Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009
Dado un triángulo acutángulo ABC, determinar para qué puntos P de su interior se verifican las siguientes desigualdades entre ángulos:
a) 1 ≤ APB/ACB ≤ 2
b) 1 ≤ BPC/BAC ≤ 2
c) 1 ≤ CPA/CBA ≤ 2
Si quieres colaborar con el blog, o contactar con el autor, deja un comentario en cualquiera de las entradas.
Leo todos los comentarios antes de que se publiquen, así que si dejas información sensible (correo electrónico, por ejemplo) lo borraré antes de que lo vea alguien más.
Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons.
3 comentarios:
Se entiende por ABC el ángulo de vértice B.
Si O es el circuncentro del triángulo ABC el ángulo AOC es doble que el ACB (que es inscrito en la circunferencia). Todos los puntos X que estén en el arco AOB verifican AXB = 2ACB, luego los puntos P del interior del triángulo que están fuera del segmento circular AOB o en el arco AOB son los que verifican la primera condición 1 ≤APB/ACB ≤ 2.
Análogamente se razona para las otras dos condiciones, por tanto el único punto que verifica las tres condiciones es el circuncentro O.
No me había dado cuenta de que ya habías publicado la solución, ¿te importaría quitar la mia? Gracias.
Creo que es bueno que los comentarios se queden, para futuros visitantes puedan ver variantes de la solución, o soluciones totalmente diferentes, si no te importa.
Publicar un comentario