Pintando mapas
Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009
Mapa de cuatro
¿De cuántas maneras distintas se puede pintar un mapa de cuatro países como el del dibujo, si se dispone de 5 colores diferentes? El dibujo representa un rectángulo dividido en cuatro partes iguales por dos perpendiculares a los lados.
Cada país se puede pintar de un único color, con la condición de que sea diferente al de los países con los que tiene una línea que los separa. Un único punto no se considera una línea.
1 comentario:
Si no me equivoco, hay 260 maneras de colorearlos.
La razón es la siguiente:
* hay cinco formas de colorear el país de arriba a la izquierda (por ejemplo).
* quedan cuatro maneras de colorear el país de arriba a la derecha.
* el país de abajo a la derecha se puede colorear de cuatro formas distintas: tres de ellas son con colores que aún no se han usado, y una de ellas es empleando el mismo color que se usó para el país de arriba a la izquierda (que no está en contacto con el de abajo a la derecha).
* esto nos deja dos opciones:
1) o bien tengo tres colores para el país restante (si los países de arriba a la izquierda y de abajo a la derecha tienen colores distintos)
2) o bien tengo cuatro colores para dicho país restante (si los países de arriba a la izquierda y de abajo a la derecha tienen igual color)
Resumiendo: existen 5*4*3*3 + 5*4*1*4 = 260 formas de colorear los cuatro países.
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