jueves, 28 de mayo de 2009

Simplificación

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Mal método

Mal método

Considera la fracción 16/64. Si simplificamos tachando la cifra 6, presente en las unidades del numerador y en las decenas del denominador, nos queda la fracción 1/4 que, inesperadamente, es equivalente a la anterior. Es decir, el método es absolutamente incorrecto, pero el resultado es cierto.

¿Puedes encontrar todas las fracciones, cuyos numerador y denominador tengan también dos cifras, que cumplan esta curiosa propiedad?

Solución

7 comentarios:

David dijo...

Como solo se aceptan numeros de 2 cifras las posibilidades son bastante limitadas por lo que puede hacerse por tanteo...

A partir de 1/6 nunguna combinacion es posible porque al multiplicar el numerador por 6 salen numeros muy grandes a coparacion del denominador, y para 1/2 y 1/3 no hay coincidencia.

Lo que nos deja con el 1 y el 5.. quedaria asi

11/11 = 1/1 tachas 2 unos y queda

19/95 = 1/5 tachas los nueves y queda

Juan dijo...

Te falta añadir coincidiría con el 11 o cualquiera de sus múltiplos de dos cifras en el denominador y numerador (11/11, 11/22, 44/33... 99/99)

Juan dijo...

también con el 11 o cualquiera de sus múltiplos de dos cifras en numerador y denominador, por ejemplo 33/55 o 88/22

Eynar Oxartum dijo...

Diréis que a toro pasado... pero bueno, me entretuve con esto, y llegué a lo siguiente.

Antes de ver tu solución, llegué a que 9AC/(10A-C)=B, siendo A, B y C enteros entre 1 y 9.

O bien B es múltiplo de 9, o bien 10A-C es múltiplo de 9, o bien ambos son múltiplos de 3. De este modo,

* si B es múltiplo de 9, entonces sólo puede ser 9 en sí. Por lo tanto C=10A/(A+1). Probando qué valores de A dan un C entero, me encuentro con los pares (5,2) y (8,4), además del trivial (9,9).

* si 10A-C es múltiplo de nueve, me encuentro con los triviales y además la pareja (5,1).

* si B y 10A-C son múltiplos de tres, entonces me encuentro, para 10A-C y excluyendo los triviales, con diez candidatos (1,4), (1,7), (2,5), (2,8), (3,6), (3,9), (4,7), (5,8), (6,3) y (6,9) (excluyendo las mimas parejas invertidas). De estos, los únicos que nos producen B múltiplo de tres inferior a 10 son (2,5) (que ya lo teníamos) y (1,4).

Por lo que vemos que hay nueve casos triviales (n,n), y otras cuatro parejas que cumplen las condiciones requeridas: (1,4), (1,5), (2,5) y (4,8).

Proble Mático dijo...

¡Perfecto!
Has dado otra vuelta al razonamiento que hay que hacer para obtener la solución.

Anónimo dijo...

hola no entendi ni tres comonos nada

zpq_zpq@yahoo.com dijo...

buenas a todos,
no me parecen correctas aquellas soluciones para múltiplos de 11, por el hecho de que si tacho algo, nada indica que no esté obligado a tachar todos los números: los que quedan también se repiten, con los que la fracción quedaría 0/0, que como tal no expresa a ninguna de las propuestas de la que surgiría.
saludos