domingo, 22 de julio de 2007

Área descubierta

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Se da un triángulo rectángulo isósceles ABC, con el ángulo recto en C, y los catetos de longitud 2. Un arco de círculo l con centro A divide al triángulo en dos partes de la misma área, mientras que el arco de círculo m con centro en B es tangente al arco l en un punto de la hipotenusa AB.

Hallar el área de la porción del triángulo no cubierta por los sectores circulares correspondientes a los dos arcos.

Solución

3 comentarios:

Anil dijo...

Hola, he estado estudiando este problema y planteo la siguiente resolución:

1º - Hallamos el area del triangulo.

2º - Con este dato y la fórmula del area del círculo, teniendo en cuenta el ángulo A(45º) y que el area encerrada entre el arco y el triangulo es de 1, deducimos que el area del circulo es 8 y por tanto el radio es sqrt(8/pi).

3º - Hallamos la ecuación del círculo: (x-x0)^2 + (y-y0)^2 = p^2.

4º - Ahora hallamos la ecuación de la recta que corresponde a la hipotenusa: y = mx + b.

5º - Formamos un sistema de ecuaciones no lineal con ambas ecuaciones y hallamos el punto de corte del círculo l con la recta hipotenusa. Obtendremos dos puntos así que elegimos el que está dentro de [0,2].

6º - Este dato se correspondería con el valor del punto en el ke el circulo m es tangente, puesto que no hay más puntos de corte sobre la recta.

7º - Calculamos, mediante el teorema de Pitágoras, el radio del círculo m, que se corresponde con la hipotenusa del triángulo formado por la recta x=0 y la recta en 'y' correspondiente a la componente 'x' del punto de corte.

8º - Con este dato hallamos el area del círculo m y la dividimos entre 8 para obtener el area que le "quita" al triángulo.

9º - Restandole al area del triángulo, el area de intersección del circulo l y el area de intersección del círculo m, obtenemos el area "libre" del triángulo ABC.

Matemáticamente no lo tengo desarrollado, de todos modos la idea sería esa si no me equivoco.

Proble Mático dijo...

Los puntos 3 al 7 se pueden substituir por un sencillo cálculo si te fijas en las propiedades de los radios y las tangentes.

Melf dijo...

Efectivamente comenzaste bien hasta el pase 3.
veamos:
3. Segín pitagoras, el largo de la hipotenusa del triangulo sería sqrt(8)

4. Como los dos circulos son tangentes sobre la hipotenusa, el radio de m sería la hipotenusa menos el radio de l, esto es:
sqrt(8)-sqrt(8/pi)

5. El área de m es pi*r^2, esto es:
pi*(sqrt(8)-sqrt(8/pi))^2

6. Como el ángulo en B también es de 45 grados, el área del pedazo del triángulo solapado por m, sería el área de m entre 8:
(pi*(sqrt(8)-sqrt(8/pi))^2)/8

7. El área del triángulo es 2, menos 1 del pedazo solapado por l, sobra 1 menos el área que acabamos de calcular, y tenemos el pedazo que buscabamos:

1-(pi*(sqrt(8)-sqrt(8/pi))^2)/8 = 0,403315048