domingo, 30 de noviembre de 2008

Hablando de divisores...

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

¿Cuántos números naturales de 1 a 1000 no son divisibles ni por 3 ni por 7 ni por 11?

Solución

viernes, 28 de noviembre de 2008

Alumnos superados

XIV Olimpiada de Mayo, segundo problema del primer nivel, 2008

En el colegio Olímpico los exámenes se califican con números enteros, la menor nota posible es 0, y la mayor es 10. En la clase de aritmética el profesor toma dos exámenes. Este año tiene 15 alumnos. Cuando uno de sus alumnos obtiene en el primer examen menos de 3 y en el segundo examen más de 7, él lo llama alumno superado. El profesor, al terminar de corregir los exámenes, promedió las 30 notas y obtuvo 8.

¿Cuál es la mayor cantidad de alumnos superados que pudo haber tenido esta clase?

Solución

miércoles, 26 de noviembre de 2008

Encuentro Preolímpico de la ESO

Encuentro Preolímipico de Matemáticas de Alicante

Seguimos organizando esta actividad José Antonio Mora, del IES San Blas y varios profesores del IES Miguel Hernández, junto con todos los voluntarios que quieran participar en este proyecto.

Esta segunda jornada, el 18 de diciembre por la tarde, juntaremos en el IES Miguel Hernández a los estudiantes de la E.S.O. (de 1º a 4º, de 12 a 15 años) interesados en presentarse a concursos o competiciones de matemáticas, o sencillamente en la resolución de problemas, para lograr que se conozcan entre ellos e informarles sobre el tipo de competiciones a las que se pueden presentar, las pruebas que deben superar, conozcan páginas web, y que hablen con otros alumnos que, recientemente, hayan participado en ese nivel.

Pensamos que este tipo de encuentros pueden ser interesantes, tanto para los alumnos que empiezan en esto, como para los que llevan algún tiempo concursando.

El encuentro tendrá lugar el 18 de diciembre de 2008, por la tarde (de 17:30 a 20:30), y la competición en la que estará centrado es en la Olimpiada Matemática que organiza la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana Al-Khwarizmi (Societat d'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi).

La inscripción se realizará por correo electrónico, sencillamente enviando un mensaje a la dirección problematemh(arroba)yahoo.es, indicando los siguientes datos: Nombre, edad, etapa en la que está matriculado en el curso 2008-09, centro de procedencia, y un correo electrónico de contacto. Para facilitar cambios de última hora, se agradecería (aunque no es imprescindible) un teléfono de un responsable por centro, para poder avisar con una única llamada a todos los estudiantes de ese instituto o colegio. Con un único correo se pueden inscribir varios estudiantes. La asistencia será gratuita.

Los datos que se envíen se utilizarán exclusivamente para fines de organización del evento, siendo destruidos a continuación, salvo que se manifieste el deseo por parte del asistente a participar en una lista de correo, para futuros contactos, en cuyo caso se mantendrán los necesarios para este fin.

Antes de la celebración del encuentro se enviará un material por correo electrónico para preparar alguna actividad (aunque no será imprescindible para participar).

A falta de perfilar el programa, nos reuniremos a las 17:30, se confeccionarán los grupos de alumnos (preparados para que no se conozcan previamente), se repartirán unos cuantos problemas con algún guión (pistas), y se acudirá a la zona de trabajo (aulas). Después de un rato en el que se contestará a preguntas y se supervise la resolución de los problemas, se les impartirán las charlas, tanto de los profesores que tengan algo que decirles como de alumnos con alguna experiencia. Después, un tiempo para intercambio de datos y direcciones, y despedida.

Espero que también escriban a esta dirección profesores con ganas de aportar, tanto sugerencias como colaboración (seguro que vendrá bien que asistáis y nos contéis vuestras experiencias). Tal vez en otra ocasión podamos montar un grupo de trabajo para los profesores.

lunes, 24 de noviembre de 2008

Los puntos del producto constante

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Dada una circunferencia, y en ella dos puntos fijos, A y B, otro variable, P, y una recta r; se trazan PA y PB, que cortan a r en los puntos C y D respectivamente. Determina dos puntos fijos de r, M y N, tales que el producto CM·DN sea constante al variar P.

Solución

sábado, 22 de noviembre de 2008

El señor Euritis

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Don José Euritis quiere repartir 2008 euros entre Alberto, Blas i Carlos, de la siguiente manera: da 1€ a Alberto, 2€ a Blas, 3€ a Carlos, después, 4€ a Alberto, 5€ a Blas, 6€ a Carlos, y así sucesivamente, mientras puede o hasta que se le acaba el dinero.

¿Cuánto dinero recibe Blas?

¿Cuánto dinero le sobra al señor Euritis?

Solución

domingo, 16 de noviembre de 2008

Monedas en un tablero

XIV Olimpiada de Mayo, quinto problema del primer nivel, 2008

Tablero con monedas

Tablero con monedas

En un tablero de 16 x 16 se colocaron 25 monedas, como en la figura.

En el dibujo apreciamos que se han puesto 16 en la diagonal, 8 en las 8 primeras filas exactamente a la derecha de la diagonal, y una moneda en la primera casilla de la novena fila.

Está permitido seleccionar 8 filas y 8 columnas y retirar del tablero todas las monedas que se encuentran en esas 16 líneas. Determina si es posible retirar todas las monedas del tablero.

Solución

viernes, 14 de noviembre de 2008

Símbolos numéricos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Suma de símbolos

Suma de símbolos

En la siguiente imagen, substituye cada símbolo por un dígito, de forma que la suma sea correcta.

Símbolos iguales representan números iguales, símbolos diferentes, letras diferentes.

Nota: Puede que haya más de una solución ¿cuántas soluciones encuentras? Por si no ves la imagen, puede convertirse a letras de la siguiente forma: A5BC + DEA5 = DF8BE.

Solución

miércoles, 12 de noviembre de 2008

Cuarto problema de la Iberoamericana 2008

Cuarto problema de la 23 Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (2008)

Demuestra que no existen enteros x e y tales que:

x2008 + 2008! = 21y

Es decir, que ninguna potencia de número entero de exponente 2008 puede añadirse al factorial de 2008 de forma que se obtenga una potencia entera de 21.

Solución

domingo, 9 de noviembre de 2008

Coloreando puntos

XIV Olimpiada de Mayo, cuarto problema del segundo nivel, 2008

En el plano se tienen 16 rectas tales que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Sebastián tiene que colorear los 120 puntos que son intersección de dos de las rectas de modo que en cada recta todos los puntos sean de distinto color.

Determina el mínimo número de colores que necesita Sebastián para su tarea.

¿Y si las rectas son 15 (en este caso, los puntos son 105)?

Solución

jueves, 6 de noviembre de 2008

Una desigualdad muy grande

(Fase final de la XLIV Olimpiada Matemática Española, Valencia, 2008)

Prueba que para cualesquiera números reales a,b tales que 0 < a,b < 1, se cumple la desigualdad siguiente:

√(ab2 + a2b) + √((1 - a)(1 - b)2 + (1 - a)2(1 - b)) < √2

Solución

lunes, 3 de noviembre de 2008

Mermelada de cerezas

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Manolo recoge en Caudiel 10 kg de cerezas para hacer mermelada. Al deshuesarlas y pelarlas se pierde 1/5 de su peso. Lo que queda se pone a cocer con una cantidad igual de azúcar. Durante la cocción la mezcla pierde 1/4 de su peso.

¿Cuántos kg de mermelada se obtienen?

Si quisiera obtener 10 kg de mermelada, ¿cuántos kg de cerezas necesitaría?

Solución