domingo, 30 de diciembre de 2007

Juego de magia con números

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XVII Olimpiada Matemática, Castellón, 2006)

Joan quiere impresionar a sus amigos con un truco de magia numérico, y les propone el siguiente juego: "Elige un número de tres cifras y forma otro de seis cifras repitiéndolo dos veces. Divide este número entre 7, después, divide el resultado entre 11 y, para acabar, divide el resultado entre 13. Todas las divisiones te darán exactas, y resultará sorprendente el resultado final."

¿Cuál será ese resultado tan sorprendente? ¿Por qué sucede?

Solución

Actualización: Este problema fue propuesto, realmente, en la fase autonómica, que se celebró en Castellón, en 2006. No en la fase provincial de Castellón.

jueves, 27 de diciembre de 2007

La gran comida

(Fase comarcal de la XVIII Olimpiada Matemática, 2007)

Queremos preparar una comida para 15 personas y tenemos que comprar un cerdo. Hay tres tipos de cerdos:

Pequeño: 4,5 kg aproximadamente;

Mediano: 5,5 kg aproximadamente;

Grande: 6,5 kg aproximadamente;

Si sabemos que necesitaremos 425 gramos por persona, y en caso de duda más vale que sobre que no que falte.

a) ¿Qué tipo de cerdo compraremos?

b) Si el precio por kilogramo es de 6 euros, ¿cuánto nos costará?

c) Si sabemos que el tiempo de cocción es de 22 minutos por cada medio kilogramo, y queremos tener listo el cerdo para las 2 en punto ¿a qué hora debemos empezar a cocinar?

d) De postre queremos preparar un pastel de chocolate y, para los ingredientes, en el libro de cocina pone que para 6 personas necesitamos: 4 huevos, 150 gramos de azúcar, 200 gr de chocolate negro de cobertura, 50 gr de manteca y 250 de harina. ¿Cuántos huevos y cuánta cantidad de chocolate necesitaremos?

Solución

domingo, 23 de diciembre de 2007

Sumas de primos y cuadrados

(Fase local de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n2 + p, siendo n natural y p primo?

Razónese la contestación.

Solución

jueves, 20 de diciembre de 2007

Simetrías en un triángulo

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Dado un triángulo ABC rectángulo, se consideran los puntos A', B' y C', simétricos respectivamente de A, B y C respecto a los lados opuestos del triángulo.

¿Qué relación existe entre el área del triángulo A'B'C' y la del triángulo ABC?

Solución

domingo, 16 de diciembre de 2007

Dos moscas en una caja

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XVII Olimpiada Matemática, Castellón, 2006)

¿Cuál es la distancia máxima a la que se pueden encontrar dos moscas en una caja, cuyas dimensiones son 80 centímetros de largo, 60 de ancho y 20 de altura?

Solución

Actualización: Este problema fue propuesto, realmente, en la fase autonómica, que se celebró en Castellón, en 2006. No en la fase provincial de Castellón.

jueves, 13 de diciembre de 2007

Una suma femenina

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Encuentra el valor de cada una de las letras que aparecen en la suma, sabiendo que cada letra distinta corresponde a una cifra distinta, y que R vale 5: EVA + ANA = SARA.

Solución

domingo, 9 de diciembre de 2007

Consecuencias de una igualdad

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Los números reales no nulos a y b verifican la igualdad (a2b2)/(a4 - 2b4) = 1.

Encontrar, razonadamente, todos los valores tomados por la expresión (a2 - b2)/(a2 + b2).

Solución

jueves, 6 de diciembre de 2007

A partir de una fecha

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) Dada una fecha cualquiera (día, mes, año), forma el número con las cifras de esta fecha ordenadas de forma decreciente, y el número que forman las cifras ordenadas de forma creceiente. Resta la menor de la mayor. Suma las cifras del número que has obtenido, y vuelves a sumar las cifras del resultado, hasta que sólo quede una cifra. ¿Qué cifra es?

a) Haz el cálculo con la fecha del día de hoy (13 de mayo de 2006) y con la de tu cumpleaños.

b) Demuestra que siempre obtienes el mismo número.

Solución

domingo, 2 de diciembre de 2007

Sudoku

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Resuelve el sudoku que viene a continuación:

Sudoku

Sudoku

Solución

jueves, 29 de noviembre de 2007

Las cerillas

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) Para distraerse, Antonio se pone a hacer escaleras de cerillas. Cada cerilla tiene 3 centímetros de larga. Hacen falta 16 cerillas para hacer una escalera de 15 centímetros de larga y 3 de ancha, como la de la imagen.

Escalera de cerillas

Escalera de cerillas

¿Cuántas cerillas necesitará Antonio para hacer una escalera de 90 centímetros de larga y 3 centímetros de ancha?

Solución

domingo, 25 de noviembre de 2007

Un triángulo en un cuadrilátero

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Los vértices del cuadrilátero convexo ABCD están situados en una circunferencia. Sus diagonales AC y BD se cortan en el punto E. Sea O1 el centro del círculo inscrito en el triángulo ABC, y O2 el centro del círculo inscrito en el triángulo ABD. La recta O1O2 corta a EB en M y a EA en N.

Demostrar que el triángulo EMN es isósceles.

Solución

viernes, 23 de noviembre de 2007

Enlaces de matemáticas II

Hace tiempo que pensaba hacer otra recopilación de enlaces, pero con motivo de la abundancia de visitas que me solicitaban que les enlazara, no he tenido más remedio que hacer otra recopilación de enlaces relacionados con las matemáticas y los problemas. Prometo que haré otra entrada próximamente con enlaces a sitios relacionados con otros temas (ciencias, enseñanza).

El primero que debo citar es la página de Ricard Peiró, dedicada en especial a la geometría interactiva (Cabri), y que tiene abundantes enlaces, entre ellos hacia esta página.

Tampoco puedo olvidar citar al grupo de google (antes de USENET) es.ciencia.matematicas, donde varios animosos colaboradores se dedican a escribir planteando y resolviendo problemas, y hablando en general de matemáticas y sus progresos. Importante suscribirte si eres aficionado.

Otra página propuesta por Ricard es la de Ricardo Barroso, el Laboratorio virtual de triángulos con cabri, donde recoge propuestas y soluciones en geometría interactiva sobre esta temática.

También olvidé citar la página oficial de la Olimpiada Internacional de Matemáticas, donde podemos encontrar, entre otra información muy valiosa, los problemas planteados en esta competición. Tal vez con el tiempo me decida a incorporar al blog una sección de problemas extraídos de la OMI, aunque me cuesta mucho más explicarlos detalladamente.

Un blog dedicado a las matemáticas, en un sentido más amplio que el mío es el blog de un profe de mates, en el que nos comenta las últimas noticias al respecto.

Quiero, por último en esta entrada, recomendar la visita de Más que mates, donde encontraréis una información muy variada (y un tanto caótica, todo hay que decirlo) relacionada con la matemática y su enseñanza.

jueves, 22 de noviembre de 2007

Sudoku

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Haz el siguiente sudoku:

Sudoku

Sudoku

Solución

domingo, 18 de noviembre de 2007

Un cuadrado con rectángulos

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Debes construir 5 rectángulos, de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 centímetros, y áreas 9, 16, 18, 28 y 50 centímetros cuadrados, de forma que podamos construir con ellos un cuadrado de 11 centímetros de lado.

Solución

jueves, 15 de noviembre de 2007

El reino sin 3

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) Con su alfombra mágica, Aladino llega a un reino donde nadie conoce la cifra 3. Allí se cuenta así: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15...

¿Qué número emplearán para nuestro número 100 (es decir, para una cantidad de cosas que nosotros contaríamos como 100)?

Solución

domingo, 11 de noviembre de 2007

Tres números especiales

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad: los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares: 22 = 21111, 23 = 231 y 24 = 2331

¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener esa propiedad?. Razónese la contestación.

Solución

jueves, 8 de noviembre de 2007

Un cuadrado en cinco rectángulos

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Haz cinco rectángulos de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 centímetros, de áreas 9, 16, 18, 28 y 50 centímetros cuadrados que formen entre todos un cuadrado de 11 centímetros de lado.

Solución

domingo, 4 de noviembre de 2007

Padre e hijo

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Descubre las edades de un padre y su hijo, sabiendo que el doble del producto de sus edades es el valor del año actual (2006).

Solución

jueves, 1 de noviembre de 2007

Mensaje secreto

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) El agente especial Sam Spider ha dejado un mensaje en clave en los ladrillos de una pared. Se trata de un número de teléfono. Para descubrirlo, has de colocar los números del 1 al 9 en los ladrillos del dibujo (4 arriba y 5 abajo) de forma que cada número de los ladrillos superiores sea la suma de los dos sobre los que se apoya.

Ladrillos

Ladrillos

¿Cuál es el número secreto?

Solución

domingo, 28 de octubre de 2007

Soluciones discriminadas

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Calcular los números p y q tales que las raíces de la ecuación x2 + px + q = 0 sean D y 1 – D, siendo D el discriminante de esa ecuación de segundo grado.

Solución

jueves, 25 de octubre de 2007

Más edades

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Las edades actuales de Julia y María suman 91 años. Julia es ahora el doble de vieja de lo que era María cuando Julia tenía la edad que ahora tiene María.

¿Qué edades tienen ahora las dos?

Solución.

domingo, 21 de octubre de 2007

Entre dos fracciones

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) K es un número entero. Encuentra cuál es su valor, sabiendo que K/30 es una fracción que está entre 1/3 y 2/5.

Solución

jueves, 18 de octubre de 2007

Tres cuadrados diferentes

Cuadrados unidos

Cuadrados unidos

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) Tres cuadrados, de lados de longitud 10, 8 y 6 centímetros respectivamente, se colocan uno junto al otro, en secuencia descendente, de forma que sus lados inferiores están sobre una línea recta. Trazamos una línea desde el vértice superior del cuadrado grande opuesto a los otros dos hasta el vértice inferior del cuadrado pequeño, opuesto a los otros (ver imagen). Después, sombreamos todo lo que caiga por encima de esa línea.

a) ¿Cuál es el área de toda la figura?

b) ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

Solución

domingo, 14 de octubre de 2007

Cinco esferas tangentes

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Dos esferas de radio r son tangentes exteriores. Tres esferas de radio R son tangentes exteriores entre sí, cada una tangente a las otras dos. Cada una de estas esferas es, además, tangente exterior a las dos primeras.

Encontrar la relación existente entre R y r.

Solución

jueves, 11 de octubre de 2007

Círculos

Área

Área

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) En el dibujo adjunto, los círculos interiores tienen radio de 1 cm, son tangentes dos a dos y tangentes al círculo exterior. Calcula el área pintada.

Descripción del dibujo: se trata de cuatro círculos centrados en las esquinas de un cuadrado, y un círculo que los rodea a los cuatro, tangente a todos ellos. La parte pintada es la exterior a los dos círculos superiores, entre ellos dos y el externo, junto a uno de los círculos superiores.

Solución

domingo, 7 de octubre de 2007

Comer unos bocadillos

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Unos amigos se juntan para comer y preparan una cierta cantidad de bocadillos. Una vez que los tienen preparados y se sientan a la mesa, se dan cuenta de que si cada uno se comiese 6 bocadillos, sobrarían 5, pero si cada uno intenta comer 7, entonces faltan 8 bocadillos.

Solución

jueves, 4 de octubre de 2007

El peso de la fruta

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) Tres manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 albaricoques. Una pera pesa lo mismo que 6 albaricoques y una manzana. ¿Cuántas manzanas pesa cada pera?

Solución

domingo, 30 de septiembre de 2007

Raíces que suman enteros

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Determinar todos los enteros n tales que la expresión de la imagen siguiente sea entera.

Suma

Suma

Para la descripción de la fórmula, voy a escribir la raíz cuadrada como la función raíz(). La expresión sería raíz(25/2+raíz(625/4-n))+raíz(25/2-raíz(625/4-n)).

Solución

jueves, 27 de septiembre de 2007

Juego de dados

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) En un juego con dados cúbicos normales, se lanzan dos dados y con los número que salen se forma una fracción menor o igual a 1. Pepe afirma que es más fácil que salga una fracción reducible que irreducible, mientras que José dice lo contrario.

¿Quién tiene razón?

Solución

domingo, 23 de septiembre de 2007

Carrera de robots

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Se prueban dos modelos de robots, Chips y Bits, en una carrera en la que han de recorrer 100 metros de distancia y volver al punto de partida. Chips recorre 3 metros en cada salto, y Bits sólo 2 metros, pero Bits bota 3 veces por cada 2 que bota Chips. ¿Quién vuelve antes después de recorrer los 200 metros?

Solución

jueves, 20 de septiembre de 2007

Animales domésticos

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos, entre los que hay 3 perros, el doble de gatos y, además, canarios y loros. En casa de Juana no pueden ver a los perros ni a los loros, pero tienen 4 gatos y dos canarios (con mucho miedo). En casa de Paula sólo hay un perro y dos gatos. En casa de María tienen 3 canarios y otros animales.

¿Qué otros (y cuántos) animales hay en casa de María?

Solución

domingo, 16 de septiembre de 2007

La inecuación

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Se considera la inecuación |x-1| < ax, donde a es un parámetro real.

a) Discutir la inecuación según los valores de a.

b) Hallar los valores de a para los cuales la inecuación tiene exactamente DOS soluciones enteras.

Solución

jueves, 13 de septiembre de 2007

La diana (nivel 2)

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Al lanzar un dardo a una diana como la de la figura, con 12 sectores con valores del 1 al 12 y dos anillos de puntuación especial, se obtienen los puntos de la zona. Si cae en la zona del anillo de doble puntuación, el valor se multiplica por 2, y si cae en la zona del anillo de triple puntuación, se multiplica por tres.

a) ¿Qué puntos del 1 al 36 son imposibles de conseguir?

b) ¿Qué puntuaciones se pueden obtener de dos formas distintas?

c) ¿Qué puntuaciones se pueden conseguir de tres formas distintas?

Diana

Diana

Solución

domingo, 9 de septiembre de 2007

La diana

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Al lanzar un dardo a una diana como la de la figura, con 12 sectores con valores del 1 al 12 y dos anillos de puntuación especial, se obtienen los puntos de la zona. Si cae en la zona del anillo de doble puntuación, el valor se multiplica por 2, y si cae en la zona del anillo de triple puntuación, se multiplica por tres.

¿Qué puntos, del 1 al 36, son imposibles de obtener?

Diana

Diana

Solución

jueves, 6 de septiembre de 2007

Monedas en los bolsillos

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) Roberto tiene 10 bolsillos y 44 monedas de plata. Quiere repartir las monedas en los bolsillos de manera que en cada uno haya un número distinto de monedas. ¿Puede hacerlo?

Solución

domingo, 2 de septiembre de 2007

Fracciones enteras

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Un número positivo x verifica la relación siguiente: x2 + (1/x2) = 7.

Demuestra que el valor x5 + (1/x5) es entero, y calcula su valor.

Solución

jueves, 30 de agosto de 2007

El área de la flecha

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Se quiere pintar una señal como la de la imagen (una flecha dentro de un rectángulo), de forma que el grosor de la flecha (AG) mida 10 cm., la longitud hasta su punta (AB y GF) mida 20 cm., su punta sobresalga (BC y EF) 5 cm., y el ángulo en la punta de flecha (D) sea de 90 grados. El rectángulo que la contiene debe separarse de la flecha (medida de todas las líneas de puntos) 5 cm.

Encuentra el área de la flecha y del rectángulo.

Solución

domingo, 26 de agosto de 2007

Dividiendo el círculo

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Un círculo se puede dividir con un segmento (una línea) en dos partes. Con dos segmentos (o líneas) se puede dividir, como máximo, en cuatro trozos.

a) ¿y con tres segmentos?

b) ¿y con cuatro segmentos?

c) ¿y con cinco segmentos?

d) ¿y con 10 segmentos?

(Siempre pedimos el número máximo de trozos. No tienen que ser iguales.)

Solución

jueves, 23 de agosto de 2007

Monedas atrapadas

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) Queremos poner monedas en un cuadriculado 2x9, de forma que en cada casilla haya una moneda o bien tenga un lado en común con otra casilla en la que haya una moneda. ¿Cuál es el número mínimo de monedas que necesitaremos?

Solución

domingo, 19 de agosto de 2007

Coincidencia de centros

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC.

Calcular los ángulos del triángulo ABC.

Solución

jueves, 16 de agosto de 2007

Alterando un triángulo

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Tomamos un triángulo, se reduce su altura un 10%, y se aumenta la base un 10%.

¿Disminuye, o aumenta el área, y en qué medida lo hace?

Solución

domingo, 12 de agosto de 2007

Equilibra la balanza

Tres balanzas

Tres balanzas

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Se trata de equilibrar la tercera balanza. ¿Que tendrás que poner en el plato, para que se mantenga en equilibrio, como las otras dos?

Solución

jueves, 9 de agosto de 2007

Contar ángulos

Hexágono con diagonales

Hexágono con diagonales

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) ¿Cuántos ángulos de 30 grados hay en esta figura?

Solución

domingo, 5 de agosto de 2007

Promediando coeficientes

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Supongamos que las raíces de la ecuación x2 + a1x + b1 = 0 son x0 y x1. De forma similar, supongamos que las raíces de la ecuación x2 + a2x + b2 = 0 son x0 y x2, y que, en general, las raíces de la ecuación x2 + aix + bi = 0 son x0 y xi hasta un cierto valor n de i.

Calcular, razonadamente, las raíces de la ecuación de segundo grado x2 + ((a1 + a2+ ... + an)/n)x + ((b1 + b2 + ... + bn)/n) = 0.

Solución

jueves, 2 de agosto de 2007

A saltos por el paseo

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Una zona de un paseo tiene baldosas cuadradas. Recorremos de un extremo al otro dando saltos para pisar en una de cada tres baldosas, y a la vuelta, pisando una de cada dos. Si hemos contado en total 100 saltos ¿Cuántas baldosas forman esa fila en el paseo?

Solución

domingo, 29 de julio de 2007

Área a partir del perímetro

cuadrado dividido

cuadrado dividido

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Un cuadrado queda dividido en tres rectángulos iguales al trazar dos rectas paralelas a uno de los lados, como se ve en la figura. Si el perímetro de cada uno de los rectángulos es 24 ¿cuánto vale el área del cuadrado?

Solución

jueves, 26 de julio de 2007

El campamento de verano

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) En un campamento de verano hay 96 jóvenes que se han de repartir en grupos, de forma que en cada grupo haya el mismo número de personas. ¿De cuántos tamaños diferentes pueden ser los grupos, teniendo en cuenta que deben tener más de 5 pero menos de 20 jóvenes?

Solución

domingo, 22 de julio de 2007

Área descubierta

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Se da un triángulo rectángulo isósceles ABC, con el ángulo recto en C, y los catetos de longitud 2. Un arco de círculo l con centro A divide al triángulo en dos partes de la misma área, mientras que el arco de círculo m con centro en B es tangente al arco l en un punto de la hipotenusa AB.

Hallar el área de la porción del triángulo no cubierta por los sectores circulares correspondientes a los dos arcos.

Solución

viernes, 20 de julio de 2007

Operaciones

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Este problema tiene dos partes.

a) Calcula el resultado de la operación siguiente:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 =

b) Para numerar las páginas de un libro son necesarios 2989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Solución

domingo, 15 de julio de 2007

El dinero de Iván

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Según un antiguo cuento ruso, Iván "el perezoso" se encontraba un día paseando a la orilla de un río.

-Todo el mundo me dice que me busque un trabajo o que me vaya al infierno -suspiró-. No creo que ninguna de las dos cosas me ayude a hacerme rico.

Tan pronto como acabó de decirlo se le apareció el diablo en persona.

-¿Quieres ganar dinero, Iván? -le preguntó.

Iván asintió.

-Muy bien -continuó el diablo- ¿ves ese puente? Todo lo que has de hacer es cruzarlo. Cada vez que vayas de una parte a otra, se duplicará el valor de lo que lleves en el bolsillo.

A Iván le gustó la propuesta, y ya se dirigía hacia el puente, cuando el diablo lo detuvo.

-Un momento -le dijo-. Ya que me he mostrado tan generoso contigo, creo que me merezco una pequeña recompensa por mis esfuerzos. Deberás darme 8 rublos (moneda rusa) cada vez que cruces el puente.

Iván se apresuró a asentir. Cruzó el puente y metió su mano al bolsillo. Su dinero se había duplicado por arte de magia. Le lanzó 8 rublos al diablo, que esperaba al otro lado del río, y volvió a cruzar el puente. Otra vez volvió a multiplicar su dinero. Le pagó otros 8 rublos al diablo, y cruzó por tercera vez el puente. Y el dinero volvió a duplicarse. Pero, al contarlo, descubrió que sólo le quedaban 8 rublos, que hubo de entregar al diablo, con lo que se quedó sin dinero para multiplicar cada vez que cruzara el puente. El diablo recogió el dinero, y desapareció en medio de una sonora carcajada.

¿Cuanto dinero tenía Iván en el bolsillo cuando hizo su particular pacto con el diablo?

Solución

jueves, 12 de julio de 2007

Sudoku

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Resuelve el siguiente sudoku:

Solución

domingo, 8 de julio de 2007

Doblando un cuadrado

(I Concurso del IES Miguel Hernández) En el cuadrado de papel (que tiene de lado tres unidades) ABCD de la figura se ha buscado un punto E situado sobre el lado DC (que dista una unidad de D). Y se ha doblado el cuadrado de papel de forma que A pase a coincidir con E. En estas circunstancias, se forman tres triángulos que sólo están formados por una capa de papel. Demuestra que el perímetro del triángulo mayor es la suma de los perímetros de los otros dos, y que vale la mitad que el perímetro del cuadrado (teorema de Haga).

Cuadrado doblado

Cuadrado doblado

Solución

jueves, 5 de julio de 2007

Edades para ir de fiesta

(I Concurso del IES Miguel Hernández) La media de edad de una fiesta coincide, casualmente, con el número de personas que asisten. En un momento determinado de la noche acude a la fiesta una persona que tiene 29 años y (oh, sorpresa) la media de edad de la fiesta sigue coincidiendo con el número de personas que asisten. ¿Cuántas personas había en la fiesta (antes de que llegara el último visitante)?

Solución

domingo, 1 de julio de 2007

Los elefantes del circo

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Un experto domador de elefantes de un circo tarda 40 minutos en asear uno de estos enormes paquidermos. Su hija, que le ayuda en la tarea, aún tiene mucho que aprender, y tarda 2 horas en asear cada elefante del que se ocupa. Trabajando entre los dos ¿cuánto tardarán en asear la manada del circo, compuesta por 6 elefantes? ¿cuántos elefantes habrán limpiado al final cada uno?

Solución

jueves, 28 de junio de 2007

La carrera

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) En una carrera, un espectador observo que dos corredores llegaron después que otro, que dos corredores llegaron antes que otro, y que un corredor llegó en medio de dos corredores. ¿Cuál es el mínimo número de corredores que deben participar para que se dé esta situación?

Solución

domingo, 24 de junio de 2007

Reuniones de amigos

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Siete personas se reúnen cada noche sentados en una mesa circular. ¿Es posible llegar a reunirse tres veces sin que ningún par de personas de las siete se hayan sentado dos veces juntas?

Solución

jueves, 21 de junio de 2007

Tres círculos y un rectángulo

(I Concurso del IES Miguel Hernández) En el dibujo de este problema, los lados verticales del rectángulo son radios de las circunferencias grandes, las tres circunferencias son tangentes entre sí y la circunferencia pequeña es tangente a los lados horizontales del rectángulo. Suponiendo que el lado vertical mide una unidad ¿cuánto mide el lado horizontal del rectángulo?

rectángulo y círculos tangentes

rectángulo y círculos tangentes

Solución

domingo, 17 de junio de 2007

Triángulo relleno de números

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Sitúa en los círculos de la figura los números siguientes: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 7 y 8, de forma que el producto de los vértices de cada triángulo da como resultado el número que hay en su interior.

triángulo numérico

triángulo numérico

Solución

jueves, 14 de junio de 2007

Los rectángulos

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) ¿Cuántos rectángulos hay en cada una de las figuras siguientes?

muchos rectángulos

muchos rectángulos

Solución

domingo, 10 de junio de 2007

Primos con cifras repetidas

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Responde de forma razonada:

¿Cuántos números primos de dos cifras tienen las dos cifras iguales?

¿Cuántos números primos de tres cifras tienen las tres cifras iguales?

¿Cuántos números primos de cuatro cifras tienen las cuatro cifras iguales?

¿Cuántos números primos de cinco cifras tienen las cinco cifras iguales?

¿Cuántos números primos de seis cifras tienen las seis cifras iguales?

Solución

jueves, 7 de junio de 2007

Familias cariñosas

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Dos familias numerosas se encuentran paseando por el parque. Para saludarse, según su costumbre, cada hombre de una de las familias le da un abrazo a cada hombre de la otra, y cada mujer de una de las familias besa a cada persona (sea hombre o mujer) de la otra. Si en total se dan 35 abrazos y 42 besos ¿puedes decir cuántos hombres y mujeres hay en las dos familias?

Solución

domingo, 3 de junio de 2007

Numeros con palillos

(I Concurso del IES Miguel Hernández) En los paneles de cristal líquido de muchas calculadoras antiguas puedes encontrar los números construidos mediante pequeños “palitos”, como los que aparecen en la figura siguiente:

dígitos

Tomemos esos números como modelos. Si los tuvieses que dibujar con palillos ¿Cuál es el número más pequeño que necesita para dibujar todas sus cifras exactamente 50 palillos?

Nota: Los ceros a la izquierda no son necesarios, es decir, no se deben usar para conseguir que el número sea más pequeño.

Solución

jueves, 31 de mayo de 2007

El número

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Busca un número de cuatro cifras, en el que la primera es el número de jugadores de un equipo de baloncesto, la segunda y la tercera son la primera multiplicada por tres, y la última la suma de la segunda y la tercera.

Solución

domingo, 27 de mayo de 2007

La cadena blanca y negra

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Ensartamos en una cadena abierta 12 bolas blancas y 12 negras. Demuestra que, se haga como se haga, siempre podemos cortar un trozo de cadena con 12 bolas de forma que 6 son blancas y 6, negras.

Solución

jueves, 24 de mayo de 2007

La fábrica de bicicletas

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Una empresa produce semanalmente 300 bicicletas de montaña que vende íntegramente al precio de 600 euros cada una. Tras un análisis de mercados observa que si varía el precio, también varían sus ventas (de forma continua) según la siguiente proporción: por cada 7 euros que aumente o disminuya el precio de sus bicicletas, disminuye o aumenta la venta en 3 unidades.

¿Puede aumentar el precio y obtener mayores ingresos?

¿A qué precio los ingresos serán máximos?

Razona tu respuesta.

Solución

domingo, 20 de mayo de 2007

El parque zoológico

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Quince osos comen tanta cantidad de comida como 150 monos de un parque zoológico. Por otra parte, hacen falta 100000 musarañas para comerse lo que se comerían entre sólo 50 monos y entre dieciséis osos comen lo mismo que diez elefantes. ¿Cuántas musarañas hacen falta para comer lo mismo que catorce elefantes?

Explica cómo obtienes el resultado.

Solución

jueves, 17 de mayo de 2007

Las edades

(fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Mi tío Carlos es actualmente cuatro veces mayor que su hija Irene, pero haces tres años era cinco veces mayor ¿qué edad tiene Irene? ¿Y mi tío Carlos, qué edad tiene?

Solución

sábado, 12 de mayo de 2007

Triángulos isósceles en un polígono

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Si tenemos un polígono regular de siete lados, pintamos tres de sus vértices de un color y el resto de otro y contamos cuántos triángulos isósceles se pueden trazar usando vértices que tengan el mismo color ¿depende de la forma en que los pintemos?

¿Sucede lo mismo en un polígono de seis lados?

Solución

jueves, 10 de mayo de 2007

El área entre dos círculos

Círculos tangentes interiores

Círculos tangentes interiores

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Se trata de calcular el área sombreada en la figura, comprendida entre dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que su parte más ancha (diferencia entre los diámetros verticales, eje de simetría de la figura) mide 36 metros y la otra longitud, que se mide sobre el diámetro horizontal de la circunferencia mayor, mide 20 metros.

Solución

domingo, 6 de mayo de 2007

Detective novata

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Una detective novata está investigando a seis vecinos que viven en una urbanización, tres a cada lado de la calle. Tras mucho tiempo de observación, repasa las pistas que ha anotado:

1. La puerta azul está al lado del panadero y éste vive enfrente del Sr. Ramírez.

2. El Sr. Fernández vive en una esquina, enfrente de la puerta verde y está al lado de la del conductor de autobuses.

3. El Sr. Cuesta vive enfrente del policía y al lado del Sr. García.

4. El Sr. García vive entre el profesor y el Sr. Serrano.

5. El médico vive en la misma acera que el policía.

6. El Sr. Vázquez vive al lado de la puerta negra.

7. El Sr. Serrano vive enfrente de la puerta amarilla.

8. La puerta del cartero es azul.

9. El policía vive al lado del conductor de autobús y su puerta es marrón.

10. El Sr. Ramírez vive enfrente de la puerta roja y al lado del médico.

Trata de deducir a partir de aquí la respuesta a las dos preguntas siguientes:

a) ¿De qué color es la puerta del Sr. Vázquez?

b) ¿En qué trabaja la persona que vive en la casa de la puerta negra?

Solución

jueves, 3 de mayo de 2007

Seis vasos

Seis vasos

Seis vasos

(fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Tenemos seis vasos alineados dispuestos de forma que hay tres llenos de agua primero y luego tres vacíos. Se trata de que, moviendo sólo un vaso, los dejes de forma que la serie sea lleno - vacío - lleno - vacío - lleno - vacío.

Solución

lunes, 30 de abril de 2007

Enlaces sobre matemáticas

Esta colección de enlaces no pretende ser, ni mucho menos, exhaustiva. Cualquiera que busque por Internet encontrará cientos de páginas que traten sobre este tema. Esto no es más que una breve lista de las páginas que habitualmente visito. Si ven errores, o tienen sugerencias, escriban un comentario en esta entrada (vean las instrucciones).

sectormatematica.cl Es una página chilena mantenida por Danny Perich Campana con muchas secciones dedicadas a las matemáticas. Entre ellas, merece la pena destacar la dedicada a olimpiadas, donde podemos encontrar numerosos enlaces y problemas.

Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana Se trata de la página oficial de esta sociedad. No contiene mucha información, pero sí enlaces a contenidos interesantes. Esta sociedad edita una revista de problemas de la que extraigo mucha información útil, y convoca y organiza las Olimpiadas de Matemática de primaria y secundaria en sus fases iniciales (comarcal, provincial y autonómico).

Gaussianos Blog muy original, con contenido variado sobre matemáticas. Publican curiosidades, noticias de actualidad y pequeños problemas. Tiene bastante participación de los lectores, que con frecuencia proponen soluciones y variantes en los comentarios. Es muy recomendable visitarlo frecuentemente, por su gran actividad.

Olimpiada Matemática Española Página dedicada a la Olimpiada Matemática Española (de Bachillerato). Imprescindible si te gusta resolver problemas. Se publican los problemas de las últimas ediciones del concurso y los ganadores. Encuentro a faltar la participación española en las ediciones internacionales.

Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas Página algo desorganizada y poco actualizada donde podéis encontrar información sobre esta competición para alumnos de bachillerato y equivalentes. Cuesta bastante encontrar resultados y problemas de los últimos años, a pesar de lo cual resulta muy recomendable.

Geometría con Cabri II Página creada por mi amigo Jose Antonio Mora. Muchos contenidos interesantes, fundamentalmente relacionados con la geometría.

Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas Página oficial de esta sociedad. No hay muchos contenidos en lo relativo a problemas de matemáticas, pero podemos encontrar enlaces a todas las sociedades sobre el tema y a las convocatorias de concursos de ámbito nacional.

El paraíso de las matemáticas Página dedicada a las matemáticas en todas sus variantes, donde podemos encontrar información muy variada. En los últimos meses no ha habido muchas mejoras, pero la cantidad de información merece la pena.

domingo, 29 de abril de 2007

Poniendo baldosas

Patio 1

Patio 1

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Quiero poner baldosas rectangulares, de un metro por medio metro de tamaño, en mi patio, tapando las actuales. El patio es un cuadrado de dos metros y medio de lado, al que le falta el cuadrado de medio metro central, porque hay una columna (ver dibujo Patio 1). ¿De cuántas formas distintas se puede hacer, sin partir las baldosas?

Patio 2

Patio 2

En el patio de mi abuela, que es muy similar, el cuadrado le falta en el sitio indicado en el dibujo Patio 2. ¿Se podría embaldosar sin romper una baldosa?

Nota: Diremos que dos decoraciones con baldosas de las indicadas son iguales si son simétricas, o si al girar el punto de vista (dar la vuelta al patio) en una de ellas vemos la otra.

Solución

jueves, 26 de abril de 2007

Cubos de colores

cubo en blanco

cubo en blanco

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Vamos a pintar cubos (la figura matemática representada en la imagen) con las siguientes condiciones:

Usamos sólo tres colores.

Cada cara sólo puede pintarse de un único color.

Todos los cubos tienen dos caras de cada uno de los tres colores.

No podemos hacer dos cubos iguales.

¿Cuántos cubos podremos pintar, como máximo?

Mucho cuidado, que hay cubos que parecen diferentes, pero al darle vueltas podemos descubrir que realmente son iguales.

Solución

domingo, 22 de abril de 2007

Pintar triángulos

Triángulos

Triángulos

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Pretendemos pintar el triángulo que ves a la derecha de estas líneas usando dos colores, pintando tres de los triangulitos que lo forman de color oscuro y dejando seis de color claro. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?

Ten en cuenta que dos figuras que, al girar el plano en que están, coinciden, son iguales, aunque parezcan diferentes.

Nota: sí se pueden pintar del mismo color triángulos que estén juntos.

Solución

jueves, 19 de abril de 2007

Dos series

(fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Trata de continuar con un nuevo elemento las siguientes series de números, explicando la elección del número.

Primera serie: 1 - 2 - 4 - 7 - 11 - 16

Segunda serie: 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21

Solución

lunes, 16 de abril de 2007

Potencias que se dividen

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Busca, razonadamente, dos números a y b, de forma que:

a divide a b2

b2 divide a a3

a3 divide a b4

b4 divide a a5

pero a5 no divide a b6

Solución

domingo, 15 de abril de 2007

Extrañas monedas (nivel 2)

(I Concurso del IES Miguel Hernández) En un remoto país, utilizan una curiosa forma de pago. Su moneda de curso legal no existe. Bueno, sí que tiene nombre, el Miguelhernandio, pero no existen monedas que valgan un solo miguelhernandio. En realidad, sólo existen monedas de 10, de 12 y de 15 miguelhernandios. Sin embargo, la gente de ese país se las arregla perfectamente para realizar cualquier pago con monedas, debido a que están muy acostumbrados.

¿Serías tú capaz de pagar cantidades como tres, siete u once miguelhernandios?

Explica como pagarán las cantidades entre uno y seis miguelhernandios usando la menor cantidad posible de monedas.

¿Podrán pagar con esas monedas cualquier cantidad? Razona tu respuesta.

Solución

martes, 10 de abril de 2007

Instrucciones

Leer un blog es una tarea bastante sencilla. Este blog sólo tiene la peculiaridad de que sus entradas son problemas, pero aún así, hay mucha gente que no se aclara con el uso que le puede dar a esta página. Paso a detallar algunas cosas que se pueden hacer y cómo se hacen.

Categorías de problemas

Todos los problemas están clasificados en cuatro categorías, que podemos encontrar al final del problema: primaria (12 años o menos), primer ciclo de secundaria (12-14 años), segundo ciclo de secundaria (14-16 años) y bachillerato (16-18 años). A veces la clasificación no es muy precisa.

Podemos ver las últimas entradas de una categoría determinada, pulsando sobre su nombre (a la derecha, donde pone "Etiquetas"). También he añadido unos atajos en los enlaces.

¿Hay soluciones?

En cada problema hay o habrá una solución. Se puede encontrar si se sigue el enlace "Solución". Si aparece "Solución: próximamente" es que aún no tiene una solución "oficial". Puedes ir escribiendo la tuya propia, y después añadirla en los comentarios.

Añadir comentarios

Me gustaría ver opiniones de la gente que pasa por aquí. Al final de cada entrada (pulsa en el título de la entrada), aparecen los comentarios. No es necesario suscribirse ni dejar dato ninguno para poner un comentario, basta seguir el enlace llamado "Publicar un comentario en la entrada".

Puede que pase un cierto tiempo hasta que lo autorice. He de tener cierto control sobre lo que se dice. Si publicas algo personal, advierte que sólo es para mí y lo borraré antes de que otras personas lo vean.

Los problemas antiguos

Cuando miramos la página de entrada, o la de una categoría determinada, sólo se nos muestran las últimas ocho entradas. Para ver los anteriores, hemos de acudir al final de la página y pulsar sobre el texto que dice "Entradas antiguas".

Suscribrse

Si no sabes qué es la sindicación de contenidos, tal vez no la necesites. Pero si quieres estar al día de lo que se publica aquí, lee algo al respecto.

El RSS de esta página aparece enlazado en el menú de la derecha.

lunes, 9 de abril de 2007

Las piezas

flecha con círculos

flecha con círculos

(fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Moviendo sólo tres piezas de la figura, haz que apunte hacia abajo.

Solución

domingo, 8 de abril de 2007

Extrañas monedas

(I Concurso del IES Miguel Hernández) En un remoto país, utilizan una curiosa forma de pago. Su moneda de curso legal no existe. Bueno, sí que tiene nombre, el Miguelhernandio, pero no existen monedas que valgan un solo miguelhernandio. En realidad, sólo existen monedas de 10, de 12 y de 15 miguelhernandios. Sin embargo, la gente de ese país se las arregla perfectamente para realizar cualquier pago con monedas, debido a que están muy acostumbrados.

¿Podran pagar cantidades como 6, 9 o 17 miguelhernandios? ¿Cómo lo harán?

Solución

sábado, 7 de abril de 2007

La fiesta de cumpleaños

(fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Belén invitó a diecisiete amigos a su fiesta de cumpleaños.

A cada uno les asignó un número del 2 al 18, reservándose el 1 para ella.

Cuando todos estaban bailando, se dió cuenta de que la suma de los números de cada pareja era un cuadrado perfecto.

¿Adivinas cuál era el número de la pareja de Belén?

Solución

viernes, 6 de abril de 2007

Sudoku

sudoku

sudoku

(fase comarcal de la XVII Olimpiada Matemática) Resuelve el siguiente sudoku:

Solución

jueves, 5 de abril de 2007

Las edades de las hijas de Alicia

(fase comarcal de la XVII Olimpiada Matemática) Alicia es madre de cuatro hijas. La mayor tiene cuatro años más que la segunda, que es cuatro años mayor que la tercera, la cual tiene cuatro años más que la cuarta. Esta última tiene la mitad de años que la hija de mayor edad.

¿Cuántos años tiene cada una?

Solución

miércoles, 4 de abril de 2007

Los triángulos

pentagono estrellado

pentagono estrellado

(fase comarcal de la XVII Olimpiada Matemática) ¿Cuántos triángulos hay en este pentágono?

Solución

martes, 3 de abril de 2007

La diana

(fase comarcal de la XVII Olimpiada Matemática) María, Albert y Jaume están jugando a la diana. A todos les queda sólo un dardo por tirar. Jaume tiene 200 puntos, Albert 50 puntos y María 150 puntos. Teniendo en cuenta que todos los jugadores obtienen puntos con el último dardo, completa la tabla siguiente y contesta:

50 100 200
Jaume (200 puntos)
Albert (50 puntos)
María (150 puntos)

a) ¿Puede perder María?

b) ¿Puede ganar Albert?

c) ¿Puede perder Jaume?

Solución

lunes, 2 de abril de 2007

El regalo

(fase comarcal de la XVII Olimpiada Matemática) Cristina, Gloria y Aitana fueron juntas a comprar un regalo de cumpleaños. Cristina llevaba 100€ y pagó el regalo que costaba 84€. Repartieron el gasto en partes iguales. Gloria le dió a Cristina su parte. Aitana sólo le dió la mitad de su parte. ¿Cuánto dinero le quedó a Cristina?

Solución

domingo, 1 de abril de 2007

Una serie de raíces

serie

serie

(sectormatematica.cl) Calcula el resultado de la suma de la imagen. Por si no se viera bien, se trata de sumar una serie de fracciones, en la que los numeradores siempre valen 1, y los denominadores son una suma de raíces cuadradas. El primer denominador es la raíz de uno más la raíz de dos, el segundo es raíz de dos más la raíz de tres, el tercero la raíz de tres más la raíz de cuatro y así sucesivamente, hasta llegar al último denominador, que es raíz de 99 más la raíz de cien. En total hay noventa y nueve sumandos en la suma.

Solución

sábado, 31 de marzo de 2007

Triángulos enteros

(sectormatematica.cl) ¿Cuántos triángulos hay de hasta 12 cm de perímetro con las unidades de sus lados todas enteras?

¿Cuál de todos los que tienen de perímetro 12 crees tú que es el de mayor área? Explícalo.

Solución

viernes, 30 de marzo de 2007

Escasez de relojes de arena

(sectormatematica.cl) ¿Cómo medirías 12 minutos, si sólo dispones de un reloj de arena de 15 minutos y otro de 9 minutos?

Solución

jueves, 29 de marzo de 2007

Mago busca puerta

Un mago bastante torpe ha oído hablar del problema número 2, y quiere guardar su tesoro con un sistema parecido. Dispone de cuatro trolls sirvientes, y quiere darles llaves de su tesoro de forma que cuando se junten tres cualesquiera de ellos, pueda abrirse la cámara, pero si sólo se juntan dos no se pueda. ¿Cuántas cerraduras deberá poner, como mínimo, y cuántas llaves deberá darle a cada troll?

Solución

miércoles, 28 de marzo de 2007

Cuboctaedro

cuboctaedro

cuboctaedro

(sectormatematica.cl) Si cortamos las esquinas de un cubo por la mitad de las aristas obtenemos un poliedro llamado cuboctaedro. Si la arista del cubo mide 6 cm:

a) Calcular su área.

b) Calcular su volumen.

Solución

martes, 27 de marzo de 2007

Jugando con ventaja

(sectormatematica.cl) Tenemos tres dados con las caras pintadas: uno con tres caras azules y tres caras verdes, otro con dos caras azules y cuatro verdes y el tercero con todas las caras verdes.

El juego consiste en lanzar dos dados (uno tú y otro yo): si las caras son del mismo color ganas tú y si salen de distinto color gano yo. Si yo elijo para lanzar el dado de las tres caras verdes y tres caras azules, ¿qué dado elegirías tú?

Solución

lunes, 26 de marzo de 2007

Cuadrado perfecto

(sectormatematica.cl) Verificar que la siguiente igualdad es cierta:

1 + 3 + 5 +... + (2n-1) = n2

Solución

domingo, 25 de marzo de 2007

Treinta denarios en cinco piezas

(sectormatematica.cl) Un hombre tomó una posada por treinta días, por el precio de un denario cada día. Este huésped no tenía dinero, sino cinco piezas de plata, que entre todas ellas valían treinta denarios. Con estas piezas pagaba cada día la posada y no le quedaba debiendo nada a la posadera, ni ella a él.

¿Puedes decir cuántos denarios valía cada pieza y cómo se pagaba con ellas?

Solución

sábado, 24 de marzo de 2007

El alfarero hace botijos

(Olimpiada 2005, fase provincial) Un alfarero recibe el encargo de hacer una cierta cantidad de botijos en un plazo determinado. Si hace 25 cada día, faltarían 15 al acabar el plazo, pero si hace 26, sobrarán 8 al final del plazo. ¿Cuál es el plazo y cuántos los botijos?

Solución

viernes, 23 de marzo de 2007

Los triángulos del cuadrado

(Olimpiada local 2005)En el interior del cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero ABE. Sea P el punto de intersección de las rectas AC y BE. Sea F el punto simétrico de P respecto de la recta DC. Se pide demostrar que:

a) El triángulo CEF es equilátero.

b) el triángulo DEF es rectángulo e isósceles.

c) el triángulo BDF es isósceles.

d) el triángulo PDF es equilátero.

solución

jueves, 22 de marzo de 2007

El peso de la moneda falsa

En una urna hay 1000 monedas. Todas son exactamente iguales, excepto una, que es falsa y pesa distinto de las otras. Disponemos de una balanza de precisión. ¿Puedes, con sólo dos pesadas, determinar si la moneda falsa pesa más o pesa menos que las otras?

Solución

miércoles, 21 de marzo de 2007

El área de la luna

luna

Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que el cuadrado tiene de lado 1 decímetro.

Solución

martes, 20 de marzo de 2007

El tesoro de los gnomos

(Olimpiada local 2006) En el sótano de un castillo, 7 gnomos custodian su tesoro. El tesoro se guarda tras 12 puertas. Cada una de las puertas tiene 12 cerraduras. Todas las cerraduras son distintas. Los gnomos disponen de llaves para que tres cualesquiera de ellos puedan abrir todas las puertas. Demuestra que entre todos los gnomos tienen, al menos, 336 llaves.

Solución

lunes, 19 de marzo de 2007

Ventana con círculos

ventana

Una ventana cuadrada de dos metros de lado tiene dibujados cuatro círculos iguales y tangentes entre sí y a los costados (como se ve en la figura). Calcula el área comprendida entre los cuatro círculos.

Solución

domingo, 18 de marzo de 2007

Un viajante precavido

Un viajante recorre en coche 5000 kilómetros cambiando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufran el mismo desgaste. ¿Cuántos kilómetros recorre cada rueda?

Solución

sábado, 17 de marzo de 2007

El cuadrilátero inscrito y circunscrito

(Preparación oficial) Sobre una circunferencia se dan tres puntos A,B,C . Construir con regla y compás un cuarto punto D de modo que en el cuadrilátero ABCD se pueda inscribir otra circunferencia.

Solución

viernes, 16 de marzo de 2007

Siete veces sus cifras

Encuentra todos los números de dos cifras que tengan la siguiente propiedad: cuando se dividen por la suma de sus cifras, el cociente es siete.

Solución

jueves, 15 de marzo de 2007

El dinero de María

María se ha quedado sin dinero, pero tiene 500 euros depositados en un banco. Tan solo están permitidas dos operaciones bancarias: retirar 300 euros o ingresar 198. Estas operaciones se pueden repetir tantas veces como se quiera, pero en ningún momento pueden retirarse más dinero del que haya en la cuenta. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que Maria puede extraer de su cuenta? ¿Cómo lo puede conseguir?

Solución