domingo, 31 de mayo de 2009

Una diferencia muy divisible

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Probar que, para todo entero positivo n, n19 - n7 es divisible por 30.

Es decir, que la diferencia entre la potencia séptima y la decimonovena de cualquier entero positivo es un múltiplo de 30.

Solución

9 comentarios:

Ginko dijo...

no es cierto, un contra egemplo basta:

1: 1¹⁹ - 1⁷ = 1, uno, obiamente, no es dibisible entre 30 (1/30 = 0.03333...)

Proble Mático dijo...

Has cometido un error importante, Ginko.
1 - 1 = 0, que sí es divisible entre 30 (y, evidentemente, entre cualquier número mayor que 0).

Lluís Usó dijo...

Que es compleix és evident (ho he provat per a diferents naturals), però no puc demostrar-ho més que provant.

El que sí puc dir és que el nombre resultant ha d'acabar en 0, i per tant n^19 i n^7 acaben igual, i la suma de les seues xifres ha de ser divisible entre 3. Aixó es compleix sempre, però no acabe de trobar cap raó de pes per a que aixó siga així.
Tot i així, he observat(provant per a exponents més elevats que 7 i 19) que totes les potències que difereixen en 12 unitats acaben en la mateixa xifra, cosa que justifica que siguen divisibles entre 10.

La divisibilitat entre 3 encara no he pogut justificar-la.

Proble Mático dijo...

Una pista: trata de factorizar el polinomio n¹⁹ - n⁷ , al menos un poco, y mira a ver la divisibilidad de sus factores.
Por cierto, trata por separado la divisibilidad de 2, 3 y 5, que son los que forman 30.

Anónimo dijo...

Hola, factoriza y busca sistemas de restos reducidos para 2,3,5 ; intenta factorizarlo con un mínimo de 6 factores, te resultara más fácil, sobretodo para el 5

Anónimo dijo...

Déjame primero felicitarte por tu blog, es bastante interesante.
La demostración del ejercicio es así según mi parecer:
n^19 - n^7 = n^7 * n^12 - n^7 = n^7 (n^12 - 1)
= n^7 ( (n^6)^2 - 1^2)
= n^7 (n^6-1)(n^6+1)
= n^7 (n^6+1)(n^3+1)(n^3-1)
= n^7 (n^6+1)(n+1)(n^2-n+1)(n-1)(n^2+n+1)

Finalmente nota que n^6+1 = (n^2+1)(n^4-n^2+1).

Ahora n , n+1 y n-1 son números consecutivos y se sabe que el producto de tres numeros consecutivos es divisible por 6. (ya no me acuerdo de ese teorema).

Pero además, por el pequeño teorema de Fermat, n^5 - n es divisible por 5 y nota que:

n^5 -n = n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1).

Luego en efecto la expresión es divisible por 6 y por 5, como 6 y 5son coprimos entonces la expresión es divisible por 30. Es así o no, Roberto?

David dijo...

Hay un problema (n+1)y(n-1) no son consecutivos:

Ejemplo:

n=43

n+1=44 n-1=42 42y44 no son consecutivos, y asi con cualquier valor para n

David dijo...

Lo siento por el otro comentario tuve un error al leer :p decia n,n-1,n+1 no vi la n solita, entonces es correcto me parece..

David dijo...

Hay un problema (n+1)y(n-1) no son consecutivos:

Ejemplo:

n=43

n+1=44 n-1=42 42y44 no son consecutivos, y asi con cualquier valor para n