domingo, 12 de julio de 2009

Raíces en común

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Dado un número natural n mayor que 1 , hallar todos los pares de números enteros a y b tales que las dos ecuaciones xn + ax − 2008 = 0 y xn + bx − 2009 = 0 tengan, al menos, una raíz común real.

Solución

5 comentarios:

Lluís Usó dijo...

El problema sembla dificil, però, si ho he ent`s bé, no ho és tant. Em realitat, si tenen una arrel real en comú, vol dir que les dues equacions es compleixen per al mateix nombre, és a dir , fent un sistema es pot resoldre.

x^n+ax-2008=x^n+bx-2009

d'on (b-a)*x=1, cosa que deixa dues soucions possibles:

1) (b-a)=1/x
2) b-a=1; x=1

com que l'enunciat diu que han de ser enters, i sumant enters mai ixen fraccions, podem descartar 1).
L'unica solució valida és 2), és a dir b=a+1, equació que representa les infinites parelles de solucions.

Lluís Usó dijo...

una altra possibilitat és que x=-1; b-a=-1 i per tant b=a-1 així que dos nombres consecutius en a i b, fan que hi hagen dues arrels comunes, 1 i -1 depenent de quin dels dos (a i b) siga major.

Lluís Usó dijo...

A banda d'aquestes dos, hi ha una altra solució:

x=1/(b-a) que compleix les dues equacions.

sebastian dijo...

creo que la solucion es de esta forma
Solución: sea α∈R una solución común real tanto de x^n+ax-2008=0 como de x^n+bx-2009=0, entonces α^n+aα-2008=α^n+bα-2009, es decir, se tiene que
(a-b)α=-1
Es decir,
a=b-1/α
Como tanto a y b deben ser números enteros, entonces α∈Q, específicamente, α=1⁄m, donde m∈Z, es decir,
α^n+bα-2009=1/m^n +b/m-2009=0
O lo que es lo mismo
b=2009m-1/m^(n-1)
Luego, como n>1, 1⁄m^(n-1) ∈Q∖Z salvo que m=1, lo que implica que α=1, y b=2008, luego, a=2007.

sebastian dijo...

creo que esta es la solucion

Solución: sea α∈R una solución común real tanto de x^n+ax-2008=0 como de x^n+bx-2009=0, entonces α^n+aα-2008=α^n+bα-2009, es decir, se tiene que
(a-b)α=-1
Es decir,
a=b-1/α
Como tanto a y b deben ser números enteros, entonces α∈Q, específicamente, α=1⁄m, donde m∈Z, es decir,
α^n+bα-2009=1/m^n +b/m-2009=0
O lo que es lo mismo
b=2009m-1/m^(n-1)
Luego, como n>1, 1⁄m^(n-1) ∈Q∖Z salvo que m=1, lo que implica que α=1, y b=2008, luego, a=2007.