domingo, 28 de junio de 2009

Planos y puntos en el espacio

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Determinar el mayor número de planos en el espacio tridimensional para los que existen seis puntos con las siguientes condiciones:

i) Cada plano contiene al menos cuatro de los puntos.

ii) Cuatro puntos cualesquiera no pertenecen a una misma recta.

Solución

jueves, 25 de junio de 2009

Transporte escolar

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un instituto programa una excursión para sus alumnos.

El día señalado, les transporta a la estación de tren en n autobuses (donde n es un entero positivo mayor que 1 y no primo), donde ya estaban esperando 7 alumnos que viven muy cerca de allí. Los alumnos fueron distribuidos en 14 vagones del tren.

Los autobuses iban casi llenos (cabían en cada uno de ellos 52 personas) y todos ellos llevaban el mismo número de personas.

¿Cuántos alumnos iban en cada vagón, suponiendo que el número buscado es el menor que cumpla todas las condiciones anteriores, y que en cada vagón va la misma cantidad de alumnos?

Solución

domingo, 21 de junio de 2009

La magia de los círculos

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cuadrado con círculos

Cuadrado con círculos

En la imagen aparece un cuadrado de lado una unidad en el que se inscribe primero un círculo, después cuatro, después nueve, y, finalmente, 16.

Calcula la relación en cada caso entre el área del cuadrado y la suma del área del total de círculos inscritos.

¿Cuál sería la relación si inscribiésemos 10x10 = 100 círculos en el cuadrado? ¿Por qué?

Solución

jueves, 18 de junio de 2009

Una clase de deportistas

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En una clase todos los estudiantes practican algún deporte: 12 juegan al fútbol, 13 al baloncesto y otros 13 al tenis. Hay 3 estudiantes que practican los tres deportes, 8 que juegan al fútbol y baloncesto, 4 a baloncesto y tenis, y 2 que sólo practican fútbol.

¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Solución

martes, 16 de junio de 2009

Preparando el próximo curso

En mi centro, el IES Miguel Hernández de Alicante, estamos ya preparando el final de curso, porque pronto empiezan las fiestas locales. Hemos escrito unas hojas para los alumnos con cierta capacidad para las matemáticas, preparándoles para las actividades en las que podrán participar el próximo curso.

Por si te interesa, pongo enlaces aquí mismo. Todos los problemas que menciono es probable que los veas aquí en breve tiempo, en diferentes categorías.

Entrada al artículo completo, tal y como lo hemos puesto en la página web.

El documento para los que empezarán 1º de ESO (nacieron en el año 97).

El documento para los que empezarán 2º de ESO (nacieron en el año 96).

El documento para los que empezarán 3º de ESO (nacieron en el año 95).

El documento para los que empezarán 4º de ESO (nacieron en el año 94).

El documento para los que empezarán 1º de Bachillerato (nacieron en el año 93).

El documento para los que empezarán 2º de Bachillerato (nacieron en el año 92).

domingo, 14 de junio de 2009

Dos circunferencias en un paralelogramo

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

En el interior de un paralelogramo ABCD se dibujan dos circunferencias. Una es tangente a los lados AB y AD, y la otra es tangente a los lados CD y CB. Probar que si estas circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia está en la diagonal AC.

Solución

jueves, 11 de junio de 2009

Pintando mapas

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Mapa de cuatro

Mapa de cuatro

¿De cuántas maneras distintas se puede pintar un mapa de cuatro países como el del dibujo, si se dispone de 5 colores diferentes? El dibujo representa un rectángulo dividido en cuatro partes iguales por dos perpendiculares a los lados.

Cada país se puede pintar de un único color, con la condición de que sea diferente al de los países con los que tiene una línea que los separa. Un único punto no se considera una línea.

Solución

domingo, 7 de junio de 2009

Padre e hijo

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

A principios del pasado mes de marzo, fue el cumpleaños de Antonio y de su hijo Marc. El padre, aficionado a las matemáticas, le dijo a su hijo: De aquí a 16 años tu edad será un cuadrado perfecto y, además, el cuadrado de mi edad coincidirá con el año en que nos encontremos".

¿Cuál es la edad actual de este padre y de este hijo?

Pista: tened en cuenta que este problema se plantea en abril del año 2009

Solución

jueves, 4 de junio de 2009

El abuelo

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un hombre de entre 50 y 70 años de edad, y con una cantidad realmente grande de nietos, dijo: “Cada uno de mis hijos tiene tantos hijos como hermanos, y el número combinado de mis hijos y mis nietos es exactamente mi edad”.

¿Qué edad tiene el abuelo y cuántos nietos tiene?

Solución