miércoles, 23 de diciembre de 2009

Capicúas en base 3

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Los primeros 2009 enteros se han escrito en base 3.

¿Cuántos de ellos son capicúas?

Un número es capicúa si empieza igual que acaba, es decir, que si invertimos el orden de todas sus cifras, obtenemos el mismo número (por ejemplo, 12021 es capicúa).

Los números en base tres son aquellos que se escriben usando únicamente tres cifras, las cifras 0, 1 y 2. Así, el que habitualmente representamos por 3, en base 3 se escribe 10, el 4 se escribe 11, el 5, 12, y el 6 se escribe 20. El 2009 se escribe 2202102, ya que es igual a 1458 + 486 + 54 + 9 + 2 = 2*36 + 2*35 + 2*33 + 32 + 2, como puedes comprobar.

Solución

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Una pequeña cuestión, capicúa significa que la primera y última cifra son la misma, o que el número es el mismo si se lee del revés? Es decir, el 1021 es capicúa?

Proble Mático dijo...

Capicúa significa que si cambias el orden de lectura, no varía el número, es decir, simétrico.

El 1021 no es capicúa, pero el 12021 sí lo es.

La pregunta es muy apropiada.

Lluís Usó dijo...

si no m'he equivocat en són 71.

2009 té una representació de 7 xifres en base 3, per tant tots els números amb nombres menors de xifres entren tots, i per a set, només els menors que 2009.

per a una xifra, 3 possibiliats
per a dues, dues (el 00 no és vàlid)
per a tres 6 (dues per a la primera i darrera, i tres per a la del mig)
per a quatre 6 (igual que per a tres, ja que la nova xifra ha de ser igual que l'altra)
per a cinc, afegim una xifra al mg, 18
per a sis, 18 més
per a set, cal observar que el darrer capicua és 2006 (2202022 en base 3), i per tant podem variar les dues primeres i la del mig, èrò no la tercera ja que si no seria major que 2006, per tant 3x3x2=18
18+18+18+6+6+2+3=71 capicues entre 0 i 2009 (si l'interval fora obert en 0, cal llevar-ne un)