jueves, 30 de septiembre de 2010

2010 es un buen año

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Si consideramos todos los números pares entre 2 y 2010, hay cinco números pares consecutivos que suman exactamente 2010. Averigua de qué números se trata y comprueba que es cierto.

Solución

5 comentarios:

Anónimo dijo...

Como los números tienen que ser de la forma: n, n+2, n+4...
podemos referirnos a la suma de los 5 números como :

n+n+2+n+4+n+6+n+8=2010
Operamos y nos queda:

5n+20=2010
Y despejando n
n=398
por lo tanto esos números son:
398
400
402
404
406
Pues:
398+400+402+404+406=2010

David dijo...

Lo había puesto en otra entrada...

como son cinco números, el valor media es la media aritmética del resultado final.

Para hallar el primero de los cinco números debemos retroceder 2 número pares, o restar 4 y entonces hallamos los cinco números sumando de dos en dos.

También podemos recurrir al álgebra para hallar el primer término de la serie:

Cinco términos consecutivos sumando de 2 en 2;
x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=5x+20

Suman 2010;
5x+20=2010

Ahora resolvemos:
5x-20=2010
5x=2010-20
5x=1990
x=1990/5
x=398

Proble Mático dijo...

Ja!
El caso es que me pareció, cuando lo publicaba, que la respuesta no iba con la pregunta, pero bueno....

Eclotor dijo...

se divide 2010 entre 5 y sale el primer numero luego le restas 2 y 4 y salen otros dos numeros luego a el primer numero le sumas 2 y 4 y ya tienes los cinco numeros que son.
398
400
404
404
406

Anónimo dijo...

Para que 5 números pares consecutivos puedan sumar 2010, el de en medio de ellos deberá ser la 5ª parte de 2010, si hacemos 2010/5 obtenemos 402, y por tanto los números deberan ser 398, 400, 402, 404, 406. Si realizamos la suma vemos que efectivamente llegamos a la solucion.