domingo, 29 de noviembre de 2009

La diferencia es 2009

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Determina justificadamente todos los pares de números enteros (x, y) que verifican la siguiente ecuación: x2 - y4 = 2009.

Solución

7 comentarios:

www.lamatematicadefidel.com dijo...

Saludos. Aquí les envío la dirección de mi página de matemáticas
www.lamatematicadefidel.com

Alex dijo...

x^2 - 2009 = y^4

la parte de la izquierda debe ser positiva, ya que la derecha lo es, por lo que como mínimo sabemos que x es mayor que la raíz cuadrada de 2009, es decir x >= 45.

Mira por donde, con el primer número a probar, x=45 ya encontramos un par que cumple la condición, y=2:

45*45 - 2009 = 2*2*2*2

También sabemos que x e y no pueden ser los dos pares o los dos impares.

No se me ocurre como encontrar más números. He acertado uno por casualidad.

Laurent dijo...

Gairebé em torno boig per a resoldre el problema... que havia copiat malament!

D'una banda tenim que 2009 = 7^2.41 i d'altra que ha de ser
(x + y^2)(x - y^2) = 7^2.41. Si anomenem a = x + y^2 i b = x - y^2, llavors els casos que tenim són:

1) a = 2009, b = 1;
2) a = 49, b = 41;
3) a = 287, b = 7;

Com que y^2 = (x - y^2)/2, la quantitat (x - y^2)/2 ha de ser un quadrat perfecte i l'únic cas que ho acompleix n'és el segon, el que ens dóna la solució de l'Alex.

Pablo dijo...

Hola Alex, x también puede ser igual a -45 por tanto no cumpliría lo que has dicho, creo que lo correcto sería que |x|≥45.

Una idea es que intentes factorizar x^2-y^4 y descompongas 2009. Con esto y lo que has dicho a lo mejor te aproximas más a la solución

Alex dijo...

Corrección: si el enunciado dice pares de ENTEROS,entonces para una solución (x,y) de la ecuación x² - x⁴ = 2009, entonces también son solucion los pares (-x, y) , (x, -y) e (-x, -y)

En el caso del primer número encontrado (45, 2) también serán solución (45, -2), (-45, 2) y (-45, -2)

(Continuo sin saber como encontrar más números)

Juan dijo...

Vamos la respuesta es simple, Alex y Pablo estan mal, X no es mayor o menor a 45, es 45
x^2=45^2=2025-16=2009.
Entonses, Y^2=16, por lo tanto, Y=4si no me creen simplifiquen
x^2-y^4=2009.
45^2-4^4=2009.
2025-16=2009

Anónimo dijo...

ERROR JUAN. Estas bien en X pero Y no0 es 4 por que daria 36. Y es 2 por que da 16 y 2025-16=2009