domingo, 9 de diciembre de 2007

Consecuencias de una igualdad

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Los números reales no nulos a y b verifican la igualdad (a2b2)/(a4 - 2b4) = 1.

Encontrar, razonadamente, todos los valores tomados por la expresión (a2 - b2)/(a2 + b2).

Solución

2 comentarios:

leonsotelo dijo...

Si llamamos a^2=x y b^2=y nos queda
x^2-yx-2y^2=0.Vamos a factorizar esta expresión.
Multiplicamos por 4
4x^2-4yx-8y^2=0. Debemos completar el cuadrado en esta ecuación de segundo grado en x simplemente añadiendo y^2 a los dos miembros
4x^2-4yx-8y^2+y^2=y^2 de donde
(2x-y)^2=(3y)^2;(2x-y)^2-(3y)^2=0
(2x-y+3y)(2x-y-3y)=0
(2x+2y)(2x-4y)=0;4(x+y)(x-2y)=0 es decir que a^4-a^2b^2-2b^4=0 factorizado es
(a^2+b^2)*(a^2-2b^2)=0
a^2+b^2 nunca puede ser 0 al ser dos numeros positivos sumados, luego
a^2=2b^2
entonces (a^2-b^2)/(a^2+b^2)=1/3

Proble Mático dijo...

¡Buena solución!
Ahora bien, en la explicación que pondré en un par de semanas he incluido el protocolo de ensayos que preceden a la factorización, como intento más general de buscar una solución para los alumnos de bachillerato.

La idea para factorizar esa expresión tal vez sea un poco confusa para algunos alumnos. Convendría explicarla un poco.

Gracias por la colaboración.