Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009
En el interior de un paralelogramo ABCD se dibujan dos circunferencias. Una es tangente a los lados AB y AD, y la otra es tangente a los lados CD y CB. Probar que si estas circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia está en la diagonal AC.
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2 comentarios:
¡Prometo que lo tenía redactado antes de que colgaras la solución! ;)
En un paralelogramo ABCD con una circunferencia s tangente a los lados AB y AD solamente puede haber una circunferencia t que sea tangente a los lados CD y CB y a la circunferencia s a la vez, con lo que si demostramos que, si habiendo una circunferencia s dada y tomando la intersección de la diagonal con s como punto de tangencia, puedo hallar una circunferencia t que cumpla las condiciones dadas, quedaría demostrado lo que propone el enunciado.
Trazo en un paralelogramo la circunferencia s con centro en Os y tangente a los lados AB y AD. Os estará en la bisectriz del ángulo del vértice A. Trazo a continuación la diagonal AC, que cortará a la circunferencia en un punto H. Uno Os con H y lo prolongo, hasta encontrarme con la bisectriz del ángulo del vértice C. Si fuera cierto el enunciado, ese tendría que ser Ot, ya que para ser tangente a los lados CB y CD debe estar en esa bisectriz, y el punto de tangencia de dos circunferencias debe estar en la recta que une sus centros.
Las rectas AOs y OsOt forman un ángulo igual al que forman COt y OsOt, por ser paralelas las dos bisectrices. Lo mismo pasa con los ángulos formados por AOs-AC y COt -AC, y con los ángulos de la diagonal y la recta OsOt. Tenemos dos triángulos semejantes.
En el triángulo formado en s, el lado AOs mide rs/ sen a (siendo a el ángulo formado por la bisectriz y el lado AD), y el lado Os H mide 1• rs. De la misma manera, en el triángulo formado en t, el lado será rt/ sen a y el lado OtH será 1• rt. De esta forma, si trazo una circunferencia con centro en Ot y radio OtH, obtendré una circunferencia tangente a los lados CB y CD y a la circunferencia s en la diagonal AC.
Como solo puede haber una circunferencia tangente a los lados CB y CD y a la circunferencia s a la vez, queda demostrado que si la hay, tiene que ser la que tiene como punto de tangencia el punto H perteneciente a la diagonal AC.
Pues está muy bien tu solución también, Pilar.
Espero que sigas con el resto de problemas.
Además, se te da bien explicar la geometría.
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