Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009
Una familia está formada por un padre, una madre y algunos hijos. La media aritmética de las edades de todos ellos es 20.
El padre tiene 48 años, y la media aritmética de las edades de la madre y los hijos es de 16 años.
¿Cuántos hijos hay en la familia?
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6 comentarios:
El resultat és 6 fills.
1)(P+M+Suma(1-n)Fi)/(n+2)=20
2)(M+suma(1-n)Fi)/(n+1)=16
On P edat pare, M edat mare, Fi edat de cada fill (de l'ité fill), i suma(1-n) vol ser: sumatori (sigma majuscula) de i=1 fins a n.
P=48 (donat)
substituin P en 1), i, al mateix temps dividim tota lequació per n+1
48+M+suma(1-n)Fi/(n+1)(n+2)=20/(n+1)
però açò és equivalent a: 48/(n+1)(n+2)+ M+suma(1-n)Fi/(n+1)(n+2)=20/(n+1)
usant 2), arribem a:
48+16(n+1)=20(n+2) resolem, i n=6
Sum{i=1,N}/N=20 -> 20N=48+Sum{i=1,N-1}
Sum{i=1,N-1}/(N-1)=16 -> 16N-16+48=20N -> 4N=32 -> N=8 -> N-2 = 6 fills.
MIGUE.
edad del padre =48
edad de la madre =M
suma de las edades de los hijos =Y
numero de hijos :X
MA: (48+M+Y)/(2+X)= 20......(I)
MA: (M+Y)/(1+X)= 16
(M+Y)=16(1+X) .......(II)
reemplazamos (II) en (I)
se tiene : (48+16+16x)/(2+x)=20
resolviendo la ecuacion se obtiene X=6
entonces el numero de hijos es 6
YUCRA LIMACHI YURY_
PUNO PERU:
48=Padre M=Madre A=Hijos
48+M+A.X=20
M+A.X-16
48+M+A.X=20(A+2)
48+M+A.X=20A+40
M+A.X=20A+40-48
M+A.X=20A-8
M+A.X=16(A+1)
M+A.X=16A+16
20A-8=16A+16
20A-16A=16+8
4.A=24
A=24:4
A=6
y son 6 hijos en la familia
De la información dada se desprende que:
[X + Y + (Z1 + Z2 + ... + Zi)]/(2+i) = 20
[X + (Z1 + Z2 + ... + Zi)]/(1+i) = 16
Con
X= edad de la madre
Y= edad del padre = 48
Zk= edad del hijo k-ésimo
i= número de hijos en la familia
Denotamos S como la suma de las edades de los hijos.
S= Z1 + Z2 + ... + Zi
Así obtenemos
(X + 48 + S)/(2 + i) = 20
(X + S)/(1 + i) = 16
Se resuelve fácilmente y se obtiene que i=6
Siendo x los hijos, estos junto a su madre x+1, y todos estos junto al padre son x+2, tenemos que:
(48+16(x+1))/x+2=20
48+16+16x = 20x+40
64+16x = 20x+40
64-40 = 20x-16x
24 = 4x
x=24/4
x=6
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