jueves, 19 de noviembre de 2009

Tres números primos

XV Olimpiada de Mayo, segundo problema del primer nivel, 2009

Encuentra números primos p, q, r, para los cuales sea p + q2 + r3 = 200.

Da todas las posibilidades.

Recuerda que el número 1 no es primo.

Solución

5 comentarios:

Alex dijo...

De todas las 159 posibles combinaciones de naturales que cumplen la ecuación, sólo cuatro son de números primos:

2^3 + 5^2 + 167
2^3 + 11^2 + 71
2^3 + 13^2 + 23
5^3 + 2^2 + 71

pero no sé suficientes matemáticas para encontrar una manera elegante de demostrarlo. He utilizado un método chapucero:

El número que elevo al cubo no puede ser mayor que 5, o superaría a 200. Eso nos deja tres combinaciones:

p + q^2 + 5^3 = 200 -> p + q^2 = 75
p + q^2 + 3^3 = 200 -> p + q^2 = 173
p + q^2 + 2^3 = 200 -> p + q^2 = 192

En la primera (p+q^2=75) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 7. De las posibles cuatro combinaciones sólo es válida p=71, q=2, r=5.

En la segunda (p+q^2=173) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 13. De las posibles seis combinaciones, ninguna es válida.

En la tercera (p+q^2=192) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 13. De las posibles seis combinaciones sólo son válidas tres
p=23, q=13, r=2
p=71, q=11, r=2
p=167, q=5, r=2

www.lamatematicadefidel.com dijo...

Saludos a todos. Aquí les envío la dirección de mi página de matemáticas que espero les sea útil www.lamatematicadefidel.com

Darkheaven dijo...

Hola me encanto Tu blog y ya me suscribia tus feed, la vdd es muy interesante todo lo que publicas, es dificil encontrar blogs como estos y español, Gracias !

Pablo dijo...

No acabo de ver por qué no incluís la solución: 2^3 + 7^2 + 143.

Proble Mático dijo...

Ten en cuenta que 143 = 11*13 y no es primo