Un segmento desde el centro
XIV Olimpiada de Mayo, cuarto problema del primer nivel, 2008
Sobre el lado AB de un cuadrado ABCD se dibuja exteriormente el triángulo rectángulo ABF, de hipotenusa AB. Se sabe que AF = 6, y que BF = 8. Llamamos E al centro del cuadrado. Calcula la longitud del segmento EF.
Nota: Como todos los de primer nivel de la Olimpiada de Mayo, en realidad se propone a estudiantes que cumplen a lo sumo 13 años el año de su celebración. En España, si siguen los cursos programados para su edad, estarían en 1º de Enseñanza Secundaria Obligatoria. También pueden participar los alumnos de sexto de primaria.
2 comentarios:
EF=7*2^1/2; teorema del coseno aplicado a EAF y EBF; los angulos de ABF son suplementarios al ser AB hipotenusa, siendo A el angulo de EAF y B el de EBF, los angulos del lado contrarios de EF en ambos triangulos son A+45º y B+45ª de donde, en función de A son A+45º y 135-A, aplicando EF^2= AF^2+EA^2-2*A*B*cos(A+45º) y EF^2=BF^2+EB^2-2*A*B*cos(135º-A); 2 ecuaciones, 2 incognitas, se resuelve y da 7*2^1/2
EF = (7)(2)^1/2 como dijeron arriba, pero aqui les dejo otra solucion, pienso que mas sencilla. Construyan un triangulo congruente al AFB sobre DC, y llamemo R al punto que deberoia coresponder a R. Entonces podemos ver que RD=FB=8
y AF=RC=6,ahora aplicando lo mismo en todops los lados nos queda que ABCD esta contenido en otro cuadrado de lado 14, con hipotenusa FR. Y por definicion sabemos que EF = (1/2)FR, de donde FR =(14)(2)^1/2 (por pitagoras), y el resultado se sigue
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