jueves, 27 de enero de 2011

Zona sombreada

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Área sombreada

Área sombreada

Encuentra el área de la zona sombreada.

Por si no ves la figura, se trata de encontrar el área dentro de la unión de tres cuadrados, de lados 4, 3 y 1 centímetros, unidos en ese orden y con la cara inferior alineada, que está por encima de la línea que une la esquina superior más alejada del cuadrado grande con la esquina inferior más alejada del más pequeño.

Solución

domingo, 23 de enero de 2011

Sorpresa en un decágono

Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

En un circulo de radio r inscribimos el decágono regular de vértices A1, A2, A3, ..., A10.

Denotamos como |Ai Aj| la longitud del segmento AiAj.

Demuestra que |A1 A4| − |A1 A2| = r.

Solución

viernes, 21 de enero de 2011

Cruzar el río

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Doce soldados (cuatro romanos, cuatro cartagineses y cuatro griegos) se encuentran en una orilla del río Tíber y necesitan pasar a la otra orilla, para lo cual deben utilizar una barca pequeña en la que caben como máximo tres personas.

Si todos los soldados saben remar, ¿qué movimientos han de efectuar para cruzar el río, teniendo en cuenta que, por razones obvias, no debe existir mayor número de romanos que de cartagineses, o de cartagineses que de griegos, en cualquier orilla o en la barca durante el desplazamiento?

Solución

domingo, 16 de enero de 2011

Una aproximación

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Aproximación de medio arco

Aproximación de medio arco

Observa la siguiente forma de aproximar la longitud de una circunferencia:

1. Sobre una línea recta cualquiera llevamos el segmento AB de longitud r (radio de la circunferencia a rectificar)

2. Por B trazamos una perpendicular a la recta anterior y sobre ella determinamos C de manera que BC = AB

3. Por C trazamos una perpendicular a la recta AC y sobre ella determinamos E de manera que CE = AB

4. Con centro en A y radios AE y AC trazamos dos arcos de circunferencia que cortan en I y H a la recta AB

El segmento IH es aproximadamente la mitad de la longitud de una circunferencia de radio AB.

¿Con cuánta aproximación?

(recuerda que el valor de ¶ con diez cifras decimales exactas es ¶ = 3,1415926535 ...)

Solución

jueves, 13 de enero de 2011

Casualidades

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Dos amigos mantienen la conversación siguiente:

"Mi abuelo nació el primer día de un año que era un cuadrado perfecto. Mi primo Toni también nació un primero de enero, y dentro de 15 años, el cuadrado de su edad coincidirá con el año. ¿Sabrías decir la edad actual de mi abuelo y de mi primo?"

"Espera que piense. ¡Pero si es muy fácil! Ya lo tengo, la respuesta es.."

Solución

domingo, 9 de enero de 2011

2010 cartas

Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Tenemos 2010 cartas numeradas de 1 a 2010.

Demuestra que si tomamos 11 cartas cualquiera, hay entre esas 11 dos (numeradas i y j), que cumplen la condición i < j ≤ 2i.

Solución

viernes, 7 de enero de 2011

Cuarto de círculo

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Divide un círculo en cuatro partes concéntricas de igual área.

Encuentra la relación entre los radios.

Solución

miércoles, 5 de enero de 2011

Concurso de trabajos para secundaria

Me notificado la existencia de un concurso muy interesante para alumnos de secundaria, tanto para los que quieran participar, como para aquellos aficionados a la matemática que quieran aprender cosas nuevas leyendo los trabajos ganadores de pasadas ediciones.

Se trata del Premio para Estudiantes de Secundaria que convoca el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid.

En la misma página donde se convoca este concurso podéis encontrar las reglas de participación y los trabajos premiados en años anteriores.

Debes inscribir a tu grupo de trabajo (entre 2 y 5 personas, más al menos un profesor tutor) antes del 28 de enero de este año, y presentar el trabajo en formato electrónico antes del 30 de abril, y el póster antes del 15 de mayo.

Por último, recordar que ya está convocada la Fase Local de Alicante de la Olimpiada Matemática Española, pero que ha cambiado su página, así que me ha costado un poco darme cuenta. Como ya suponía, comenzará el sábado 22 de enero a las 9:30, en la Facultad de Ciencias.

lunes, 3 de enero de 2011

Barriendo el parque

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Esquema del parque

Esquema del parque

El esquema del dibujo corresponde a los caminos de un parque. Cada punto es un lugar interesante, cada línea es un camino y los números son las longitudes en metros.

El jardinero del ayuntamiento, que empieza la tarea de barrer todos los caminos diariamente a partir del punto H en el que se guarda la máquina de barrer, se plantea si será posible recorrer todos los caminos sin pasar dos veces por el mismo camino. ¿Puedes ayudarle?

Intenta determinar cuál es el recorrido óptimo (de menor distancia) que permite empezar desde H, limpiar todos los caminos y volver de nuevo a H.

Solución