante, Aitana Castro Tomás, del Enric Valor, y Carlos Martínez Rubio, del Azorín. También van dos estudiantes de L'Alfàs del Pi (David Chaparro Misó y Adrián Requena Gutierrez), uno de Alcoi (Aarón Solbes Kitagaki), otra de Denia (Mar Císcar Monsalvatje), y también de Orihuela (José María Albaladejo Sánchez) y de su pedanía La Aparecida (Francisco Cerezo Escudero). Como veis, repartidos por toda la geografía alicantina.

En la categoría de primer ciclo de secundaria, de nuevo van dos personas de Alicante, Pablo Coloma Arques, del Figueras Pacheco, y Jorge Torrente Sánchez, del Jaime II. También van estudiantes de San Vicente (Enrique Ruiz Carmona), Benidorm (Laura Peña Queralta), Orihuela (Daniel Nieves Roldán), Sant Joan (Moises Llinares Muñoz), Almoradí (Alejandro Lorenzo Martínez) y Elda (Sinforiano Cantos Trigo).

En la de segundo ciclo de secundaria, encontramos a tres estudiantes de Alicante, Carmen Gómez Escolar y Belén Llopis Mengual, del colegio Maristas, y Lluís Olivas Marco, del Figueras Pacheco. También encontramos a dos estudiantes de Orihuela, David Pardo Simón y Manuel Esquer Cerezo, del Colegio Jesús María San Agustín, y también estudiantes de Mutxamel (Jairo Blanes Ruiz), La Vila Joiosa (Antonio Moll Ramis) y Benidorm (Jorge Peña Queralta).

Enhorabuena a todos ellos, y que disfruten en Benicarló de la fase final.

domingo, 10 de mayo de 2009

El número imposible

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Imagina un número tal que sus cifras suman exactamente 12. ¿Puede ser un cuadrado perfecto, es decir, ser el cuadrado de otro número? ¿Por qué?

Solución

jueves, 7 de mayo de 2009

Símbolos desconocidos

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Tabla de símbolos

Tabla de símbolos

Los símbolos representan tres números entre 1 y 9. Si sumas las filas y las columnas, debes obtener los resultados que se indican fuera de la tabla.

¿Qué valor tiene cada símbolo?

Por si no puedes ver la imagen, en la primera fila hay un avión y dos ojos, en la segunda un ojo, una araña y un avión, y en la tercera, dos arañas y un ojo, en ese orden.

Las sumas de las filas son, sucesivamente, 17, 11 y 9, y las columnas, también en orden, 11, 9 y 17.

Solución

domingo, 3 de mayo de 2009

Soluciones pares

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

¿Qué valores puede tomar el número b para que la ecuación x2 - b*x + 80 = 0 tenga dos soluciones enteras pares distintas?

Solución

viernes, 1 de mayo de 2009

El rombo inscrito

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

En el interior de un rectángulo de 45 centímetros de ancho y 15 de alto se dibuja un rombo lo más grande posible (pueden usarse los lados, pero no salir del rectángulo). Calcula qué área tiene. Recuerda que un rombo tiene todos los lados iguales.

Solución

miércoles, 29 de abril de 2009

Estalmat y Olimpiada de Mayo 2009

Por tercer año se convocan las pruebas de selección del proyecto Estalmat en la Comunidad Valenciana, aunque en otras comunidades puede llevar más o menos tiempo implantado. Si vives en España, puedes encontrar información sobre tu comunidad autónoma en la página principal del proyecto Estalmat.

Este proyecto está dirigido a chicos y chicas nacidos en 1996 o 1997, es decir, que se encuentran cursando, normalmente, 6º de primaria o 1º de ESO en España.

En la Comunidad Valenciana, la prueba de selección se realizará el 30 de mayo, sábado, en cuatro sedes distintas a elegir por proximidad a tu residencia: Alicante, Castellón, Denia y Valencia. Antes de la prueba (la fecha límite es el 26 de mayo) debes inscribirte en la propia página web del proyecto, aportando los datos necesarios, incluidos los datos de tu profesor de matemáticas. Si hay algún problema en obtener esos datos, puede inscribirte él, si le das los tuyos.

El objetivo del proyecto, por si alguien no está informado aún, es estimular a los alumnos con altas capacidades para las matemáticas mediante la realización de unas actividades extraordinarias los sábados del curso, en las sedes que aportan los centros colaboradores (las diferentes universidades). Es totalmente gratuito, si bien los padres se deben comprometer a transportar a los alumnos a los lugares indicados.

En cuanto a la Olimpiada de Mayo, se trata de una prueba que no tiene mucha difusión, aunque se celebra en muchas sedes a lo largo de todo el mundo. Se suele celebrar el segundo sábado de mayo, aunque en algunas sedes se aplaza unos días para evitar coincidencias. La prueba tiene un nivel alto de dificultad (podéis consultar los problemas que he incluido en mi blog). Existen dos categorías: el primer nivel, para estudiantes nacidos en 1996 (que actualmente deberían estar en 1º de ESO, en España) y el segundo nivel, para estudiantes nacidos en 1994 (que deberían estar, en España, en 3º de ESO). No sé con quién te puedes poner en contacto en otros lugares, pero si naciste en esos años, estás interesado/a y vives cerca de Alicante, puedes ponerte en contacto conmigo (por ejemplo, dejando un comentario con tu correo electrónico en esta misma entrada) y te proporcionaré información para que puedas presentarte.

domingo, 26 de abril de 2009

Los triángulos enteros

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Si usamos un segmento de 12 metros que sólo se puede doblar en trozos de medida entera en metros. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir? ¿Cómo serían?

Solución

jueves, 23 de abril de 2009

Equilibrio

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Balanzas

Balanzas

Tenemos cuadrados, triángulos y círculos de diferentes materiales. Las figuras similares pesan lo mismo, pero las figuras diferentes tienen distintos pesos. Con una balanza nos damos cuenta de algunos grupos de figuras que se equilibran.

En la primera balanza situamos tres cuadrados en el plato derecho y cuatro triángulos en el izquierdo, y se equilibra.

En la segunda balanza situamos un cuadrado en el plato derecho y un triángulo y un círculo en el izquierdo, y se equilibra.

En la tercera balanza situamos tres triángulos en el plato derecho.

¿Qué se necesita para equilibrar el lado izquierdo de la última balanza?

Solución

martes, 21 de abril de 2009

Resultados de la primera fase de la OMCV

Ya tenemos los resultados de la fase comarcal de la Olimpiada de la comunidad Valenciana que convoca la SEMCV. Como siempre, la selección de los problemas influye en qué alumnos son seleccionados, cosa que no se puede evitar, en competiciones de este tipo. Es una pena que personas que llevaban varias semanas (y a veces más tiempo) preparando la prueba no se clasifiquen, pero el número de participantes era muy elevado, y no siempre se tiene la inspiración necesaria.

Dicho esto, quiero felicitar a todos los que se han clasificado para la siguiente fase en Teulada, porque seguro que ellos sí que se lo merecían. La prueba provincial tendrá lugar en el IES Teulada, calle Mallorca, S/N, el próximo 9 de mayo. Se iniciará a las 9 de la mañana, y acabará sobre las 6 de la tarde. A lo largo del proceso se les dará de comer a los participantes.

En la categoría B, la de segundo ciclo de la ESO, se han clasificado dos alumnos de mi instituto, Isabel Granados Palma y Alberto Peña Mas. Desde aquí les deseo mucha suerte en la segunda fase. Los 30 participantes son de muchas ciudades y pueblos distintos de Alicante. Me gustaría citar a Fernando Troya Pazmiño, alumno del Montserrat Roig de Elche, centro donde trabajé durante muchos años, aunque ahora ya no tenga mucho contacto con él.

En la categoría A, la de primer ciclo de la ESO, no ha habido tanta suerte, y no se ha clasificado ningún alumno de mi centro, aunque sí se ha clasificado una alumna del IES San Blas, con los que realizamos muchas actividades, Belén Pastor Navarro. También aquí se ha clasificado un alumno del Montserrat Roig, Steven Patricio Tipan Privera.

En la categoría C, la de tercer ciclo de primaria, se han clasificado también alumnos de procedencia muy diversa, entre los que podemos encontrar hasta cinco alumnos del CEIP Enric Valor, cosa que resulta sorprendente. Quiero nombrar aquí a María García Robledo, del C.P. Prácticas - La Aneja, que está adscrito a mi centro, a Jorge Alcalá Larumbe, del C.P. San Blas, colegio con el que mantengo una estrecha relación personal, y Amadeo Gallego Cazaña, del Joaquín Sorolla, también de mi barrio, San Blas.

domingo, 19 de abril de 2009

Igualdad geométrica

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia c. Desde el vértice A trazamos la bisectriz del ángulo, que corta al lado BC en P y a la circunferencia c en Q, además de en A.

Demuestra que CA*PB = CQ*AP.

Solución

jueves, 16 de abril de 2009

El tesoro del templo (II)

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Dibujo del laberinto

Dibujo del laberinto

Un famoso arqueólogo, Indiano Jonás, se encuentra delante de la entrada del templo que vemos en el mapa. Ha puesto una letra para marcar cada pasillo del templo, y al lado un número que representa el valor del tesoro que hay en ese pasillo. Lamentablemente, estos pasillos están en tan mal estado que se derrumbarán cuando los crucemos, haciendo imposible volver a atravesarlos, ni siquiera volver atrás.

Sin embargo, en su equipo dispone de una vara muy resistente, que le permitirá, poniéndola en un único pasillo, cruzarlo varias veces. Una vez puesta, no podrá retirarla de ninguna forma.

Los cruces entre pasillos están bien conservados, y, si fuese necesario, se pueden usar varias veces. ¿Qué camino debe recorrer Indiano para recoger el mayor tesoro posible?

Solución

domingo, 12 de abril de 2009

El tesoro del templo (I)

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Dibujo del laberinto

Dibujo del laberinto

Un famoso arqueólogo, Indiano Jonás, se encuentra delante de la entrada del templo que vemos en el mapa. Ha puesto una letra para marcar cada pasillo del templo, y al lado un número que representa el valor del tesoro que hay en ese pasillo. Lamentablemente, estos pasillos están en tan mal estado que se derrumbarán cuando los crucemos, haciendo imposible volver a atravesarlos, ni siquiera volver atrás.

Los cruces entre pasillos, sin embargo, están bien conservados, y, si fuese necesario, se pueden usar varias veces. ¿Qué camino debe recorrer Indiano para recoger el mayor tesoro posible?

Solución

jueves, 9 de abril de 2009

Prueba de matemáticas

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En una prueba de matemáticas, 18 estudiantes respondieron correctamente a la primera pregunta, 23 respondieron correctamente a la segunda, 8 respondieron correctamente a las dos preguntas y 11 respondieron incorrectamente a las dos preguntas. ¿Cuántos estudiantes participaron en la prueba?

Solución

domingo, 5 de abril de 2009

Otro problema de policubos

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Policubo de orden 3

Policubo de orden 3

El último problema pone a prueba tu visión espacial. Se trata de estudiar una serie de figuras que se conocen como policubos, y que se forman uniendo cubos por sus caras. En la figura junto a estas líneas puedes ver los policubos de orden 3, es decir, que se forman uniendo tres cubos. Como puedes apreciar, sólo hay dos posibilidades.

Si unimos cuatro cubos, formamos un policubo de orden 4, y el número de figuras posibles asciende a 8. Tu primera misión será dibujar los 8 tipos (puedes utilizar papel cuadriculado para orientarte).

Diremos que un policubo A contiene a otro B si quitando algunos de los cubos que forman A obtenemos B.

Tu segunda misión es obtener de cada uno de los policubos de orden cuatro si contienen o no a los de orden tres, a cuál contienen y a cuál no. Para ello, mejor que les pongas un “nombre”.

La última prueba (y la más difícil) es encontrar (y dibujar) un policubo de orden 7 que contiene a todos los de orden cuatro. Hay varias posibilidades, pero sólo tienes que encontrar una de ellas.

Solución

jueves, 2 de abril de 2009

Más dados pegados

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Policubo de orden 3

Policubo de orden 3

A ver cómo andas de visión espacial. Usando varios dados (ya sabes, de esos cúbicos normales, con puntuación de 1 a 6), pegando sus caras podemos crear muchas figuras. Si usásemos tres de esos dados, podríamos hacer sólo dos figuras diferentes, que podemos ver en el dibujo.

Seleccionando bien la forma de unir estos dados, puedo lograr que una de ellas tenga en el exterior sólo 40 puntos, pero la otra puedo conseguir que tenga sólo 44, y esa cantidad no se puede bajar. Recuerda que todos los dados tienen los puntos situados de forma que las caras opuestas suman 7.

Ahora te toca a ti. Si utilizásemos cuatro dados en lugar de 3, podríamos crear hasta ocho figuras diferentes. Dibuja las ocho figuras (usa papel cuadriculado, para orientarte), y calcula cuántos puntos puedes conseguir que aparezcan como mínimo en su superficie. Fíjate bien, porque puede que diferentes figuras te den valores distintos.

Pista: usando dados y plastilina puedes experimentar para resolver el problema.

Solución

martes, 31 de marzo de 2009

Fase Comarcal de la Olimpiada SEMCV

Este fin de semana, el sábado por la mañana, se celebrará la fase comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana. Para los que no la conozcan, se trata de una competición que organiza la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana y que consiste en una serie de pruebas de resolución de problemas (5 o 6) a lo largo de hora y media, aproximadamente.

En Alicante y en Valencia, se celebra una fase comarcal, en la que puede participar cualquier alumno matriculado en alguno de los cursos desde 5º de primaria hasta 4º de ESO (de 10 a 16 años). Los alumnos están repartidos en tres niveles (5º y 6º de primaria, nivel C, 1º y 2º de ESO, nivel A, y 3º y 4º de ESO, nivel B). El único límite es que cada centro sólo debe presentar un máximo de seis por nivel.

A mi centro le suele corresponder presentarse en la sede de Mutxamel (IES Mutxamel), pero también hay sedes en Petrer (CP Reina Sofía) y en L'Alfàs del Pi (IES L'Alfàs). En Valencia, en Puçol (IES de Puçol), València (IES Benlliure), Torrent (IES Veles e Vents) y Ontinyent (IES Pou Clar).

El 9 de mayo, a lo largo de todo el día, se celebrará la segunda parte, la fase provincial, en la que participarán los 30 mejores de cada categoría de la fase comarcal en Alicante y en Valencia, mientras que en Castellón podrá presentarse cualquiera en la fase provincial, de forma similar a las comarcales de las otras provincias.

La última parte se celebrará el fin de semana del 6 y el 7 de junio, y sólo concursarán los 8 mejores de cada categoría de cada provincia (es decir, 24 por categoría). Para casi todos, se tratará de la última parte de la competición. Sólo los participantes de nivel A (1º y 2º de ESO) tienen acceso a una fase nacional, que tendrá lugar este año en Gran Canaria a finales de junio. Como casi todos los años, mi centro, el IES Miguel Hernández, participa en esta prueba con 12 personas de categorías A y B, a pesar de que ha coincidido con algunas actividades culturales (viajes a la nieve, y a Suiza), que han impedido acudir a algunos de los posibles participantes.

Si quieres presentarte, tu centro debe darse de alta en la web de inscripción. En ocasiones el formulario no funciona, pero no te preocupes, siempre puedes escribirles un correo a los coordinadores de Alicante, los coordinadores de Valencia o los de Castellón. En último término, podrías presentarte el día de la prueba en el centro indicado, para ver si es posible la participación, aunque sea como última opción.

lunes, 30 de marzo de 2009

Fase nacional de la OME

Se ha celebrado ya en Sant Feliu de Guíxols (Girona) la fase nacional de la Olimpiada Matemática Española (OME). Han participado en ella 121 estudiantes no universitarios de muchos puntos de España, dispuestos a enfrentarse a unos problemas, como siempre, muy complejos.

Los resultados de la competición ya se han hecho públicos. Los seis clasificados para representar a España en la Olimpiada Matemática Internacional que se celebrará en julio en Bremen (Alemania) serán los siguientes: Moisés Herradón Cueto, de Madrid, a quien ya conocen los seguidores de este blog, pues le hicimos una entrevista publicada en diciembre, Iván Geffner Fuenmayor, de Cataluña, Jaime Roquero Giménez, de Madrid, Glenier Lázaro Bello Burguet, de La Rioja, Ander Lamaison Vidarte, de Navarra, y Alberto Merchante González, de Madrid.

Damos la enhorabuena y deseamos mucha suerte en la preparación y la competición a todos los miembros del equipo. De momento ya han obtenido una medalla de oro y un sustancioso premio en metálico.

Podéis encontrar al resto de ganadores en la página dedicada a los problemas de esta edición, y al resto de participantes en la página web oficial de la fase nacional.

De los problemas podemos destacar su gran dificultad. El primero, que tradicionalmente suele ser el más sencillo, sólo fue resuelto completamente por 29 de los participantes, aunque sólo 17 personas no puntuaron en absoluto. El cuarto, que aparentemente fue el más asequible de todos, produjo 46 sietes (la máxima puntuación en esta competición), y también 17 ceros. Por el lado negativo, el problema segundo no fue resuelto por nadie completamente (2 participantes obtuvieron 6 puntos), el tercero sólo fue resuelto completamente por una persona, y el quinto problema ocasionó 110 ceros. El sexto problema, tradicionalmente el más complejo, dejó 7 sietes (probablemente sirvió para definir las medallas), pero la siguiente puntuación en él fue un 3.

El estudiante de nuestro instituto Pablo Ruiz Pianelo (IES Miguel Hernández, de Alicante) no consiguió medalla, aunque esperamos que la experiencia que ha obtenido sea muy valiosa para su futura participación en la próxima edición.

Queríamos también felicitar a la alicantina Leticia Pardo Simón (IES Tháder de Orihuela), por su medalla de bronce. Esperamos que el año que viene también vuelva a participar y aproveche su experiencia.

domingo, 29 de marzo de 2009

Dados pegados

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Policubo de orden 3

Policubo de orden 3

A ver cómo andas de visión espacial. Usando varios dados (ya sabes, de esos cúbicos normales, con puntuación de 1 a 6), si pegamos sus caras podemos crear muchas figuras. Si usásemos tres de esos dados, podríamos hacer sólo dos figuras diferentes, que podemos ver en el dibujo.

Ambas figuras tienen la misma cantidad de caras a la vista, es decir, de cuadrados en el exterior: 14 cuadrados.

Ahora te toca a ti. Si utilizásemos cuatro dados en lugar de 3, podríamos crear hasta ocho figuras diferentes. Dibuja las ocho figuras (mejor si usas papel cuadriculado para orientarte), y calcula ¿cuántos cuadrados tiene cada una en el exterior? (Ojo, que hay una que tiene una cantidad distinta a las otras).

Pista: usando dados y plastilina puedes experimentar para resolver el problema.

Solución