sábado, 30 de abril de 2011

Presos con sombrero

Concurso de El Pais, abril de 2011

Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13...). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás.

Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas. Los prisioneros no pueden hacer señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz... deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar al mayor número de prisioneros en cualquier caso? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?

Solución

jueves, 28 de abril de 2011

La letra del DNI

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Si has usado alguna vez el DNI, te habrás dado cuenta que lleva un código único que está formado por 8 cifras y una letra. La letra, en realidad, se puede obtener a partir del número, obteniendo el resto al dividirlo entre 23. Es decir, la letra representa el resto al dividir entre 23. De esta forma se puede saber si el número es correcto o ha habido un error al escribirlo. Incluso se puede recuperar una cifra que se borre, si se sabe la posición que ocupaba.

Imagina que te dicen que el número 12924788 puede tener la tercera cifra equivocada, y que su resto al dividir entre 23 es 12 ¿podrías saber si es correcta o no, y cuál debe ser realmente?

¿Cómo lo harías?

Vamos a probar qué otros números valdrían para hacer algo parecido. Imagina que en lugar de dividir entre 23 divido entre 25. Si te digo que la segunda cifra del número 313421 es dudosa, pero que su resto al dividir entre 25 es 21 ¿te sirve para algo? ¿Por qué?

Por último, si usamos el resto al dividir por 21 ¿podemos reconstruir un dígito, como con el 23?

Haz un par de demostraciones.

Solución: próximamente

domingo, 24 de abril de 2011

Números compadres

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Vamos a trabajar con una característica nueva (e inventada) de los números.

Diremos que dos números son compadres si su suma es un número que, en su forma habitual, se escribe sólo con unos y ceros.

Por ejemplo, 5 y 6 son compadres, porque 5 + 6 = 11. De la misma forma, 1378 y 9632 también lo son, porque 1378 + 9632 = 11010.

Sin embargo, 45 y 26 no son compadres, porque 45 + 26 = 71, que tiene al menos un número (el 7) que no es un cero ni un uno.

Ahora empieza tu trabajo.

a) Busca dos compadres del número 237 que tengan tres cifras.

b) ¿Cuántos compadres más puedes encontrar al número 237 que tengan tres cifras?

c) Encuentra todos los compadres de tres cifras del número 102 (no vale que empiecen por 0).

Explica brevemente cómo los has encontrado.

Solución: próximamente

sábado, 23 de abril de 2011

País de palillos

Concurso de El Pais, abril de 2011

País de palillos

País de palillos

Construimos la palabra "PAIS" usando palillos, exactamente en 19 palillos (5 para cada letra, excepto la letra i, que sólo usa 4).

Con esa distribución se juega a dos juegos, para los que hay que diseñar una estrategia ganadora.

El primer juego consiste en que cada uno de los dos jugadores retira uno, dos o tres palillos. Gana el jugador que retira el último palillo.

El segundo juego consiste en que cada uno de los dos jugadores retira todos los palillos que desee, pero de una única letra. De nuevo, gana el jugador que retira el último palillo.

Se pide descubrir una estrategia ganadora para cada uno de los dos juegos, bien para el jugador que comienza, o bien para el segundo jugador, si el primer jugador no tiene estrategia.

Solución

jueves, 21 de abril de 2011

Competiciones

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

En dos centros, Gaia (G) y Leonardo (L) se hace una competición de resolución de problemas.

Cada año hay un equipo ganador y un ganador individual. Para la clasificación por equipos se asignan puntos según el puesto de la carrera hasta el 4o clasificado según la siguiente regla: 8 al primero, 5 al segundo, 3 al tercero y 1 al último.

Desde el primer año cada centro selecciona 3 alumnos para la competición. Este año Gaia ha seleccionada a Araceli, Basilio y Carlos. Leonardo presentará a Rafa, Sara, y Tina.

a) Di la cantidad de clasificaciones posibles en la prueba individual (sólo se tienen en cuenta los cuatro primeros).

b) Para la puntuación de los equipos sólo se tiene en cuenta de qué equipo es cada clasificado en cada puesto y no su nombre. Ahora GGGL es una de las clasificaciones posibles, significando que en la carrera los tres primeros clasificados son del Gaia y el cuarto del Leonardo. Di el número de clasificaciones distintas que se pueden producir en la prueba por equipos.

c) Di si los dos resultados GGGL y GGLL tiene las mismas posibilidades de producirse.

d) Di si es cierta la frase “la probabilidad de que gane el equipo Gaia con el resultado GGGL es 1/20”

Solución

domingo, 17 de abril de 2011

Un rectángulo cortado (III)

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Ana tenía una hoja rectangular (no cuadrada), y la ha cortado en seis rectángulos (no sabemos si iguales o distintos).

La primera parte del problema es ver de qué formas diferentes puede Ana haber hecho los cortes en la hoja: ¿Puede haber hecho un corte que no sea paralelo a los lados? ¿En qué dirección puede haber hecho cada corte (hay varias posibilidades)?

Encuentra un método para partir cada uno de esos rectángulos en dos trozos de forma que uniendo seis de los trozos sobrantes se pueda construir un cuadrado, y uniendo los otros seis, un rectángulo (que en ocasiones puede ser también cuadrado). Se supone que unirlos quiere decir pegarlos sin superponer ningún fragmento.

Como debes haber estudiado las posibilidades en el caso anterior, trata de explicar tu método claramente en cada uno de los casos.

Solución

viernes, 15 de abril de 2011

Dividiendo en dos un reloj

Reloj pintado en dos colores

Reloj pintado en dos colores

Concurso de El Pais, abril de 2011

Demuestra que, si pintamos los doce números de un reloj con dos colores, seis de rojo y seis de azul, siempre habrá una recta que divida la esfera en dos mitades dejando tres de cada color en cada uno de los lados.

Solución

jueves, 14 de abril de 2011

Alienígenas maripósidos

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Nos han traído de una expedición intergaláctica unos alienígenas muy extraños. Cada semana, alguno de ellos cambian inexplicablemente de forma, siguiendo una pauta muy curiosa.

De momento, los 1080 que nos han traído adoptan su forma gusánida, porque es el mejor momento para cazarlos, pero queremos que estudies los datos que aparecen a continuación y nos digas, suponiendo que no muere ninguno, cómo quedará repartida nuestra población al cabo del tiempo. ¿Se estabilizará, y siempre habrá la misma cantidad de los tres tipos? ¿Cuántos de cada tipo, en ese caso?

El caso es que nos han informado que, cada semana, el 70% de los gusánidos pasan a ser maripósidos. Además, el 10% de los maripósidos pasan a ser jiráfidos y el 25% de jiráfidos se transforman en gusánidos de nuevo. Todos los cambios suceden simultáneamente, al cabo de una semana. Si una de las cantidades no es exacta, al azar cambia una cantidad mayor o menor en una unidad, pero más o menos se cumplen las proporciones.

¿Cómo crees que se quedará la población de esos extraños seres, en el supuesto de que no fallezcan, ni se reproduzcan?

Explica tu razonamiento.

Solución

domingo, 10 de abril de 2011

Una balanza en el zoológico

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Báscula en el zoológico

Báscula en el zoológico

Hemos instalado una balanza gigante en el zoológico, aunque no queda muy clara su utilidad, porque todavía no tenemos pesas para comparar el peso de los animales, así que tenemos que hacer las pesadas utilizando a los propios animales.

Más o menos, todos los animales que utilizamos en nuestras pruebas son adultos de tamaño similar entre ellos (podemos suponer que todos los elefantes pesan lo mismo entre ellos, también los rinocerontes entre ellos, etcétera).

En la primera prueba, comparamos en un plato uno de nuestros elefantes con otro plato en el que juntamos a un rinoceronte con un hipopótamo (no te imaginas lo que tuvimos que pelear para que permaneciesen quietos). El sorprendente resultado es que la balanza se estabilizó, es decir, que pesaban lo mismo.

En la segunda, llegando al límite de resistencia del aparato, pusimos a cuatro elefantes en uno de los platos (les proyectamos Dumbo, para que se entretuviesen), y a seis rinocerontes y un hipopótamo en la otra (el hipopótamo estaba un poco asustado, pero le pusimos un cuerno de papel y disimulaba). De nuevo, la balanza estaba en equilibrio.

Ahora te toca a ti. Si situamos a 4 rinocerontes en una balanza y dos elefantes en la otra ¿cuántos hipopótamos, y dónde, hemos de poner para equilibrarlos?

Indica cómo lo has sabido.

Solución

sábado, 9 de abril de 2011

Cuadrado mágico de productos

Concurso de El Pais, marzo de 2011

Inicio de cuadrado mágico

Inicio de cuadrado mágico

Seguro que todo el mundo conoce los cuadrados mágicos (de sumas), aquellas disposiciones cuadradas de números, normalmente distintos, en las que la suma de los números que están en la misma columna da una cantidad fija, igual en cada columna, y que coincide con la suma de todos los números que están en una misma fila, incluso con los números que ocupan una de las dos diagonales del cuadrado.

En esta ocasión, deberemos construir un cuadrado mágico de productos, es decir, un cuadrado de 9 números distintos, dispuestos en forma de cuadrado de tres números de lado y tres filas de alto, que cumpla que el producto de los números situados en una columna cualquiera, en una fila cualquiera, o en una de las dos diagonales, da como resultado el mismo número fijo. Además, el número que debe ocupar la casilla central es el 15.

En el concurso original no pedía el sistema que se seguía, pero mí me gustaría saber el sistema que siguen mis lectores, si es posible.

Solución

jueves, 7 de abril de 2011

Dividir un cuadrado

Dividir en cuatro zonas

Dividir en cuatro zonas

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

En una trama de 9 puntos se ha dibujado un cuadrado.

Encuentra todas las formas distintas de conseguir 4 zonas de igual área uniendo puntos de la trama mediante líneas rectas, como se muestra en el ejemplo.

Solución

domingo, 3 de abril de 2011

Extrayendo la verdad

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Tenemos 105 monedas, y sabemos que hay tres falsas. Las monedas falsas son iguales entre sí, y más ligeras que las auténticas, que también son idénticas entre sí.

Disponemos de una balanza de precisión para comparar grupos de monedas, y nos puede decir si un grupo pesa más, menos o igual que otro, aunque no si pesa mucho o poco más.

Necesitamos separar de las 105 una cantidad de 26 monedas que sean auténticas usando sólo dos pesadas en la balanza.

Explica tu razonamiento.

Solución

viernes, 1 de abril de 2011

Una hormiga amenazada

Concurso de El Pais, marzo de 2011

Cubo de la hormiga

Cubo de la hormiga

Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.

Los vértices 7 y 8 (ver dibujo) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?

Solución