domingo, 16 de enero de 2011

Una aproximación

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Aproximación de medio arco

Aproximación de medio arco

Observa la siguiente forma de aproximar la longitud de una circunferencia:

1. Sobre una línea recta cualquiera llevamos el segmento AB de longitud r (radio de la circunferencia a rectificar)

2. Por B trazamos una perpendicular a la recta anterior y sobre ella determinamos C de manera que BC = AB

3. Por C trazamos una perpendicular a la recta AC y sobre ella determinamos E de manera que CE = AB

4. Con centro en A y radios AE y AC trazamos dos arcos de circunferencia que cortan en I y H a la recta AB

El segmento IH es aproximadamente la mitad de la longitud de una circunferencia de radio AB.

¿Con cuánta aproximación?

(recuerda que el valor de ¶ con diez cifras decimales exactas es ¶ = 3,1415926535 ...)

Solución

1 comentario:

David dijo...

Vamos a calcular aplicando un valor unitario a la longitud del segmento AB

|AB|=1

Al crear el punto C obtenemos que:

|BC|=1

Como los segmentos AB y BC forman los catetos de un triángulo rectángulo, el segmento AC medirá:

|AC|=(1^2+1^2)^(1/2)=(1+1)^(1/2)=2^(1/2)

Al trazar el punto E, creamos un nuevo triángulo rectángulo, de catetos |AB|=1 y |AC|=2^(1/2)
Por lo que el segmento AE medirá:

|AE|=(1^2+(2^(1/2))^2)^(1/2)=(1+2)^(1/2)=3^(1/2)

Al trazar los últimos arcos obtenemos que |AC|=|AH| y que|AE|=|AI|, por lo que:

|HI| = |AH|+|AI| = |AC|+|AE|
|HI| = 2^(1/2)+3^(1/2)

Aproximamos a 10 decimales el resultado:
|HI| = 3,146264366

Obtenemos un error de:
pi-|HI| =3,1415926535-3,146264366 = -0.004671712499

O un porcentaje de -0.1487052273% de la longitud, una muy buena aproximación.