domingo, 2 de septiembre de 2007

Fracciones enteras

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Un número positivo x verifica la relación siguiente: x2 + (1/x2) = 7.

Demuestra que el valor x5 + (1/x5) es entero, y calcula su valor.

Solución

11 comentarios:

ups dijo...

Demostrar que es un entero a priori no se me ha ocurrido cómo, así que aquí te dejo la demostración de todo a la vez:
Hay que ver que x^5+x^-5 es un número entero. Veremos que si elevamos esta cantidad al cuadrado obtenemos un cuadrado perfecto:
(x^5+x^-5)^2=(x^2)^5+(x^-2)^5+2.
Por comodidad denoto y=x^2
Aplicando las fórmulas de los binomios de Newton y obtenemos que
y^5+y^-5=(y+y^-1)^5-10(y+y^-1)-5(y^3+(y^-1)^3)
=(y+y^-1)^5-10(y+y^-1)-5[(y+y^-1)^3-3(y+y^-1)]
Ahora substituyendo (y+y^-1) por su valor: 7 resulta que
(x^5+x^-5)^2=7^5+10*7-5*7^3+15*7+2= 15129=123^2

Es la forma más sencilla que se me ha ocurrido, si unos se pone a hacer cuentas se desespera, al menos eso me pasó a mi

Proble Mático dijo...

No sigo del todo tu razonamiento, aunque parece ser (casi) correcto el resultado (deberías acabar diciendo que da 123).
Tal vez deberías detallarlo más, si quieres que lo entienda gente de bachillerato, creo.
Gracias de todas formas por el esfuerzo.

ups dijo...

Voy a intentar escribirlo mejor:
Notacion: a^b=a·..·a (b veces), siendo b un número natural, a^-b= 1/(a^b)

Ver que (x^5+x^-5) es un número entero es equivalente a ver que su cuadrado: (x^5+x^-5)^2 es un cuadrado perfecto.

Más concretamente, veremos que (x^5+x^-5)^2=123^2, luego x^5+x^-5=123

Nosotros sólo sabemos lo que vale
x^2+x^-2, luego vamos a intentar ponerlo todo en esos términos, de ahí que vayamos a trabajar con el cuadrado de la cantidad que nos piden.

Vamos a hacer lo posible para escribirlo todo en términos de lo que conocemos: x^2+x^-2 (y sus potencias).
Empezamos desarrollando el cuadrado de la cantidad que nos piden:
(x^5+x^-5)^2= (x^5)^2+(x^-5)^2+2x^5x^-5=
(x^2)^5+(x^-2)^5+2 [1]
Aquí hemos utilizado que (a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^b

Tal y como se ha comentado antes, queremos ponerlo todo en términos de potencias de x^2+x^-2. En la igualdad [1] las potencias que aparecen son dos términos del desarrollo de la potencia quinta de la suma:
(a+b)^5= a^5+5a^4·b+10a^3·b^2+10a^2·b^3+5a·b^4+b^5
luego:
a^5+b^5= (a+b)^5-5(a·b^4+a^4·b)-10(a^3·b^2+a^2·b^3)
En nuestro caso a=x^2, b=x^-2. Substituyendo tenemos que
(x^2)^5+(x^-2)^5=
(x^2+x^-2)^5-5(x^2·(x^-2)^4+(x^2)^4·x^-2))
-10((x^2)^3(x^-2)^2+(x^2)^2(x^-2)^3)
=(x^2+x^-2)^5-5((x^2)^3+(x^-2)^3)-10 (x^2+x^-2)
Substituimos esta cantidad en [1], y usamos que (x^2+x^-2)=7
(x^5+x^-5)^2= 2+(x^2+x^-2)^5-10 (x^2+x^-2)-5((x^2)^3+(x^-2)^3)= 2+7^5-7·10-5((x^2)^3+(x^-2)^3)= 16.739-5((x^2)^3+(x^-2)^3) [2]

Ahora procedemos de la misma manera que antes, pero en lugar de potencias quintas, cúbicas. La potencia cúbica de la suma:
(a+b)^3= a^3+3a^2·b+3a·b^2+b^3
de donde:
a^3+b^3=(a+b)^3-3(a^2·b+a·b^2)
Al igual que antes, a=x^2, b=x^-2.
x^2^3+x^-2^3=(x^2+x^-2)^3-3((x^2)^2·x^-2+x^2·(x^-2)^2)
= (x^2+x^-2)^3-3(x^2+x^-2)

Substituimos en la ecuación [2], la expresión que acabamos de obtener y usamos que x^2+x^-2=7
(x^5+x^-5)^2=16.739-5((x^2+x^-2)^3-3(x^2+x^-2))=
16.739-5(7^3-3·7)=15.129= 123^2
Luego, tomando la raiz cuadrada (positiva) obtenemos el resultado deseado: x^5+x^-5=123


Es lo mejor que he podido hacer, pero puede que ahora me haya pasado... Ya me dirás qué te parede

Proble Mático dijo...

Me parece estupendo.
Una explicación clara, y un trabajo excelente.
Gracias por tu tiempo y tu paciencia.
Cuando saque la solución, verás que yo he empleado un método diferente, pienso que más cómodo para un alumno de bachillerato, pero menos general que el tuyo.

Sara dijo...

lo mío es pura deformación profesional, estoy acostumbrada a ir descomponiendo el problema que tengo en otros que sepa resolver o más bien, a partir de otros que sé su solución intentar obtener la solución del que tengo. También es lo que le digo a mis chicos. Respecto a lo que saben los de bachiller, no tengo ni la más remota idea porque los míos son un poco mayores, este año los tengo todos de 2º de carrera, y aunque sé que yo había dado el binomio de Newton bastante antes de 3º BUP, con el plan de estudios actual estoy totalmente perdida.

Tengo que reconocer que jamás se me hubiera ocurrido hacer la resolución que has hecho.

Proble Mático dijo...

Hola, Sara.
Yo trato de ponerme en la posición que debe tener uno de los alumnos que se enfrente a este problema sin un conocimiento profundo de métodos especiales, o fórmulas.
Pero también trato de que saquen conclusiones que les sirvan para otros problemas y otras situaciones, y ver soluciones de otras personas (como las que aportas tú) siempre es útil.
Gracias por colaborar.

andre dijo...

me ayudan con este problema es:
un tanque de AGUA contiene 40 litros q equivalen a 3/4 de su capcidad.
¿cual es la capacidad total del tanque?

Proble Mático dijo...

Pues si contiene 40 litros, y eso son los 3/4, la tercera parte, es decir, 40/3 o 13 y un tercio de litro es un un cuarto, que es lo que le faltaría para estar lleno, es decir, que su capacidad máxima serían 53 y 1/3, o 160/3 de litro.

Brother dijo...

Hola a todos como va!!, espero que muy bien :). No entiendo mucho esto y queria saber si alguien podria realizar este problema paso por paso asi se como realizar a futuro otro similar, Muchas gracias por su tiempo!!.

- Un tren debe recorrer una distancia total de 1240 Km y lo hará en 4 etapas: en la primera, 16/40 (fracción) de ese trayecto, en la segunda 3/10 ( fracción); en la tercera 1/8 (fracción); y en la cuarta el resto. ¿de cuantos km consta cada etapa?.

Proble Mático dijo...

Brother, de lo que se trata es de que calcules las fracciones del total , es decir, 16/40 de 1240, es decir, 1240 dividido entre 40, que da 31, y multiplicado por 16, que es 496 kilómetros, la segunda 3/10 de 1240, que son 372, y la tercera 1/8, que es 155. Eso hace un total de 1023, lo que quiere decir que en la última etapa hace 217 kilómetros, que es lo que le falta.

Brother dijo...

Proble Mático, sos un genio , era simple , ahora lo entiendo y realmente es facil, solo necesitaba alguien que sacara el oxido, gracias por tu tiempo , y seguramente estaremos en contacto!!