domingo, 31 de octubre de 2010

Otra ecuación con raíces

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:

(97- x)(1/4) + x(1/4) = 5

(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cuartas de 97 - x y x dé 5)

Solución

1 comentario:

David dijo...

Como ya vimos en la suma de raíces cúbicas, es mejor resolver haciendo un cambio de variable, para aislar la raíz en un solo termino.

Cambiamos x por V^4:

(97-V^4)^(1/4)+(V^4)^(1/4) = 5
(97-V^4)^(1/4)+V = 5
(97-V^4)^(1/4) = 5-V

Ahora podemos elevar a la cuarta potencia:
((97-V^4)^(1/4))^4) = 97-V^4
(5-V)^4 = v^4-20V^3+150V^2-500V+625

Y nos queda la siguiente igualdad

97-V^4 = v^4-20V^3+150V^2-500V+625
2v^4-20V^3+150V^2-500V+528 = 0

Que tiene 4 raíces, de las cuales solo dos reales V1=3 y V2=2

Ahora deshacemos el cambio de variable en V1=3->x1=3^4=81
(97-81)^(1/4)+81^(1/4) = 5
(16)^(1/4)+3= 5
2+3 = 5

Ahora deshacemos el cambio de variable en V2=2->x2=2^4=16
(97-16)^(1/4)+16^(1/4) = 5
(81)^(1/4)+2= 5
3+2 = 5

Por lo que sabemos que las soluciones para la ecuación son x=2 y x= 3.

(Al deshacer un cambio de variable para potencias pares debemos comprobar las soluciones negativas, en este caso no satisfacen la igualdad.)