domingo, 31 de octubre de 2010

Otra ecuación con raíces

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:

(97- x)(1/4) + x(1/4) = 5

(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cuartas de 97 - x y x dé 5)

Solución

viernes, 29 de octubre de 2010

Alienígenas

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

En una novela de ciencia ficción se nos presenta a unos personajes que, pese a ser inmortales, cambian de aspecto frecuentemente.

Estos personajes son de tres colores: rojo, azul y verde. Algunos de ellos son esféricos y otros, piramidales.

Diariamente, el 80% de los rojos se convierten en azules, el 80% de los azules se vuelven verdes, y el 80% de los verdes, se vuelven rojos.

También varían sus formas, de manera que el 40% de los esféricos pasan a ser piramidales, y el 40% de los piramidales, pasan a ser esféricos.

Cierto día, la población de su planeta es como indica la siguiente tabla:

Rojos Azules Verdes
esféricos 6000 5000 3000
piramidales 9000 10000 4000

¿Cuántos personajes azules y esféricos habrá al día siguiente?

Aclaremos que los cambios ocurren de forma homogénea, es decir, podemos imaginar que el 80% de los rojos esféricos cambiarán su color a azul.

Solución

martes, 19 de octubre de 2010

Encuentro Preolímpico 2010 (II)

Se acerca la fecha del encuentro anual, y bastante gente ha confirmado su asistencia. Parece que en esta ocasión sí llenaremos el aula. Esperamos que el encuentro tenga éxito y el año que viene tengamos que usar el Salón de Actos.

La tarde la dividiremos en tres sesiones, que aproximadamente coincidirán con las horas: de 17:30 a 18:30, de 18:30 a 19:30 y de 19:30 a 20:30.

Empezaré con una batería de problemas explicados, pertenecientes a varias competiciones de bachillerato. Pretendo que en la muestra haya ejemplos de los tipos más habituales. Procuraré colgar de esta web los materiales que reparta.

La siguiente hora es la de los invitados, Juan Manuel Conde, junto con los participantes en otras competiciones, expondrán algunas de sus anécdotas y sensaciones en las competiciones que conocen. En un momento determinado, José Vicente Climent pasará a otra aula para exponer algunos problemas de la Olimpiada de Química.

Por último, tengo preparada una sesión lúdica y divulgativa sobre un tema poco conocido entre los estudiantes de enseñanza media, pero que resulta sorprendentemente útil para modelizar situaciones. En cierta forma, será un homenaje para un divulgador que nos ha dejado recientemente y que me influyó de forma decisiva en mi afición a esta rama de la ciencia: Martin Gardner.

Si hay alguien que tenga que irse a una hora determinada, o que no pueda asistir al principio, que no se preocupe. En ningún momento pondremos pegas para incorporarse o retirarse.

domingo, 17 de octubre de 2010

La tele

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Tengo 12 amigos, de los cuales:

• Uno ve los canales 1, 2 y 3 de la televisión.

• Tres ven los canales 1 y 2.

• Cuatro ven el canal 1 y el canal 3.

• Dos ven el canal 2 y el canal 3.

• Ninguno ve sólo el canal 2.

• Ninguno ve sólo el canal 3.

¿Cuántos de ellos ven sólo el canal 1?

Solución

viernes, 15 de octubre de 2010

Hallando coordenadas

Pruebas de selección para Estalmat 2010

Tabla de números

Tabla de números

Observa la tabla que acompaña a este problema, imaginando que es ilimitada hacia abajo y hacia los lados.

Cada número queda definido por la fila y la columna en la que se encuentra. Por ejemplo, el número 1 está en la fila 1 y en la columna 1, así diremos que sus coordenadas son (1, 1). El número 2 está en la fila 2 y columna -1, por tanto sus coordenadas son (2, -1). Las coordenadas de 4 son (2, 2), las de 18 son (5, -3), etc.

a) ¿Cuáles son las coordenadas del número 48? ¿Y cuáles son las de 1001? ¿Y las de 895? Explica tu razonamiento.

b) Encuentra el número cuyas coordenadas son (40, 30) y el de coordenadas (50, -10). Explica tu razonamiento.

c) Hay coordenadas, como (2, -4) (ver figura), que no representan ningún número. Si tenemos (100, b), ¿qué valores puede tomar b para que esas coordenadas representen un número de la tabla?

Solución

domingo, 10 de octubre de 2010

Luz en un triángulo

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Triángulo equilátero

Triángulo equilátero

Se considera un triángulo equilátero de lado 1 y centro O, como el de la figura. Un rayo parte de O y se refleja en los tres lados, AB, AC y BC, (en el orden dado), hasta alcanzar el vértice A.

Determina la longitud mínima del recorrido del rayo.

Nota: Cuando el rayo se refleja en un lado, los ángulos de entrada (incidencia) y salida (reflexión) coinciden.

Solución

jueves, 7 de octubre de 2010

Perímetros y áreas

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Tres semicírculos

Tres semicírculos

La figura de la imagen está formada por tres semicírculos. Los dos de la parte superior tienen la mitad del diámetro que el de abajo. El punto marcado como O es el punto de tangencia entre los dos semicírculos superiores.

Entre las rectas que pasan por el punto O:

a) ¿Cuántas dividen el perímetro de la figura en dos partes iguales?

b) ¿Cuántas dividen el área de la figura en dos partes iguales?

Solución

domingo, 3 de octubre de 2010

Área sombreada

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Área sombreada

Área sombreada

Calcula el área sombreada si suponemos que la medida del lado del cuadrado grande es L.

El círculo interior es tangente al cuadrado en los centros de los cuatro lados, y el cuadrado interior tiene los cuatro vértices sobre el borde del círculo. El área es la parte del círculo que no está dentro del cuadrado interior.

Solución