domingo, 29 de julio de 2007

Área a partir del perímetro

cuadrado dividido

cuadrado dividido

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Un cuadrado queda dividido en tres rectángulos iguales al trazar dos rectas paralelas a uno de los lados, como se ve en la figura. Si el perímetro de cada uno de los rectángulos es 24 ¿cuánto vale el área del cuadrado?

Solución

jueves, 26 de julio de 2007

El campamento de verano

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) En un campamento de verano hay 96 jóvenes que se han de repartir en grupos, de forma que en cada grupo haya el mismo número de personas. ¿De cuántos tamaños diferentes pueden ser los grupos, teniendo en cuenta que deben tener más de 5 pero menos de 20 jóvenes?

Solución

domingo, 22 de julio de 2007

Área descubierta

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Se da un triángulo rectángulo isósceles ABC, con el ángulo recto en C, y los catetos de longitud 2. Un arco de círculo l con centro A divide al triángulo en dos partes de la misma área, mientras que el arco de círculo m con centro en B es tangente al arco l en un punto de la hipotenusa AB.

Hallar el área de la porción del triángulo no cubierta por los sectores circulares correspondientes a los dos arcos.

Solución

viernes, 20 de julio de 2007

Operaciones

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Este problema tiene dos partes.

a) Calcula el resultado de la operación siguiente:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 =

b) Para numerar las páginas de un libro son necesarios 2989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Solución

domingo, 15 de julio de 2007

El dinero de Iván

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Según un antiguo cuento ruso, Iván "el perezoso" se encontraba un día paseando a la orilla de un río.

-Todo el mundo me dice que me busque un trabajo o que me vaya al infierno -suspiró-. No creo que ninguna de las dos cosas me ayude a hacerme rico.

Tan pronto como acabó de decirlo se le apareció el diablo en persona.

-¿Quieres ganar dinero, Iván? -le preguntó.

Iván asintió.

-Muy bien -continuó el diablo- ¿ves ese puente? Todo lo que has de hacer es cruzarlo. Cada vez que vayas de una parte a otra, se duplicará el valor de lo que lleves en el bolsillo.

A Iván le gustó la propuesta, y ya se dirigía hacia el puente, cuando el diablo lo detuvo.

-Un momento -le dijo-. Ya que me he mostrado tan generoso contigo, creo que me merezco una pequeña recompensa por mis esfuerzos. Deberás darme 8 rublos (moneda rusa) cada vez que cruces el puente.

Iván se apresuró a asentir. Cruzó el puente y metió su mano al bolsillo. Su dinero se había duplicado por arte de magia. Le lanzó 8 rublos al diablo, que esperaba al otro lado del río, y volvió a cruzar el puente. Otra vez volvió a multiplicar su dinero. Le pagó otros 8 rublos al diablo, y cruzó por tercera vez el puente. Y el dinero volvió a duplicarse. Pero, al contarlo, descubrió que sólo le quedaban 8 rublos, que hubo de entregar al diablo, con lo que se quedó sin dinero para multiplicar cada vez que cruzara el puente. El diablo recogió el dinero, y desapareció en medio de una sonora carcajada.

¿Cuanto dinero tenía Iván en el bolsillo cuando hizo su particular pacto con el diablo?

Solución

jueves, 12 de julio de 2007

Sudoku

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Resuelve el siguiente sudoku:

Solución

domingo, 8 de julio de 2007

Doblando un cuadrado

(I Concurso del IES Miguel Hernández) En el cuadrado de papel (que tiene de lado tres unidades) ABCD de la figura se ha buscado un punto E situado sobre el lado DC (que dista una unidad de D). Y se ha doblado el cuadrado de papel de forma que A pase a coincidir con E. En estas circunstancias, se forman tres triángulos que sólo están formados por una capa de papel. Demuestra que el perímetro del triángulo mayor es la suma de los perímetros de los otros dos, y que vale la mitad que el perímetro del cuadrado (teorema de Haga).

Cuadrado doblado

Cuadrado doblado

Solución

jueves, 5 de julio de 2007

Edades para ir de fiesta

(I Concurso del IES Miguel Hernández) La media de edad de una fiesta coincide, casualmente, con el número de personas que asisten. En un momento determinado de la noche acude a la fiesta una persona que tiene 29 años y (oh, sorpresa) la media de edad de la fiesta sigue coincidiendo con el número de personas que asisten. ¿Cuántas personas había en la fiesta (antes de que llegara el último visitante)?

Solución

domingo, 1 de julio de 2007

Los elefantes del circo

(I Concurso del IES Miguel Hernández) Un experto domador de elefantes de un circo tarda 40 minutos en asear uno de estos enormes paquidermos. Su hija, que le ayuda en la tarea, aún tiene mucho que aprender, y tarda 2 horas en asear cada elefante del que se ocupa. Trabajando entre los dos ¿cuánto tardarán en asear la manada del circo, compuesta por 6 elefantes? ¿cuántos elefantes habrán limpiado al final cada uno?

Solución