domingo, 3 de octubre de 2010

Área sombreada

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Área sombreada

Área sombreada

Calcula el área sombreada si suponemos que la medida del lado del cuadrado grande es L.

El círculo interior es tangente al cuadrado en los centros de los cuatro lados, y el cuadrado interior tiene los cuatro vértices sobre el borde del círculo. El área es la parte del círculo que no está dentro del cuadrado interior.

Solución

6 comentarios:

Anónimo dijo...

El lado del cuadrado grande tiene longitud L, esto implica que la longitud del diámetro de la circunferencia también será L y además este coincide con la longitud de la diagonal del cuadrado pequeño por lo que:
Sea 'a' el lado del cuadrado pequeño, luego por pitágoras
a^2+a^2=L^2
a=L/(raiz 2)
Entonces el área achurada será igual al área de la circunferencia menos el área del cuadrado pequeño:
A=pi*(L/2)^2-L^2/2
A=pi*L^2/4-L^2/2
A=(L^2)(pi-2)/4

Pablo Felipe Martínez Ramos

Anónimo dijo...

formamos un triangulo, compuesto por dos radios y uno de los lados, de donde r=L/sqrt(2)
ahora el area de todo el circulo es
Aci=pi*r^2= (pi*L^2)/2,
el area del cuadrado es
Acu=L^2
el area sombreada es entonces
As=Aci-Acu=L^2(pi/2-1)

Anónimo dijo...

L=diametro=2r
r=L/2
el lado del cuadrado interior es
r*sqrt(2)=(L*sqrt(2))/2
ahora el area sombreada es el area de la circunferencia interior menos el area del cuadrado
As=pi*r^2-(L^2/2)=(pi*L^2)/4-(L^2/2)
As=(L^2/4)*(pi-2L)

Roberto dijo...

Asombreada= 0.0782 L^2

Roberto dijo...

Asombreada= 0.0782 L^2

Cristina Velázquez dijo...

Hola!!!!
Mil gracias por enriquecer con tu aporte a "Tu Blog en mi Blog".
http://tublogenmiblog.blogspot.com/2010/10/problemas-matematicos.html

Saludos y seguimos en contacto.
Cristina