domingo, 6 de septiembre de 2009

Puntos especiales de un triángulo

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Dado un triángulo acutángulo ABC, determinar para qué puntos P de su interior se verifican las siguientes desigualdades entre ángulos:

a) 1 ≤ APB/ACB ≤ 2

b) 1 ≤ BPC/BAC ≤ 2

c) 1 ≤ CPA/CBA ≤ 2

Solución

3 comentarios:

Elrodol dijo...

Se entiende por ABC el ángulo de vértice B.
Si O es el circuncentro del triángulo ABC el ángulo AOC es doble que el ACB (que es inscrito en la circunferencia). Todos los puntos X que estén en el arco AOB verifican AXB = 2ACB, luego los puntos P del interior del triángulo que están fuera del segmento circular AOB o en el arco AOB son los que verifican la primera condición 1 ≤APB/ACB ≤ 2.
Análogamente se razona para las otras dos condiciones, por tanto el único punto que verifica las tres condiciones es el circuncentro O.

Elrodol dijo...

No me había dado cuenta de que ya habías publicado la solución, ¿te importaría quitar la mia? Gracias.

Proble Mático dijo...

Creo que es bueno que los comentarios se queden, para futuros visitantes puedan ver variantes de la solución, o soluciones totalmente diferentes, si no te importa.