domingo, 26 de septiembre de 2010

Entre 2 y entre 3

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Halla todos los números naturales n que verifican la condición [n/2] + [2n/3] = n + 335, donde [x] es la parte entera de x (esto es, [1,32] = 1, [2] = 2, [1/2] = 0, [3,14159...] = 3, etc).

Solución

4 comentarios:

David dijo...

No se ver [x] en el enunciado, en la fórmula original aparece solo "n" como variable.

Por cierto, es casualidad que la solución en base a "n" sea 2010?

Anónimo dijo...

‎|n/2|+|2n/3|=n+335
Por el algoritmo de euclides n puede ser escrito de la siguiente manera:
N=6k+r 0=<r<6
Reemplazando en la ecuación:
|(6k+r) /2|+|2(6k+r)/3|=6k+r+335
Despejando k
|(6k+r) /2|+|2(6k+r)/3|=6k+r+335
|(6k/2+r/2|+|(12k+2r)/3|=6k+r+335
|(3k+r/2|+|4k+2r/3|=6k+r+335
3k+|r/2|+4k+|2r/3|=6k+r+335
K=335+r-|r/2|-|2r/3|
Por lo tanto
n=6[335+r-|r/2|-|2r/3|]+r
Reemplazando los valores de r=0,1,2,3,4,5 obtenemos:
n=2010,2012,2013,2014,2015,2017
Salu2!
PABLO FELIPE MARTINEZ RAMOS

Lluís Usó dijo...

Les solucions possibles són, lògicament, 6 (2*3=6)

Per tal de buscar-les d'una manera ordenada:

Sabem que un nombre natural n pot ser imparell o parell (0, o 1 mod 2)
i que pot ser 0,1,2 mod 3. ja es veu que tindrem 6 casos.

n=0mod2, 0 mod3 2010 (trivial)
n=0mod2,1 mod3 (2n 2 mod3)
cal que restem dos a 2n per a que done exacte, així, obtenim 2010+4
n=0mod2,2mod3 (2n=1mod3)
cal restar només 1, per tant 2010+2
n=1mod2, 0 mod3
2010+3
n=1mod2, 1mod3 (2n=2mod3)
2010+7
n=1mod2, 2mod3 (2n 1 mod3)
2010+5

en general, i per si no s'entén:
si n=amod2, i 2n=bmod3, l'equació a plantejar és: (n-a)/2+(2n-b)/3=n+335 Dací s'obtenen els resultats finals (encara que es veu directament que el resultat serà 335*6+3a+2b...

Lluís Usó dijo...

Els resulatts possibles son 2010,2010+2,+3,+4,+5,+7

Siga n=a mod2 (a pot ser 0 o 1)
2n=bmod 3 (0,1,2)
aleshores, la equació equivalenta l'enunciat és: (2-a)/2 +(2n-b)/3=n+335

és clar que la solució és 6*335+3a+2b. Per a cada combinació vàlida (totes) de a i b hi ha una solució vàlida diferent