jueves, 30 de octubre de 2008

A partir del 2008

XIV Olimpiada de Mayo, primer problema del primer nivel, 2008

¿Cuántos números distintos de 6 cifras y múltiplos de 45 se pueden escribir añadiendo un dígito a la izquierda y otro a la derecha de 2008?

Solución

domingo, 26 de octubre de 2008

La media de los divisores

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Sean p y q dos números enteros positivos primos diferentes. Prueba que existen enteros positivos a y b tales que la media aritmética de todos los divisores positivos del número n = paqb es un número entero.

Solución

jueves, 23 de octubre de 2008

Un programa de televisión

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad.

Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas, tiene 176 puntos. Determina cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba, sabiendo que ambas cantidades son números enteros positivos.

Solución

martes, 21 de octubre de 2008

Un segmento desde el centro

XIV Olimpiada de Mayo, cuarto problema del primer nivel, 2008

Sobre el lado AB de un cuadrado ABCD se dibuja exteriormente el triángulo rectángulo ABF, de hipotenusa AB. Se sabe que AF = 6, y que BF = 8. Llamamos E al centro del cuadrado. Calcula la longitud del segmento EF.

Nota: Como todos los de primer nivel de la Olimpiada de Mayo, en realidad se propone a estudiantes que cumplen a lo sumo 13 años el año de su celebración. En España, si siguen los cursos programados para su edad, estarían en 1º de Enseñanza Secundaria Obligatoria. También pueden participar los alumnos de sexto de primaria.

Solución

jueves, 16 de octubre de 2008

¿Cuántos cuadrados?

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Cruz de puntos

Cruz de puntos

¿Cuántos cuadrados que tengan los vértices en los centros de los puntos marcados en la figura que hay junto a estas líneas pueden dibujarse?

Por si no puede verse, la figura está compuesta por los vértices de una retícula de cuadrados de 6 por 6 puntos, en la que se han suprimido los cuatro puntos que forman todas las esquinas. Evidentemente, tiene forma de una cruz formada por cuatro líneas de seis puntos

Solución

domingo, 12 de octubre de 2008

Con la suma y el MCM

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de que la suma sea 3972 y el mínimo común múltiplo sea 985928.

Solución

jueves, 9 de octubre de 2008

Con unos y ceros

XIV Olimpiada de Mayo, tercer problema del segundo nivel, 2008

En los números 1010...101 se alternan los unos y los ceros; si hay n unos, hay n - 1 ceros (n ≥ 2). Determina los valores de n para los cuales el número 1010...101, que tiene n unos, es primo.

Nota: Como todos los de segundo nivel de la Olimpiada de Mayo, en realidad se propone a estudiantes que cumplen a lo sumo 15 años el año de su celebración. En España, si siguen los cursos programados para su edad, estarían en 3º de Enseñanza Secundaria Obligatoria.

Solución

martes, 7 de octubre de 2008

Primer problema de la Iberoamericana 2008

Primer problema de la 23 Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (2008)

Se distribuyen los números 1, 2, 3, ..., 20082 en un tablero de 2008 por 2008 casillas, de forma que en cada casilla haya un número distinto.

Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea S la suma de los 4016 números obtenidos.

Determine el mayor valor posible de S.

Solución

domingo, 5 de octubre de 2008

Fiesta de fin de carrera

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Toni celebró su fin de carrera con una cena en casa a la que invitó a sus nueve mejores amigos. Compró dos botellas de cava de un litro cada una. Éste se servía en copas de forma cónica de manera que el diámetro de la copa es de 5 cm y la altura del cono de la copa es de 12 cm. Las 10 copas están llenas hasta el borde. Pero, cuando están a punto de brindar, aparecen de repente sus 30 compañeros de clase y Toni decide invitarles a ellos también. Les va sirviendo uno a uno hasta poner sus copas exactamente a la mitad de altura.

1. ¿Cuánto cava gastaron entre unos y otros?

2. ¿Podrán repetir y volver a brindar todos juntos, los 40, aunque sea con media copa de cava?

3. ¿Seria posible brindar todos desde el principio poniendo las 3⁄4 partes de la copa?

Solución

sábado, 4 de octubre de 2008

La nota de Carlos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Carlos ha conseguido una media del 85% en las primeras cuatro pruebas de su examen de matemáticas. Teniendo en cuenta que sólo le falta una prueba, ¿cuál es el porcentaje más elevado que puede obtener?

Solución