Una aproximación
Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010
Aproximación de medio arco
Observa la siguiente forma de aproximar la longitud de una circunferencia:
1. Sobre una línea recta cualquiera llevamos el segmento AB de longitud r (radio de la circunferencia a rectificar)
2. Por B trazamos una perpendicular a la recta anterior y sobre ella determinamos C de manera que BC = AB
3. Por C trazamos una perpendicular a la recta AC y sobre ella determinamos E de manera que CE = AB
4. Con centro en A y radios AE y AC trazamos dos arcos de circunferencia que cortan en I y H a la recta AB
El segmento IH es aproximadamente la mitad de la longitud de una circunferencia de radio AB.
¿Con cuánta aproximación?
(recuerda que el valor de ¶ con diez cifras decimales exactas es ¶ = 3,1415926535 ...)
1 comentario:
Vamos a calcular aplicando un valor unitario a la longitud del segmento AB
|AB|=1
Al crear el punto C obtenemos que:
|BC|=1
Como los segmentos AB y BC forman los catetos de un triángulo rectángulo, el segmento AC medirá:
|AC|=(1^2+1^2)^(1/2)=(1+1)^(1/2)=2^(1/2)
Al trazar el punto E, creamos un nuevo triángulo rectángulo, de catetos |AB|=1 y |AC|=2^(1/2)
Por lo que el segmento AE medirá:
|AE|=(1^2+(2^(1/2))^2)^(1/2)=(1+2)^(1/2)=3^(1/2)
Al trazar los últimos arcos obtenemos que |AC|=|AH| y que|AE|=|AI|, por lo que:
|HI| = |AH|+|AI| = |AC|+|AE|
|HI| = 2^(1/2)+3^(1/2)
Aproximamos a 10 decimales el resultado:
|HI| = 3,146264366
Obtenemos un error de:
pi-|HI| =3,1415926535-3,146264366 = -0.004671712499
O un porcentaje de -0.1487052273% de la longitud, una muy buena aproximación.
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