viernes, 20 de julio de 2007

Operaciones

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Este problema tiene dos partes.

a) Calcula el resultado de la operación siguiente:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 =

b) Para numerar las páginas de un libro son necesarios 2989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Solución

3 comentarios:

Anil dijo...

La solución es simple:

1-2+3-4...

Si nos fijamos los números pares son negativos y los impares positivos, luego hacemos parejas de impar-par como las siguientes:

1-2,3-4,5-6

El resultado de cada pareja siempre es -1, luego teniendo en cuenta que hay 50 parejas, el resultado es -50.

Otro de los posibles métodos es el utilizado por Gauss en un problema parecido, la suma de todos lo números del 1 al 100. Cojamos dos sumariales:

1+3+5+...+99
2+4+6+...+100

Cogiendo parejas de extremos tal que así:

1+99,3+97,5+95...=100,...
2+100,4+98,6+96...=102,...

Luego:

25*100=2500
25*102=2550

En este caso, los impares son positivos y los pares negativos:

2500-2550=-50

Saludos

Anil dijo...

Para el segundo problema, planteo una solución de la cual no estoy 100% seguro:

Tenemos 10 dígitos (0..9) luego el número más grande que podemos generar con 2989 dígitos sería:

999..(2983)..999

Luego el número más grande que podemos generar es (10^2989)-1 si no me equivoco.

El número de páginas exactas que tiene el libro no podemos saberlo, pero el máximo es (10^2989)-1.

Supongo que el rango sería:

[10^2988,(10^2989)-1]

Saludos

Anil dijo...

Para la segunda solución había entendido que el número de página más grande tenía 2989 cifras, fallo mio!

Saludos