domingo, 23 de diciembre de 2007

Sumas de primos y cuadrados

(Fase local de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n2 + p, siendo n natural y p primo?

Razónese la contestación.

Solución

2 comentarios:

leonsotelo dijo...

Lo primero que se me ocurre al investigar un poco es que al no ser el número 1 primo , los números de la forma n^2+1 que no se consigan para valores de n mas bajos que con el que estemos investigando ya no se van a conseguir.Así el 10 si no lo conseguimos sumándole un primo a
(n)^2 para n=1,2,3 ya no lo vamos a conseguir para valores de n superiores a 3.Esto me da pistas para ver que pasa con los cuadrados perfectos que no andan muy lejos de ellos.
x^2=n^2+p, x^2-n ^2=p
(x+n)(x-n)=p=> x+n=p, x-n=1
Sumando las dos ultimas ecuaciones obtenemos x=(p+1)/2 lo que ya parece mas interesante.Esto nos dice que para conseguir un cuadrado perfecto este debe ser de la forma:
x^2=(p+1)^2/4 pero a nosotros nos piden numeros que NO se pueden conseguir.
Si hacemos x=(a+1)/2 con a un numero natural que ha de ser impar(para que a+1sea divisible por 2) y además no primo practicamente lo tenemos.
Empezando por los números mas bajos,el 2 no nos sirve como valor de a porque es par,el 3 tampoco porque es primo,el 4 porque es par,el 5 porque es primo,el 6 por par,el 7 por primo,el 8 por par y el 9 es el primero que es impar y NO primo.Lo malo es que quieren muchos y no uno solo.Pero eso no es problema porque a partir del 9 tenemos todas las potencias de 3 que queremos y cumplen las condiciones (impar y no primo) asi que un conjunto solución infinito de numeros seria
{9,27,81...3^n} para n=2,3,...

Felices fiestas
León-Sotelo

Proble Mático dijo...

Lo veo algo confuso, pero parece que has dado, nuevamente, en el clavo.
Mira, de todas formas, la solución oficial, para otro conjunto que contiene al que has definido, junto con una demostración detallada de que el sistema funciona.