lunes, 28 de diciembre de 2009

Desigualdad cuadrática

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Sean a, b, c números reales positivos tales que abc = 1. Prueba la desigualdad siguiente:

(a/(1 + ab))2 + (b/(1 + bc))2 + (c/(1 + ca))2 ≥ 3/4

Solución

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Una pista:
Para a*b*c=0
A=O
B=-5/2
C=-3/2
Total: 3649/1444 = (41*89)/(2^2*19^2)
Rafael de Barcelona

Georges dijo...

He encontrado una solución corta usando solamente una sustitucion y media geométrica - media aritmética.

Como a*b*c=1 implica que existen numeros reales positivos x,y,z tales que a=x/y b=y/z c=z/x.

Sustituyendo y simplificando nos queda que la desigualdad es equivalente a (xz/y(x+z))^2+(yx/z(y+x))^2+(zy/x(z+y))^2>=3/4

Pero como y^2-2yx+x^2=(y-x)^2>=0 entonces (y+x)^2=x^2+2xy+y^2>=4xy y por lo tanto (1/x+y)^2<=1/4xy.

Usando esta desigualdad (con sus respectivas letras) en el lado izquierdo de la ecuación nos queda que este es >= (1/4xz)(xz/y)^2+(1/4xy)(xy/z)^2+(1/4yz)(yz/x)^2.
Y esto es >= a 3/4 por que si multiplicamos por 4 los dos lados y dividimos entre tres nos queda (xz/y^2+xy/z^2+yz/x^2)/3>=raizcubica(xz*xy*yz/x^2*y^2*z^2)=1. Donde la desigualdad usada es simplemente media arimetica media geometrica.

Eduard Pujol Niñerola dijo...

Para a*b*c = 1, existe el siguiente conjunto de soluciones:

1) a=b=c=1 que hacen la expresión 3/4

2) Si a > 1 entonces:

- b=1/a y c=1 o bien
- c=1/a y b=1

3) Lo mismo para b > 1 o c > 1

4) Entonces, uno de los tres sumandos seria

( x / 2 )^2 donde x = ( a,b,c )

y por tanto la expresión siempre > 3/4

Eduard de Granollers