domingo, 1 de febrero de 2015

Circunferencia entre dos rectas

Segundo problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Sean r y s dos rectas paralelas y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BAC mide 90 grados, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC.

Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta r tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.

Solución: próximamente

sábado, 31 de enero de 2015

Desigualdad entre cuadrados

Primer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Demuestra que (ax + by)2 ≤ ax2 + by2 para cualesquiera números reales x, y, con a + b = 1, a, b ≥ 0.

¿En qué casos se da la igualdad?

Esta entrada forma parte de una sección temática en la que daré una solución de todos los problemas del viernes del año 2015, escrita de forma puntual.

Solución

sábado, 9 de agosto de 2014

Un punto en la circunferencia

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que el ángulo PAB es igual al BCA y en ángulo CAQ es igual al ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM y Q es el punto medio de AN.

Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.

El cuarto problema, primero de la segunda sesión, suele ser el segundo en nivel de dificultad. Hay varios enfoques para este. Ánimo, intentadlo.

Solución: próximamente.

lunes, 14 de julio de 2014

Único para cada sucesión positiva creciente

Primer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Sea a0 < a1 < a2 < ... una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que: an < (a0 + a1 + ... + an)/n ≤ an + 1

Este problema fue el primero de los propuestos en esa competición, y por tanto, el que mejor promedio obtuvo entre los participantes en el resultado.

Solución:

domingo, 27 de abril de 2014

Cubo y triángulo

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

Sea ABCDEFGH un cubo de arista 2. Sea P el punto medio de la arista EF.

Determina el área del triángulo APB y la medida del ángulo APB.

Nota: que yo sepa, es imposible averiguar la medida exacta del ángulo APB sin conocer técnicas trigonométricas (que se estudian uno o dos años más tarde del curso que cursan los concursantes), me gustaría que alguien me informase si esto no es así, pero en ese caso esta pregunta es muy poco adecuada para el nivel que se pretende que tenga esta prueba.

Solución: próximamente

domingo, 6 de abril de 2014

Pesadas

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

El señor Manuel dice que con sus tres pesos, de 1 kg, 3 kg y 9 kg, y la balanza, puede separar los kilos de lentejas que quieras, siempre que no pasen de 13 kg.

Completa la tabla siguiente para comprobar cómo ha de pesar los kilos de lentejas.

Plato A Plato B Kilogramos de lentejas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Solución

miércoles, 19 de marzo de 2014

Desigualdad con dos variables

Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14

Sean x e y números reales entre 0 y 1.

Probar que x3 + xy2 + 2xy ≤ 2x2y + x2 + x + y

Solución:

domingo, 23 de febrero de 2014

Agrupando tarjetas

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Se tienen 600 tarjetas, 200 de ellas tienen escrito el número 5, 200 tienen escrito el número 2 y las otras 200 tienen escrito el número 1.

Usando estas tarjetas se quieren formar grupos de tal forma que en cada grupo la suma de los números sea 9.

¿Cuál es la mayor cantidad de grupos que se pueden formar?

Solución: