Problema propuesto y descartado para la Olimpiada Internacional de Matemáticas
No suelo proponer problemas de este tipo, y sobre todo tan difíciles como éste, pero me ha parecido, por su planteamiento y su solución, muy original y repleto de ideas interesantes, así que aquí lo dejo, y pronto colgaré su solución.
Prueba que, para cada número positivo racional x, existen números enteros positivos a, b, c, d, de forma que (a3 + b3)/(c3 + d3) = x
Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)
Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que el ángulo PAB es igual al BCA y en ángulo CAQ es igual al ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM y Q es el punto medio de AN.
Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.
El cuarto problema, primero de la segunda sesión, suele ser el segundo en nivel de dificultad. Hay varios enfoques para este. Ánimo, intentadlo.
Solución: próximamente.
Primer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)
Sea a0 < a1 < a2 < ... una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que: an < (a0 + a1 + ... + an)/n ≤ an + 1
Este problema fue el primero de los propuestos en esa competición, y por tanto, el que mejor promedio obtuvo entre los participantes en el resultado.
Además del resultado de Lisa Sauermann, muchos otros participantes han quedado en buena posición y merecen ser citados en este blog. Muy cerca de la máxima puntuación (42) se encuentran Jeck Lim (Singapur), con 40 puntos y Lin Chen (República Popular China), con 38. El primero de ellos se presenta por tercera vez, y ya ha obtenido un bronce y una plata. Lin Chen, sin embargo, es el primer año que se presenta, aunque es poco frecuente que un ciudadano de su país se presente múltiples veces, debido a la cantidad de participantes que hay en las competiciones locales.
A continuación, encontramos un empate entre otro singapurense, Jun Jie Joseph Kuan, y David Yang, un estadounidense. Ambos se presentan por primera vez, y han conseguido 36 puntos, con la misma puntuación en todas las pruebas (sólo han fallado en la última cuestión, obteniendo uno de los siete puntos).
La siguiente puntuación ha sido de 35 puntos, y en ella ha habido un cuádruple empate entre Jie Jun Ang (de nuevo de Singapur, segunda vez y con una medalla previa de plata), Kensuke Yoshida (Japón, primera vez), Nipun Pitimanaaree (Tailandia, tercera vez y una medalla de oro y una de plata previas) y Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de Perú, que con sus trece años ya ha conseguido bronce, plata y oro. Raúl es el primer hispanohablante clasificado, y su brillante historial podría prolongarse mucho debido a su edad. Espero verlo citado en muchas otras competiciones.
Podría citar mucho otros nombres, pero destacaré a la segunda mujer clasificada, Mina Dalirrooyfard, de la República Islámica de Irán, que ha obtenido una medalla de oro con sus 30 puntos, y que tiene el mérito de ser una de las únicas cuatro personas que obtuvo una puntuación perfecta en la segunda sesión, junto con los tres primeros.
También quiero citar a Miguel Martins Dos Santos, de Portugal, que en su segunda participación (en la anterior sólo obtuvo una mención honorífica) y a Ariel Zylber, de Argentina, tercera participación, con un bronce y una mención previos, que han logrado oro con 28 puntos, el mínimo en esta edición.
Algo más atrás, con 23 puntos y una medalla de plata, está Flavio Hernández González, de México, en su tercera participación (un bronce y una mención previos), y con otra plata de 22 puntos, Diego Alonso Roque Montoya, de la misma nacionalidad (segunda participación, bronce previo).
Entre las medallas de bronce, con 21 puntos, encontramos al primer español, Pablo Boixeda, segunda participación y mención previa, otro representante de México, Daniel Perales Anaya, que sacó plata en su anterior competición, a José Gustavo García Sulca, de Perú, que obtuvo oro el año pasado, y a Juan Camilo Azuero Mutis, de Colombia, que repite bronce.
También con bronce, aunque con menos puntuación, citaré a Carlos Cortéz (Ecuador), Jorge Garza Vargas (México), Felipe Garcia Suarez (Chile), Deborah Barbosa Alves (Brasil), Óscar Rivero (España), Juan Paucar Zanabria (Perú), Maria Clara Mendes Silva (Brasil), Manuel Alejandro Espinosa García (México), Jaime Mendizábal (España), João Miguel Magalhães Dos Santos y Raúl Queiroz Do Vale de Noronha Penaguião (ambos de Portugal) y Georges Belanger Albarrán (México), por ser de países de habla española o portuguesa.
Si nos fijamos en la clasificación por países, siempre algo injusta, debido a sus diferentes sistemas de selección y tamaños, destacan la República Popular China (que lleva ganando cuatro ediciones consecutivas, y no queda por detrás del segundo puesto desde 1997) y Estados Unidos, que queda en segundo puesto, logrando su mejor resultado desde el año 2005, aunque últimamente no ha bajado del sexto puesto.
Sorprende Singapur, que consigue un tercer puesto, cuando su mejor resultado hasta ahora era el 14 en el año 2005, que adelanta incluso a la Federación Rusa, en cuarto lugar (su peor resultado desde 2003).
En quinto lugar encontramos a Tailandia, que repite posición (en los cuatro últimos años ha quedado entre quinto y séptimo puesto, después de muchos años de acabar en una posición mucho peor) y en sexto a Turquía, que consigue su mejor resultado histórico, después de tres años acabando octava.
De entre los países de la Comunidad Europea, el primero es Alemania, que baja a un puesto 11, tras dos años quedando en el 9, el segundo es Polonia, en la posición 15, lo que mejora mucho los dos últimos años, y el tercero es Reino Unido, que obtiene el mejor resultado desde 2005, a muy poca distancia de Italia, que, por el contrario, ha empeorado.
De los países de habla española (o portuguesa), el primero es Brasil (puesto 20), que, pese a mejorar el resultado del año pasado, no alcanza su mejor marca. El segundo es México (22), que logra su mejor resultado, especialmente después de cuatro años peores. El tercero es Perú, que baja al puesto 31 después de unos años en los que fue algo mejor.
Bastante por detrás encontramos a Portugal (puesto 46, el segundo mejor resultado de su historia y su primera medalla de oro) y a España (puesto 48). El resultado español es similar al de los últimos años (de hecho, el tercer mejor resultado de su historia), tres medallas de bronce y una mención. Seguimos sin conseguir una medalla de oro en esta competición. Argentina está en la siguiente posición, la 49, en un resultado peor que los obtenidos en los últimos cuatro años.
Participaron 101 países, con un total de 564 participantes (es evidente que no todos los países alcanzaron el máximo de 6 participantes)
Este año, como casi siempre en los años que estoy siguiendo la Olimpiada Internacional, se han producido muchos resultados que llaman la atención, pero uno de ellos me ha impulsado a ponerlo en primer lugar.
Se trata de la primera vez en la competición que una concursante femenina ha conseguido quedar en primer lugar sin empatar con nadie, en solitario. Además, Lisa Sauermann se ha convertido en la mejor participante de la historia, independientemente de su sexo, pues lleva logradas cuatro medallas de oro y una de plata en sus cinco participaciones. Este año tiene 18, de forma que probablemente será su última participación, aunque es remarcable que lograra su primera participación, y medalla de plata, con tan sólo 14 años.
En la página oficial ha dejado de aparecer el año de nacimiento, así que es difícil saber si vendrán o no en futuras ediciones, pero a los participantes actuales les va a costar mucho mejorar este resultado. ¡Enhorabuena, Lisa!
Hoy no voy a comentar más, dedicaré otro día a hablar de los demás que han ganado, de la actuación de los representantes de España y de otros países hispanohablantes, de las sorpresas positivas y negativas de los diferentes equipos, y cosas así.
En estas fechas (16 - 24 de julio) se está celebrando en Amsterdam, Holanda la edición número 52 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. En la página oficial (http://imo-official.com/) podemos encontrar una cantidad enorme de información acerca del desarrollo de todas las ediciones, y enlaces a la página oficial de esta edición en concreto, https://www.imo2011.nl/.
La suerte ya está echada, las pruebas se han realizado hoy, día 19 y ayer, 18. En los días que quedan se coordinarán las puntuaciones y muy pronto se dará a conocer la clasificación de este año. En cuanto pueda analizarla, buscaré a participantes conocidos de otros años, trataré de informarme sobre los mejor clasificados y analizaré los resultados de los países con los que mantengo cierta afinidad, así como los que mejor resultado o más sorprendentes clasificaciones obtengan.
Mientras tanto, quiero destacar algunos detalles de la web de este año. No he podido consultar los nombres de los participantes, como en otras ocasiones, pero en cambio, han colgado vídeos (canal de youtube) diarios del desarrollo del concurso, que vienen muy bien para hacernos una idea de cómo se desarrolla. Os aconsejo que les dediquéis un poco de tiempo. También tienen una webcam para poder observar los acontecimientos en directo, y en la página que corresponde a esa webcam, encontramos la ceremonia completa de inauguración (desde dos puntos de vista: lo que ven los asistentes y lo que se ve desde el escenario). Un poco largo, pero puede ser interesante para los que conocemos a algunos de los asistentes.
Los problemas ya han sido expuestos en la página oficial, donde podéis encontrar los de todos los años. En definitiva, un interesante encuentro para los aficionados.
Solución: próximamente
Ya se han hecho públicos, en la página oficial de la Olimpiada Internacional, los resultados de la presente edición. Voy a analizar los resultados generales, individuales, y los de los países de habla hispana más destacados.
En primer lugar, por equipos, se distingue de nuevo el éxito de la representación de la República Popular China, que repite título por tercer año consecutivo. Desde 1999 siempre acaba en primer o segundo puesto, y sólo en tres ocasiones de esos últimos 12 años ha quedado segunda. Una trayectoria por equipos difícilmente mejorable.
En segundo lugar nos volvemos a encontrar otro país que siempre destaca, la Federación Rusa. También suele ocupar los primeros puestos, ha mejorado el tercer puesto del año pasado.
En tercer lugar, los Estados Unidos de América, que mejora el sexto puesto del año anterior. Aunque desde 1994 no ocupa la primera posición suele tener buenos resultados.
Más rezagados encontramos la República de Corea (cuarta por tercera vez consecutiva), Kazajastán, que consigue un quinto puesto que es el mejor de su historia (fueron sextos en 1991, pero han sido sus únicos dos resultados por encima del décimo), empatados con este último encontramos a Tailandia, que consiguen su mejor clasificación de la historia (sus tres últimos resultados han sido las únicas ocasiones que han estado entre los 10 primeros). Detrás está Japón, que desciende notablemente desde el segundo puesto del año pasado a puestos más frecuentes en su historial, Turquía, que consigue por tercera vez consecutiva un octavo puesto, su mejor clasificación, Alemania, que repite noveno puesto, y Serbia, que consigue por primera vez en su (reciente) historia un décimo puesto, su mejor clasificación.
En cuanto a los países de habla hispana, el primero que encontramos es a Perú, en el puesto 18, (segundo mejor resultado histórico), que parece haberse situado en una situación mejor en los últimos tres años, México, en el puesto 33, que es el mejor puesto desde 2006. Después Brasil, en un puesto 35 después de dos años bajando del 20, Argentina, en el puesto 39, más o menos como vienen haciendo en las últimas ediciones, y España, en el 46, segundo mejor resultado desde el de 2008 (teniendo en cuenta el número de equipos participantes).
En cuanto a los resultados individuales, hay un ganador absoluto, único acertante de todas las preguntas, que es el chino Zipei Nie, que aún tiene 17 años y era la primera vez que participaba en esta competición.
En segunda posición. a sólo 3 puntos de 42, Evan O'Dorney, participante estadounidense que se lleva su tercera medalla (dos de plata y esta de oro), aunque sólo tiene 16 años.
En tercera posición, con 37 puntos, Teodor von Burg, de Serbia, que con 17 años es la cuarta vez que participa (dos oros, una plata y un bronce).
Empatados a 36 puntos hay nada menos que tres personas, Melih Ucer, de Turquía, Lisa Sauermann, la mujer mejor clasificada, de Alemania, y Jialun Li, de la República Popular China.
En cuanto a los resultados de los hispanohablantes, George Arzeno, de Puerto Rico ha obtenido medalla de oro (29 puntos) en su segunda participación, empatado con José Gustavo García Sulca, de Perú (primera participación con 15 años).
Con 26 puntos, la medalla de plata más alta del año, encontramos a Reynaldo Gil Pons, de Cuba, en su segunda participación, con 24 a Miguel Maurizio, de Argentina (tercera participación), con 23 y también plata, a Moisés Herradón, de España, en su tercera participación, con 22 Marcelo Tadeu de Sá Oliveira Sales, de Brasil y Daniel Perales Anaya, de México.
Cuando tenga más tiempo, trataré de hacer un análisis más detallado de las participaciones de algunos países en la IMO. Agradecería que los concursantes que estuviesen dispuestos a colaborar para hablar de sus impresiones (y/o resolver para los lectores del blog algunos de los problemas) se pusiesen en contacto conmigo dejando un comentario o a través del correo problemate (@) gmail.com.
Estos problemas son de bastante dificultad. Los propongo como información relativa al tema de la página, pero no voy a exponer la solución, al menos en bastante tiempo, ya que exponerla de forma adecuada me llevaría mucho tiempo.
Los tres primeros se propusieron en la primera sesión (miércoles), y los siguientes en la segunda (jueves). Cada sesión tiene una duración de 4 horas y media.
Problema 1
Determine todas las funciones f : R → R tales que
f([x]y) = f(x)[f(y)]
para todos los números x, y ∈ R.
([z] denota el mayor entero que es menor o igual que z.)
Problema 2
Sea ABC un triángulo, I su incentro y Γ su circunferencia circunscrita.
La recta AI corta de nuevo a Γ en D.
Sean E un punto en el arco BDC y F un punto en el lado BC tales que el ángulo BAF es igual a CAE y ambos son menores que la mitad de BAC.
Sea G el punto medio del segmento IF.
Demuestre que las rectas DG y EI se cortan sobre Γ.
Problema 3
Sea N el conjunto de los enteros positivos.
Determine todas las funciones g : N → N tales que (g(m) + n)(m + g(n)) es un cuadrado perfecto para todo m, n ∈ N.
Problema 4
Sea Γ la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y P un punto en el interior del triángulo.
Las rectas AP, BP y CP cortan de nuevo a Γ en los puntos K, L y M, respectivamente.
La recta tangente a Γ en C corta a la recta AB en S.
Si se tiene que SC = SP, demuestre que MK = ML.
Problema 5
En cada una de las seis cajas B1, B2, B3, B4, B5, B6 hay inicialmente sólo una moneda.
Se permiten dos tipos de operaciones:
Tipo 1: Elegir una caja no vacía Bj, con 1 ≤ j ≤ 5. Retirar una moneda de Bj y añadir dos monedas a Bj+1.
Tipo 2: Elegir una caja no vacía Bk, con 1 ≤ k ≤ 4. Retirar una moneda de Bk e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) Bk+1 y Bk+2.
Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas B1, B2, B3, B4, B5 vacías y a la caja B6 con exactamente 201020102010 monedas.
(Observe que abc = a(bc).)
Problema 6
Sea a1, a2, a3, . . . una sucesión de números reales positivos.
Se tiene que para algún entero positivo s, an = max{ak + an−k tal que 1 ≤ k ≤ n − 1} para todo n > s.
Demuestre que existen enteros positivos ℓ y N, con ℓ ≤ s, tales que an = aℓ + an−ℓ para todo n ≥ N.
De nuevo está en marcha la edición anual de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Este año se celebra en la capital de Kazajistán, Astaná. Se trata de la edición número 51. Se espera la participación de 98 países, seis menos que el año pasado. Los participantes ya deben estar allí, y la ceremonia de apertura es hoy, día 6 de julio. Mañana y pasado serán las pruebas y muy pronto tendremos los resultados oficiales. Voy a realizar una breve reseña de los participantes más destacados, aunque eso es algo subjetivo. Si quieres conocer más detalles te puedes pasar por la página oficial.
Se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.
En primer lugar, hablaré de la selección de España. Dos participantes repiten de la delegación del año pasado. Ander Lamaisón, bronce en 2009, encabeza la delegación tras conseguir el primer puesto en la OME. Moisés Herradón, todo un veterano tras dos participaciones (medalla de bronce en 2009, mención honorífica en 2008) tratará de incrementar aún más su palmarés. Los otros cuatro concursantes son nuevos en esto, pero no dudo que harán todo lo posible para lograr un éxito. Xavier Fernández-Real y Guillem Alsina están en último año de los estudios secundarios, por lo que será su primera y última participación, mientras que Pablo Boixeda aún tendrá una oportunidad más, y Óscar Rivero aún cursa 4º de ESO, por lo que puede convertirse en otro asiduo de la competición, al estilo de Moisés. En el historial de España, la mejor participación por equipos se considera la de 2008, en la que se lograron tres medallas de bronce y tres menciones honoríficas, si bien en el historial de la delegación española figuran tres medallas de plata en total.
Una concursante que participó con éxito el año pasado con mucho éxito es Lisa Sauermann, de Alemania. Será la cuarta edición para esta alemana, que lleva una plata y dos oros. El año pasado acabó tercera a tan sólo un punto de los dos que empataron en el primer puesto. Esta será su última participación, pero estoy seguro de que le espera un brillante futuro. También el concursante japonés Akio Kishikawa, cuarto el año pasado, participa de nuevo en su último año. Es el único de su país que repite participación. Sin embargo hay varios de la República Democrática de Corea que repiten participación, entre los que destaca Un Song Ri, también cuarto el año pasado.
En cuanto a otros países de habla hispana, México participa con un equipo muy joven, con un único participante que repite (Flavio Hernández González, mención honorífica en 2009), y un jovencísimo Diego Alonso Roque Montoya de sólo 14 años. Probablemente, también Daniel Perales Anaya, de 16, tendrá más oportunidades en el futuro. Su mejor clasificación fue en 2006, con una medalla de oro, dos platas y un bronce.
Desde Colombia envían sólo cuatro participantes, de los que destacan por edad Angela Maria Castañeda Oviedo y Juan Camilo Azuero Mutis, de 16 años. Su mejor resultado histórico fue en 2005, con dos platas y dos bronces (aunque en 1998 un colombiano consiguió el oro).
Desde Argentina envían un equipo con tres concursantes nuevos y tres que ya participaron en 2009 (para Miguel Maurizio, mención honorífica en 2009, será la tercera participación). Queda lejos la mejor participación, en 2001, con tres platas y dos bronces). En su historial hay tres medallas de oro.
El país más sorprendente es, sin duda, Perú. Envía un equipo de seis concursantes muy jóvenes, en el que destaca un jovencísimo Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de 12 años y que ya consiguió medalla de bronce en 2009. Es el único que repite, por lo que se da la circunstancia de que es también el más veterano del grupo. La progresión de este país en los últimos años ha sido muy buena, destacando los resultados de 2008 (una medalla de oro, la única de su historia, tres platas y dos bronces).
Otra sorpresa, en esta ocasión negativa es la no participación de Chile.
Venezuela participa con sólo dos concursantes, que ya participaron en años anteriores.
Ecuador participa con dos concursantes veteranos y también varios jóvenes (Carlos Cortéz sólo tiene 14 años).
Quedan muchos otros países que participan, si quieres que comente alguno con más detalle, o bien quieres conocer algún nombre de concursante más de algún país, deja un comentario.
He estado pensando hacer una entrada de este tipo hace un cierto tiempo, pero no me decidía. La verdad es que me llama la atención la escasa presencia de chicas en los concursos de matemáticas, cuando mi observación directa en clase me revela que son tan capaces unas como los otros. Es difícil obtener estadísticas fiables, porque normalmente el sexo no suele ser un dato que se cite, pero la impresión es que la participación en general es escasa, de forma que eso puede ser determinante en que los premios sean la mayor parte de veces para chicos.
En esta edición de la IMO (Bremen, 2009) se registra una participación de 59 chicas, lo que significa un 10,44% de los participantes. Puede parecer poco, pero es la mayor cantidad de participantes femeninas, tanto en niveles absolutos como en relativos, de la historia de este concurso. He estado hojeando datos de otros años, y si miramos por porcentajes, tenemos una evolución significativa. Empezando desde la edición 1999 (40), tenemos un os porcentajes de 7,33, 6,5, 6,97, 7,3, 5,9, 7,4, 8,38, 7,63, 9,23, 10,28, y 10,44. Se puede observar una ligera tendencia al alza, aunque no parece que se llegue a una paridad en los próximos años.
En cuanto a premios, llama la atención el tercer puesto logrado por Lisa Sauermann, que no es, sin embargo la mejor posición histórica, ya que en el año 94 se le otorgó el primer puesto a Theresia Eisenkölbl, de Austria. Sin embargo, ese fue un año extraño, ya que hubo 22 personas empatadas en el primer puesto con una calificación perfecta, entre ellas dos mujeres.
Esperemos que esto cambie en el futuro, que haya más participación del sector femenino de la población y demuestren su capacidad en este tipo de pruebas.
Ya se han publicado los resultados de la 50 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), que se ha celebrado en Bremen (Alemania). Si los queréis consultar íntegramente, podéis visitar la página oficial de la IMO, concretamente el apartado de la edición 2009.
Los que han quedado en primer lugar, indudablemente (han conseguido una puntuación perfecta, 42 puntos) han sido Makoto Soejima, de Japón y Dongyi Wei, de la República Popular China. En ninguno de los dos casos se trataba de su primera participación. Makoto participaba por cuarta vez (bronce y tres oros, el primero con puntuación perfecta), y Dongyi participaba por segunda vez, cosa que es poco frecuente en su país, después de lograr otro oro con puntuación perfecta el año pasado.
A muy poca distancia, con sólo un punto menos en la segunda cuestión (lo que es afinar mucho, incluso en este tipo de competiciones), está Lisa Sauermann, de la que ya hablé en otra entrada. Lleva ya una plata y dos oros.
Después de estos tres concursantes, los siguientes están a 3 o más puntos. En total, 49 medallas de oro, 98 de plata, 135 de bronce y 96 menciones honoríficas.
El primer español clasificado, Moisés Herradón Cueto, se tuvo que conformar, por 4 puntos, con una medalla de bronce (20 puntos), al igual que Iván Geffner, Ander Lamaison y Glenier Lázaro Bello Burguet, que obtuvieron 15 puntos. Jaime Roquero y Alberto Merchante se quedaron sin premio en esta dura prueba.
Me gustaría destacar al concursante Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de Perú, que consiguió 16 puntos y una medalla de bronce con sólo 11 años.
Por países, aunque la clasificación es oficiosa (la oficial es la individual), de nuevo la República Popular China se sitúa en primer puesto, como 10 de las últimas 12 competiciones. El segundo puesto es para Japón, que consigue así su mejor resultado histórico (el siguiente lo obtuvo en 2007, año en que fue sexto). El tercer puesto lo ocupa la Federación Rusa, que suele ocupar una buena plaza desde hace muchas ediciones.
Posiciones destacadas también ocupan, en este orden, la República de Corea, la República Popular Democrática de Corea, Estados Unidos de América (su peor resultado en los últimos 9 años, a pesar de todo), Tailandia (lleva dos años sorprendiendo al mundo), Turquía (segunda vez consecutiva en octava posición), Alemania (no es frecuente verla entre los diez primeros, pero se celebraba en su país), y Bielorrusia, en su mejor posición en los últimos 9 años).
De los países iberoamericanos, Brasil ocupa el puesto 17, su mejor clasificación porcentual histórica, y su segunda absoluta, ya que en dos ocasiones ha sido décimo sexto, Perú está en el puesto 24, su segunda mejor clasificación, Portugal en el puesto 33, su mejor resultado histórico, Argentina en el puesto 35, Colombia con un puesto 39, y México con un puesto 39, que es el pero de los últimos años.
Detrás, España quedó en el puesto 55, superando al 47,6 % de los países participantes. Como clasificación absoluta tal vez no sea muy buena, pero en posición relativa es la 4ª mejor de la historia.
Y aquí están los problemas de la segunda sesión. Debo recordar que las soluciones, si las escribo, no estarán disponibles hasta dentro de bastante tiempo. En esta ocasión he obtenido los enunciados de la página oficial de la IMO.
Problema 4. Sea ABC un triángulo con AB = AC. Las bisectrices de los ángulos CAB y ABC cortan a los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triángulo ADC. Supongamos que el ángulo BEK = 45◦. Determinar todos los posibles valores de CAB.
Problema 5. Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden a, f (b) y f (b + f (a) − 1).
(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).
Problema 6. Sean a1, a2, ..., an enteros positivos distintos y M un conjunto de n − 1 enteros positivos que no contiene al número s = a1 + a2 + · · · + an . Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto 0 y da n saltos hacia la derecha de longitudes a1 , a2, ..., an , en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de M .
Ya se conocen los problemas de la primera sesión. Si no cuento con ayuda, no creo que pueda poner una solución fácil de entender, porque no dispongo de mucho tiempo. La versión que pongo aquí la he obtenido del Portal Mathlinks.
Problema 1. Sea n un entero positivo y sean a1, a2, ..., ak (k ≥ 2) enteros distintos del conjunto {1, 2, ..., n}, tales que n divide a ai(ai+1-1), para i = 1, 2, ..., k-1. Demostrar que n no divide a ak(a1-1).
Problema 2. Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Sean P y Q puntos interiores de los lados CA y AB, respectivamente. Sean K, L y M los puntos medios de los segmentos BP, CQ y PQ, respectivamente, y Γ la circunferencia que pasa por K, L y M. Se sabe que la recta PQ es tangente a la circunferencia Γ. Demostrar que OP = OQ.
Problema 3. Sea s1, s2, s3, ... una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones ss1, ss2, ss3, ... y ss1+1, ss2+1, ss3+1, ... son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión s1, s2, s3, ... es también una progresión aritmética.
Hoy, martes 14 de julio, deberían haber llegado a Bremen los participantes en la Olimpiada Matemática Internacional. El primer acto oficial en el que participan es la ceremonia de apertura. Mañana tendrán la primera prueba, que rápidamente estará en Internet a disposición de todos.
He contactado con algunos del equipo español, y me han comentado que han estado preparando la prueba hasta hace relativamente poco. Moisés Herradón Cueto, al que entrevisté hace casi un año, Alberto Merchante González y Jaime Roquero me han comentado que la preparación ha sido dura pero necesaria, y que me contarán detalles del desarrollo de la prueba en Bremen para que los ponga aquí.
A Moisés ya lo conceréis los veteranos del blog, aunque a la vuelta de Alemania, trataré de que nos ponga al día.
Jaime ha estudiado hasta 2º de Bachillerato en Liceo Francés de Madrid, que por lo visto tiene una gran tradición en las pruebas de matemáticas, ya que ha dado varios participantes en la IMO. Desde sexto de primaria ha participado en diversos concursos, aunque nunca con tanto éxito. Tiene intención de hacer Matemáticas y Física en París. El año pasado ya participó en la Olimpiada Matemática Española, y muestra predilección por los problemas de teoría de números, aunque también le gusta la geometría y la combinatoria.
Alberto estudia bachillerato en el Ramiro de Maeztu, de Madrid. El año que viene hará 2º. Se presenta a competiciones matemáticas desde 6º de primaria, y en 2º de la ESO participó en la fase nacional de Olimpiada de ese nivel. Es el primer año que se presenta a este concurso, y sus problemas favoritos son los de geometría.
Como curiosidad, estaba revisando los países que mejor resultado obtuvieron el año pasado, y he encontrado numerosos participantes que vuelven. No me da tiempo a citar a todos, me he quedado en la octava posición, pero si tengo un rato pondré más.
Dongyi Wei (República Popular China): Obtuvo un oro en 2008, consiguiendo una puntuación perfecta.
Evan O'Dorney y Eric Larson (Estados Unidos de América) consiguieron plata en 2008. El primero de ellos aún tiene 15 años.
Sunkyu Lim (República de Corea), de 17 años. Obtuvo una plata muy alta, con una gran primera jornada, aunque en la segunda no obtuvo muchos puntos.
Un Song Ri (República Popular Democrática de Corea), oro en 2008. consiguió una puntuación perfecta, excepto el último problema, en el que no obtuvo ningún punto.
Melih Üçer (Turquía), de 16 años, consiguió plata en 2007 y oro en 2008, con 5 problemas perfectos. También Umut Varolgunes, de 18 años, obtuvo oro en 2008, con un punto más. De Turquía también son Fehmi Emre Kadan y Sureyya Emre Kurt (18 y 17 años), ambos plata el año pasado.
Actualización: Como nos recuerda uno de los lectores del blog en otra entrada, llama la atención la juventud de uno de los participantes de Perú, Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de tan sólo 11 años. Es su primera participación, pero debido a su edad espero que gane mucha experiencia.
Como todos los años por estas fechas, desde 1959, se celebra la edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO). Este año se celebra en Bremen (Alemania). El 10 de julio comienza a recibir al jurado, que seleccionará los problemas a los que se enfrentarán 575 concursantes de 105 países, más 3 que sólo enviarán observadores. La verdadera competición comenzará el día 15 con la primera sesión de la prueba.
Por si alguien aún no se ha enterado en qué consiste, se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.
Como acuden representantes de todo el mundo, los problemas deben ser de una complejidad extraordinaria, aunque deben poderse resolver con pocos conocimientos previos. Esto, que parece contradictorio, ocasiona un largo proceso de selección de los problemas.
En esta ocasión, España participa con un equipo de seis chicos (el máximo permitido). El madrileño Moisés Herradón Cueto, de 17 años participa por segunda vez. En Madrid (2008) logró una mención honorífica, y aún puede volver a presentarse el año que viene.
También cuenta con experiencia previa Glenier Lázaro Bello Burguet, que participó en Hanoi (Vietnam) 2007, y el año pasado se tuvo que conformar con la medalla de plata en la Olimpiada Matemática Española.
Los participantes Ander Lamaison Vidarte y Alberto Merchante González participan por primera vez en una internacional, pero tan sólo tienen 16 años, por lo que es de esperar que este año les sirva de valiosa experiencia para futuras ediciones.
Por último, aunque no menos importante, Iván Geffner Fuenmayor y Jaime Roquero Giménez también acuden por primera vez, pero será la última debido a su edad.
Todos ellos obtuvieron medalla de oro en la pasada Olimpiada Matemática Española. Espero que tengan suerte y nos traigan alguna medalla más para España.
Les acompañará Ignasi Mundet Riera como tutor, veterano participante en estas pruebas (bronce en suecia en 1991), con gran experiencia, que fue el coordinador jefe el año pasado en la IMO de Madrid.
En calidad de jefa de la delegación, aunque los concursantes no la verán hasta después de la prueba, irá María Gaspar Alonso-Vega, que fue el año pasado vicepresidenta ejecutiva del Comité IMO 2008. También es presidenta de la Comisión de Olimpiadas de la Real Sociedad Matemática Española, y ha acompañado al equipo español en numerosas ocasiones.
Por último, España envía a un observador, Marco Castrillón López, que participó como concursante en 1990 y que también perteneció al comité organizador el año pasado. Como Ignasi, cuenta con bastante experiencia en este tipo de concursos.
Otro día hablaré de otros participantes de otros países, aunque no quiero despedir este breve artículo sin mencionar a una persona cuyo nombre me ha llamado la atención. Se trata de Lisa Sauermann, participante alemana de sólo 16 años que, pese a su juventud, ha obtenido plata en Hanoi (2007) y oro en Madrid (2008). Sin duda, un gran historial que la sitúan como favorita, más todavía si consideramos que juega en casa.
Moisés Herradón es un estudiante que ha participado en varias competiciones de problemas de matemáticas, logrando una buena posición en la fase final de la última Olimpiada Española de Matemáticas, y participando como representante español tanto en la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), donde consiguió una mención honorífica, como en la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (OIM), donde obtuvo una medalla de bronce.
Hace un tiempo conseguí contactar con él y me pareció interesante hacerle unas preguntas para que los lectores de este blog conozcan un poco más a la gente que participa (con éxito) en este tipo de eventos.
¿Nos puedes decir tu edad, de dónde eres y dónde estudias?
Tengo 16 años, y soy de Madrid. Hasta hace un año estudiaba en el colegio Brains, de Alcobendas. En la actualidad, estudio en el IES San Juan Bautista.
Cuéntanos cómo has llegado a participar en la Olimpiada Internacional y una en la Iberoamericana.
¿Como he acabado en la olimpiada? Pues empecé participando en el concurso de primavera cuando estaba en sexto de primaria, me gustó y desde entonces fui conociendo todo lo que organizan en Madrid. Ese año me presenté a la olimpiada de mayo y a la prueba de Estalmat.
Desde entonces fui presentándome a los concursos de matemáticas que hay, hasta que en 3º de ESO probé suerte en la fase local de la olimpiada. Ese año no pasé a la fase nacional, pero éste lo volví a intentar y fui la nacional, y tuve suerte y quedé el último de los que iban a la IMO.
¿Crees que influye el centro donde estudias en tus logros en los concursos de problemas? ¿Qué factores crees que son importantes?
No, no creo que el centro de estudios haya influido para nada en cualquier cosa que haya conseguido.
Lo que sí creo que ha influido es que de pequeño entre mis padres y algunos libros hicieron que me empezara a interesar por la ciencia, y luego en Estalmat aprendí muchas cosas, completamente distintas de lo que se da en el instituto, y de manera mucho más lúdica y participativa..
¿A qué edad empezó a interesarte la matemática?
Yo creo que me empezó a interesar de verdad a los 12 años, cuando empecé a ir a las clases de Estalmat
¿Te has presentado a otros concursos, además de la Olimpiada Española?
Sí, al Concurso de Primavera, a la Olimpiada de Mayo, al Intercentros y al Puig Adam todos los años que he podido.
¿Perteneces a algún colectivo relacionado con las matemáticas (estalmat, clubes de problemas, ...)?
A Estalmat
¿Te influyó alguien en tu habilidad de forma decisiva? (Un profesor, un familiar, una amistad...)
En estalmat aprendí muchísimo, y además allí te das cuenta de que las matemáticas no se parecen nada a los ejercicios mecánicos del instituto. Antes de eso mi padre, que es químico, me explicaba cosas de matemáticas desde pequeño.
¿Tienes más aficiones, además de los problemas?
Pues claro que tengo más aficiones (!!!???). Me gusta mucho la música, toco la guitarra y el piano, también me gusta salir con mis amigos, leer...
Ya imaginaba, lo que pasa es que a veces, cuando uno destaca en algo, piensas que lo disfruta tanto que puede que no le quede tiempo para otras cosas, pero veo que no es tu caso. ¿Qué tienes pensado estudiar en la Universidad? (o cuando acabes tu etapa en secundaria)
No lo tengo muy decidido, pero seguramente alguna carrera de ciencias y probablemente matemáticas
¿Has dedicado mucho tiempo a prepararte para la Olimpiada Internacional?
Pues antes de ir estuve yendo los sábados a clases de preparación con gente de Madrid y exolímpicos, y un par de semanas antes de la olimpiada estuve haciendo problemas en mi casa.
¿Crees que con más preparación, o variando algún otro factor (evidentemente, sin conocer las preguntas, claro) se podría haber mejorado el resultado obtenido en la IMO?
Hombre, siempre es posible prepararte más, y siempre conseguirás mejores resultados, hasta llegar al punto de equipos como china que llegan a hacer miles de problemas en los años anteriores a la olimpiada. Yo creo que perjudicaron mucho los nervios en la prueba, y si esa prueba la hubiésemos hecho en una clase, creo que varios habrían sacado plata en la olimpiada.
¿Qué destacarías de la experiencia de participar en este tipo de concursos, a nivel personal?
La posibilidad de conocer a seiscientos personas de tu edad de todo el mundo. No creo que tenga otra oportunidad así de otra forma.
¿Piensas que estas actividades benefician también a los que no ganan? ¿Y a la sociedad en general? ¿Por qué?
Cualquiera que esté allí se va a beneficiar del ambiente de compañerismo que hay, y hacer amigos de toda España o del mundo con gustos parecidos a los tuyos. A la sociedad, bueno, se lleva beneficiando desde siempre de las matemáticas, y yo creo que está muy bien que salgan jóvenes matemáticos y científicos de las olimpiadas.
Gracias por contestar estas preguntas, Moisés. Si alguien deja alguna cuestión interesante en los comentarios del blog, te la enviaré para que comentes algo. Hasta siempre.
Actualización: He cambiado el centro de estudios, porque desde que le hice las preguntas ha cambiado de centro. Gracias por la rectificación.
Primer problema de la 49 Olimpiada Internacional de Matemáticas (2008)
Un triángulo acutángulo ABC tiene ortocentro H. La circunferencia con centro en el punto medio de BC que pasa por H corta a la recta BC en A1 y A2. La circunferencia con centro en el punto medio de CA que pasa por H corta a la recta CA en B1 y B2. La circunferencia con centro en el punto medio de AB que pasa por H corta a la recta AB en C1 y C2. Demostrar que A1, A2, B1, B2, C1 y C2 están sobre una misma circunferencia.
Comentario: este problema, por ser el primero, fue el que más concursantes resolvieron satisfactoriamente. El 60% alcanzaron la puntuación máxima. Además, sólo un 11% no lograron ni siquiera un punto con él.
Felipe Gago actuó de Jefe de Delegación (Team Leader) del equipo español en la 49 edición de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO), celebrada el pasado mes de julio en Madrid. Gracias a una serie de afortunadas coincidencias le conozco personalmente, y ha tenido la amabilidad de responder a unas cuantas preguntas para publicarlas en este blog.
Espero que esta entrevista os resulte interesante. Si es así, procuraré publicar más en el futuro, con personas dedicadas a este tipo de eventos.
Hola, Felipe. ¿Nos puedes decir cuál es tu trabajo habitual?
Soy profesor en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela.
¿Qué relación has tenido hasta este curso con las Olimpiadas Matemáticas?
Desde 1999 estoy en la Comisión de Olimpiadas de la RSME y organizo la Fase Autonómica de la Olimpiada Matemática Española (OME) en Galicia. También he organizado la fase Nacional de la LXI OME en 2005, y, como recordarás, coincidimos como miembros del Tribunal de Coordinación el la XIX Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas que se celebró en Castellón.
¿Cuándo te ofrecieron actuar de líder del equipo español?
La decisión se tomó en Valencia, en la Fase Nacional de la XLIV OME.
¿Cómo calificarías la experiencia?
Poder participar en el Jurado como Jefe de Delegación es una experiencia enriquecedora en si misma, y hacerlo cuando la Olimpíada se celebra en tu país añade un plus de ilusión y responsabilidad.
¿Qué opinas de los resultados del equipo español en la 49ª IMO?
Después de los recientes éxitos deportivos de españoles en competiciones internacionales, pueda que a alguien le sepa a poco lo cosechado por nuestros chicos en la 49 IMO. Lo cierto es todos han estado a buen nivel y fue una pena que se les resitiesen los problemas 2 y 5, que hubiesen significado un cambio substancial en el medallero. Pero todos han obtenido al menos una mención de honor por haber resuelto correctamente alguno de los problemas.
¿Te parecieron difíciles las pruebas?
En mi opinión no se puede hablar de fácil o difícil en los problemas de olimpíada, lo más que se puede hacer es juzgar por los resultados.
Lo que quiero decir es que, en el Jurado, los países no punteros opinaban que los problemas 3 y 6 no habían salido suficientemente difíciles y que eso no nos favorecía; algunos llegaban a vaticinar que las medallas de oro requerirían "perfect score". Si miramos los resultados vemos que sólo hubo 3 chicos con la máxima puntuación de 42 puntos.
¿Tienes alguna anécdota que quieras compartir con los lectores del blog?
Como sabes, el jefe de delegación y el tutor corrigen los ejercicios de los chicos para después coordinar la nota con el Tribunal. Pues bien, uno de nuestros chicos, en el problema 1, olvidó reflejar que el centro de la circunferencia cuya existencia había que demostrar coincidía con el circuncentro del triángulo dado. Y ahí nos tienes al tres veces olímpico, Luis Hernández Corbato, que era el tutor del equipo español, y a mí rastreando en el papel los puntos en los que había apoyado el compás para hacer unas mediatrices, por ver si podíamos justificar que la idea estaba implícita. Fue bastante divertido, aunque infructuoso.
¿Nos puedes hacer un resumen de los objetivos que crees que cubre la IMO?
La IMO en sí es una auténtica fiesta de las matemáticas. Para todos aquellos que llevamos dentro el gusanillo es un evento inolvidable. Desde mi punto de vista, el objetivo más importante es el de dar relevancia social al esfuerzo de mucha gente, no sólo de los particpantes, que dedica muchas horas a desarrollar sus capacidades. Por otra parte, están los intrínsecos de la competición: descubrir, animar y retar a aquellos estudiantes especialmente dotados para la matemática. En todo el proceso, de difusión, selección y preparación, además se establecen relaciones entre alumnos y profesores que resultan de provecho para todos.
¿Crees que se podría hacer una mayor labor de difusión? ¿Sería útil?
Siempre se puede hacer algo más, naturalmente. Donde tenemos que aumentar la labor de difusión es para la Olimpiada Matemática Española, consiguiendo que más y más profesores vean que es una salida natural para estudiantes con especial gusto por (o capacidad para) resolver problemas. Creo que nosotros aún vemos la participación en la IMO como un premio para los ganadores de la OME. En otros países es un objetivo en si mismo, y lo demás no son sino etapas necesarias. Son puntos de vista.
Yo también pienso que muchas personas con gran potencial no participan en la OME, bien sea por falta de información, o por que no creen que les puede beneficiar. ¿Qué quieres decir con que participar en la IMO lo vemos como un premio para los ganadores de la OME?
Lo que quiero decir, es que en otros países el equipo de la IMO se selecciona por medio de varias pruebas que a su vez forma parte de la preparación. A los concursantes se les exige mucho más, se les libera de clases para que puedan concentrarse en la preparación, se les hace competir más entre ellos.
Nosotros, no interferimos (o lo hacemos lo menos posible) con su vida académica: está también su selectividad, "su futuro" y así. Lo vemos como algo más "amateur", como complementario.
En cuanto a la selección, pues es así, los seis medallas de oro de la OME ya forman participan en la IMO, como antes los ganadores de las fases locales compiten en la fase nacional. No quiero decir que sea mejor, pero si sería distinto si, digamos los 12 primeros de la OME, viéndose próximos a las medallas, tuviesen oportunidad de ser formados un tiempo y volver a competir entre ellos para estar en el equipo.
En fin, son reflexiones de un científico, sentado en su mesa de trabajo. Después está como se lleva esto a la práctica y como se conjuga con con nuestro trabajo (nuestro famoso voluntarismo, que no en todas partes es así) y con las necesidades de los chicos.
¿Se establecen contactos con matemáticos, o futuros matemáticos, de otros países en este tipo de eventos?
No es un tópico lo de la familia olímpica. Date cuenta de que desde el día 10 hasta el 17 los miembros del jurado estuvimos prácticamente encerrados en el hotel, y a pesar del mucho trabajo, esto favorece el contacto y el conocimiento mútuo. Se producen intercambios de experiencias, problemas de las distintas olimpíadas, soluciones y comentarios a los problemas en los que se trabaja para preparar la prueba, etc. Hay personas con mucha experiencia y años de dedicación cuyas opiniones tienen peso en las decisiones, pero aún así, en las distancias cortas, se muestran abiertos y son generosos.
También los participantes tienen muchas oportunidades para establecer relaciones con otros que comparten sus aficiones, aunque de distintas lenguas y culturas.
¿Participas en labores de formación de participantes?
Estoy en contacto con con los responsables de ESTALMAT en Galicia y he colaborado en labores de organización, pero no en labores formativas. Lo que sí hago es preparar a los ganadores de la Fase Autonómica en Galicia para acudir a la Fase Nacional Española.
¿Vas a participar en la Iberoamericana de este mes de septiembre, en Brasil?
!Ya me gustaría! pero hay que dejar paso.
Gracias por todo, y hasta pronto, Felipe. Si alguien propone en los comentarios alguna pregunta interesante, te escribiré para pedir tu opinión.
Tercer problema de la 49 Olimpiada Internacional de Matemáticas (2008)
Demostrar que existen infinitos números enteros positivos n tales que n2 + 1 tiene un divisor primo mayor que 2n + √(2n) (la expresión es el doble de n más la raíz cuadrada del doble de n).
Comentario: inicio la publicación de problemas de categoría internacional. Esta sección será mensual, y propondrá problemas extraídos de competiciones preuniversitarias de carácter internacional. Proponer en primer lugar el problema 3 de la IMO 2008 tiene para mí un significado especial, pues trabajé con él durante la coordinación.
El porcentaje de participantes que solucionó este problema en la olimpiada fue bastante bajo (8,60 %), como corresponde a un problema tercero, que suele ser el más difícil de la jornada.
El pasado día 21 se clausuró en Madrid la 49 edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Para mí, ha sido una experiencia inolvidable, debido a que, como ya comenté en el blog, he sido invitado a participar como coordinador. Sin embargo, la participación española, pese a lograr tres ajustadas medallas de bronce y tres menciones honoríficas, sigue sin ser destacada, aunque suma el segundo mejor resultado en puntos y el mejor en clasificación (en porcentaje) de su historia.
Tres participantes lograron la totalidad de los puntos en juego, 42, Xiaosheng Mu, Dongyi Wei y Alex Zhai, los tres en su primera participación. Los dos primeros son chinos y el tercero, norteamericano. Muy próximo a ellos está el húngaro László Miklós Lovász, con 39 puntos, en su segunda participación (en Vietnam obtuvo una medalla de plata). La quinta posición la comparten Vladislav Volkov, de Rusia, István Tomon, también de Hungría, y Nikolay Ivanov Beluhov, de Bulgaria, con 37 puntos. Los dos primeros tienen dos participaciones, y el tercero, tres.
A continuación hay otro empate entre cuatro por el puesto octavo, con 36 puntos se encuentra a Pasin Manurangsi, de Tailandia, Dmitry Babichev, de Rusia, Kasra Ahmadi, de Irán, y Umut Varolgunes, de Turquía.
En el siguiente grupo encontramos a Fernando Manrique Montañez, de Perú, el primer hablante de español de la clasificación. También en el mismo grupo aparecen las dos primeras mujeres, Zhuo Chen, de China, y Lisa Sauermann, de Alemania.
En cuanto a España, consigue tres medallas de bronce, las de Arnau Messegué Buisan, Diego Bruno Izquierdo Arseguet y Gabriel Fürstenheim Milerud, y tres menciones honoríficas, las de David Alfaya Sánchez y Moisés Herradón Cueto, con 13 puntos, y la de Juan José Madrigal Martínez, con 11.
Los problemas fueron tan complicados como siempre, pero he decidido que publicaré poco a poco en este blog tanto su enunciado como las soluciones que puedan mostrar cómo se puede razonar para lograr su solución sin unos conocimientos previos excesivamente amplios, pero armado con una gran capacidad para el razonamiento y de búsqueda de patrones. Trataré de que no substituya a ninguna de las secciones que trato hasta ahora, de forma que probablemente aparezca un apartado nuevo cada dos semanas.
Si algún lector tiene curiosidad por algún apartado en concreto, estoy dispuesto a tratar de contestar a cualquier duda que se plantee.
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