Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010
Busca el número más pequeño que cumple que si lo divides por 24 da de resto 9 y si lo divides por 97 también da de resto 9.
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4 comentarios:
Dado que 97 y 24 son primos entre si, el minimo comun multiplo es 97*24=2328. Este es el numero más pequeño que da exacto (residuo cero) al dividir por 24 o 97. sumamos 9 y obtenemos el numero buscado. 2337
Sea n el número que se busca. Al dividirlo por 24 se obtiene un cociente p y un resto 9. Al dividirlo por 97 se obtiene q y un resto 9. Por lo tanto se puede establecer las siguientes ecuaciones:
24p+9 = n
97q+9 = n
Igualando se obtiene:
24p+9 = 97q+9
Se resta 9 a ambos lados de la igualdad, y se despeja alguna variable:
p = 97q/24
Ahora hay que asignarle un valor a q, para que p sea un número entero. El menor número que se le puede asignar es 24 (97 es primo). De esa manera se obtiene los valores de p y q:
p = 97
q = 24
Al reemplazar alguno de estos valores en las ecuaciones formuladas al comienzo, se obtiene el valor del número buscado:
24*97+9 = n
2337 = n
Por lo tanto, el número buscado es 2337.
No sé si esta es la manera más corta de resolver el problema, pero fue lo primero que se me ocurrió :)
Felicitaciones por el blog.
Podemos escribir n de las siguientes maneras:
1)n=24p+9
2)n=97q+9
igualando n
24p+9 = 97q+9
24p=97q
como (24,97)=1, entónces:
p=97
q=24
reemplazando en 1) o en 2)
n=97(24)+9
n=2337
PABLO FELIPE MARTINEZ RAMOS
Sea x nuestro número
x mod 24 = 9 ==> existe a tal que 24a+9=x
x mod 97 = 9 ==> existe b tal que 97b+9=x
Igualando ambas ecuaciones nos queda que 24a=97b <==> 24a-97b=0 <==> a=97lambda,b=24lambda siendo lambda cualquier número entero.
Llevándonos este resultado a la ecuación 24a+9=x, tenemos que
24.97lambda+9 = x <==> 2328lambda+9 = x
Por tanto tenemos que encontrar el lambda (nºentero) que minimice esa expresión.
*Si aceptamos que x puede ser negativo, no existe una solución única, ya que hay infinitos números negativos que verifican la ecuación
* Si no aceptamos esto, para lambda = 0, tenemos x = 2328*0+9=9
x=9 verifica la ecuación
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