domingo, 23 de enero de 2011

Sorpresa en un decágono

Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

En un circulo de radio r inscribimos el decágono regular de vértices A1, A2, A3, ..., A10.

Denotamos como |Ai Aj| la longitud del segmento AiAj.

Demuestra que |A1 A4| − |A1 A2| = r.

Solución

4 comentarios:

Anónimo dijo...

sóc ricard peiró una altra vegada.
Acabe de veure les solucions oficials del problema i la meua és distinta.

Pot ser t'interessa!

David dijo...

Este problema se puede resolver de tres maneras; gráficamente, algebraicamente y por propiedades geométricas. Como de geometría voy escaso voy a proponer soluciones del primer y segundo tipo.


Gráficamente:

Partimos del polígono de 10 caras.
Trazamos una recta que pase por A1 y A4
Tazamos un círculo con centro en A1 y radio |A1 A2|
Se crea una intersección dentro del polígono que llamamos P
Trazamos un círculo con centro en A4 y radio |A4 P|

Este círculo pasa por el centro del polígono y necesariamente se demuestra que |A1 A4| − |A1 A2| = r.


Algebraicamente:

Primero calculamos |A1 A2|, dividimos el polígono en 10 triángulos iguales tal que:
A= r , B=r , γ=π/5=36º

Calculamos C por el teorema del coseno:
c^2=a^2+b^2-2ab•cos(π/5)

c^2=r^2+r^2-2•r•r•(5^(1/2)/4+1/4)
c^2=2r^2-2r^2•(5^(1/2)/4+1/4)
c^2=r^2•(3/2-5^(1/2)/2)
c=r•(3/2-5^(1/2)/2)^(1/2)

Ahora calcularemos |A1 A4| de manera análoga, ya que el ángulo es 3 veces mayor en este caso obtendremos un triángulo tal que:
A= r , B=r , γ=4π/5=144

Aplicamos de nuevo el teorema del coseno:
c^2=r^2+r^2-2•r•r•(-5^(1/2)/4-1/4)
c^2= r^2•(3/2+5^(1/2)/2)
c=r•(3/2+5^(1/2)/2)^(1/2)

Ahora tenemos las longitudes de |A1 A4| y |A1 A2|, restamos:

x=r•(3/2+5^(1/2)/2)^(1/2)- r•(3/2-5^(1/2)/2)^(1/2)
x=r•((3/2+5^(1/2)/2)^(1/2)- (3/2-5^(1/2)/2)^(1/2))
x=r•(1)
x=r

Como |A1 A4|-|A1 A2|=r, queda demostrado el enunciado.

David dijo...

Una errata.
en la solución que he propuesto, aparece como valor del ángulo del 2º triángulo 4pi/5, cuando debería ser 3pi/5.

También el valor del coseno, que pone (-5^(1/2)/4-1/4) cuando debería ser (1/4-5^(1/2)/4).


El resto creo que está bien, lo he copiado de las 100.000 +-2 hojas que he usado y se me ha traspapelado un poco...

noticias dijo...

guaaa!! me encanta el blog, siempre encuentro temas muy interesantes.