domingo, 15 de noviembre de 2009

Sumando 2009

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos a1, a2, ..., an, con n ≥ 3, tales que a1 + a2 + ... + an = 2009.

Solución

4 comentarios:

Alex dijo...

Hola,

Soy nuevo aquí y ahí va mi primer comentario.

Sea A el primer número de la sucesión, y n el número de términos consecutivos.

Si adaptamos la formula de la suma de una sucesión quedaria:

(A + (A + n - 1)) * n / 2 = 2009

despejando A tenemos

A = (2009/n) - (n-1)/2

A primera vista yo creo que solo hay una sucesión:

n = 1 -> 2009 (no válida porque n<3)
n = 2 -> 1004, 1005 (no válida porque n<3)
n = 7 -> 284, ...,290 VÁLIDA
n = 287 -> -136, ... (no válida porque A no es natural)
n = 2009 -> -1003, ... (no válida porque A no es natural)

para un n mayor creo que A no es entero, ya que los decimales de dividir 2009/n se tienen que cancelar con los decimales de (n-1)/2, que siempre son 0 o 0.5 . Eso solo pasa para n=2

Alex dijo...

> "para un n mayor creo que A no es entero"

con las prisas y el copiar y pegar me comí media frase, y no se entiende lo que digo. Quería decir algo así:

"para un n diferente de estos números (1, 2, 7, 287 y 2009) creo que A no es entero"

Elrodol dijo...

En mi opinión se debe añadir a la solución de Alex el caso n = 49 con el que se obtiene la sucesión 17, 18, ... ,65

Nestor dijo...

Hola!

Antes de nada gracias al autor de esta página por brindarnos todos estos problemas ;)

Yo lo hice de la siguiente manera:

La suma de n=2k+1 naturales consecutivos se puede escribir de forma simétrica con un término central a:

(a-k) + ... + (a-1) + a + (a+1) + ... + (a+k) = (2k+1)a = n·a = 2009

Si es una suma de n=2k términos, no hay central pero podemos escribir

(a-(k-1)) + ... + (a-1) + a + (a+1) + ... + (a+k) = 2ka+k = k(2a+1) = (n/2)·(2a+1) = 2009

En uno u otro caso tendremos 2009 expresado como producto de dos enteros y, si tenemos en cuenta que 2009 factoriza como 2009=7^2·41, sus divisores son 1, 7, 41, 49, 287 y 2009. De modo que las posibilidades son:

n=1=2k+1, a=2009 ==> n=1, k=0, a=2009 ==> descartada por n<3
n/2=1=k, 2a+1=2009 ==> n=2, k=1, a=1004 ==> descartada por n<3
n=7=2k+1, a=287 ==> n=7, k=3, a=287 ==> 284+285+286+287+288+289+290 = 2009
n/2=7=k, 2a+1=287 ==> n=14, k=7, a=143 ==> 137+...+142+143+144+...+150 = 2009
n=41=2k+1, a=49 ==> n=41, k=20, a=49 ==> 29+...+48+49+50+...+69 = 2009
n/2=41=k, 2a+1=49 ==> n=82, k=41, a=24 ==> descartada por a-(k-1)<0
n=49=2k+1, a=41 ==> n=49, k=24, a=41 ==> 17+...+40+41+42+...+65 = 2009
n/2=49=k, 2a+1=41 ==> n=98, k=49, a=20 ==> descartada por a-(k-1)<0
n=287=2k+1, a=7 ==> n=287, k=143, a=7 ==> descartada por a-(k-1)<0
n/2=287=k, 2a+1=7 ==> n=574, k=287, a=3 ==> descartada por a-(k-1)<0
n=2009=2k+1, a=1 ==> n=2009, k=1004, a=1 ==> descartada por a-(k-1)<0
n/2=2009=k, 2a+1=1 ==> n=4018, k=2009, a=0 ==> descartada por a-(k-1)<0

Así pues las 4 soluciones válidas son

284+285+286+287+288+289+290 = 2009
137+...+142+143+144+...+150 = 2009
29+...+48+49+50+...+69 = 2009
17+...+40+41+42+...+65 = 2009

Un saludo