lunes, 7 de diciembre de 2009

Colección de cubos

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Helena pinta blancas o negras las caras de una colección de cubos de madera y en cada cubo usa los dos colores.

¿Cuantos cubos puede conseguir que tengan repartidos los colores de manera diferente?

Justifica tu respuesta.

Solución

3 comentarios:

Alex dijo...

Bueno, si las caras estuvieran numeradas habrían 2⁶ cubos, pero al no estar numeradas hay que descontar todos los cubos que por simetría son idénticos.

Una manera de hacerlo es según el número de caras de un colorque tenga:

* Para 0 caras blancas tenemos 1 cubo.

* Para 1 cara blanca tendríamos 6 cubos, pero por simetría se reducen a 1 cubo.

* Para 2 caras blancas tendríamos 6x5/2 cubos, pero por simetría se reducen a 2 cubos diferentes: uno con dos caras blancas opuestas, y otro con dos caras blancas adyacentes.

* Para 3 caras blancas tendríamos 6x5x3/3x2 cubos, pero por simetría se reducen a 2 cubos diferentes: uno con tres caras blancas consecutivas en línea que se tocan dos a dos, y otro con tres caras blancas "más juntas" donde cada cara es adyacente a las otras dos.

* Para 4 caras blancas, tenemos 2 caras negras. Entonces estamos en el mismo caso de 2 caras blancas: 2 cubos diferentes.

* Para 5 caras blancas, tenemos 1 cara negra. Entonces estamos en el mismo caso de 1 cara blanca: 1 cubo diferente.

* Para 6 caras blancas, tenemos 0 caras negras. Entonces estamos en el mismo caso de 0 caras blancas: 1 cubo diferente.

En total 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8 cubos.

Anónimo dijo...

Alex, 1+1+2+2+2+1+1=10, pero los casos de un solo color se excluyen segun el enunciado, por tanto 8 es correcto...

Alex dijo...

"Alex, 1+1+2+2+2+1+1=10, pero los casos de un solo color se excluyen segun el enunciado, por tanto 8 es correcto..."

Vaya, fallo + fallo = acierto :-)

Me equivoco sumando y no leo bien los enunciados. A partir de ahora intentaré no postear tan rápido, repasar lo que leo y lo que escribo.

Gracias por corregirme.