Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009
Dado un número natural n mayor que 1 , hallar todos los pares de números enteros a y b tales que las dos ecuaciones xn + ax − 2008 = 0 y xn + bx − 2009 = 0 tengan, al menos, una raíz común real.
Si quieres colaborar con el blog, o contactar con el autor, deja un comentario en cualquiera de las entradas.
Leo todos los comentarios antes de que se publiquen, así que si dejas información sensible (correo electrónico, por ejemplo) lo borraré antes de que lo vea alguien más.
Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons.
5 comentarios:
El problema sembla dificil, però, si ho he ent`s bé, no ho és tant. Em realitat, si tenen una arrel real en comú, vol dir que les dues equacions es compleixen per al mateix nombre, és a dir , fent un sistema es pot resoldre.
x^n+ax-2008=x^n+bx-2009
d'on (b-a)*x=1, cosa que deixa dues soucions possibles:
1) (b-a)=1/x
2) b-a=1; x=1
com que l'enunciat diu que han de ser enters, i sumant enters mai ixen fraccions, podem descartar 1).
L'unica solució valida és 2), és a dir b=a+1, equació que representa les infinites parelles de solucions.
una altra possibilitat és que x=-1; b-a=-1 i per tant b=a-1 així que dos nombres consecutius en a i b, fan que hi hagen dues arrels comunes, 1 i -1 depenent de quin dels dos (a i b) siga major.
A banda d'aquestes dos, hi ha una altra solució:
x=1/(b-a) que compleix les dues equacions.
creo que la solucion es de esta forma
Solución: sea α∈R una solución común real tanto de x^n+ax-2008=0 como de x^n+bx-2009=0, entonces α^n+aα-2008=α^n+bα-2009, es decir, se tiene que
(a-b)α=-1
Es decir,
a=b-1/α
Como tanto a y b deben ser números enteros, entonces α∈Q, específicamente, α=1⁄m, donde m∈Z, es decir,
α^n+bα-2009=1/m^n +b/m-2009=0
O lo que es lo mismo
b=2009m-1/m^(n-1)
Luego, como n>1, 1⁄m^(n-1) ∈Q∖Z salvo que m=1, lo que implica que α=1, y b=2008, luego, a=2007.
creo que esta es la solucion
Solución: sea α∈R una solución común real tanto de x^n+ax-2008=0 como de x^n+bx-2009=0, entonces α^n+aα-2008=α^n+bα-2009, es decir, se tiene que
(a-b)α=-1
Es decir,
a=b-1/α
Como tanto a y b deben ser números enteros, entonces α∈Q, específicamente, α=1⁄m, donde m∈Z, es decir,
α^n+bα-2009=1/m^n +b/m-2009=0
O lo que es lo mismo
b=2009m-1/m^(n-1)
Luego, como n>1, 1⁄m^(n-1) ∈Q∖Z salvo que m=1, lo que implica que α=1, y b=2008, luego, a=2007.
Publicar un comentario