domingo, 20 de marzo de 2011

19 puntos en un hexágono

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

En un hexágono regular de lado unidad se sitúan 19 puntos.

Demuestra que hay al menos un par de ellos separados por una distancia no mayor que √3/3.

Solución

1 comentario:

David dijo...

Al hablar de un hexagono (6 caras)y situar 19 puntos (6x3+1) se me ocurre que podríamos distribuir los puntos en forma de triángulos de lados comunes que cubran toda la superficie y sus lados exteriores sean coincidentes.

Trazando las líneas correspondientes obtenemos un dibujo interior de 24 triángulos equiláteros cuyos vértices son los 19 puntos del enunciado, y todos los lados comunes entre ellos o con el perímetro del hexágono.

Por la distribución de los triángulos vemos que el lado del triángulo equivales 1/2 lado del hexágono:

L(t) = L(h)/2 = 1/2 = 0,5

Según nos pide el enunciado, distancia mínima debería ser √3/3, cuya aproximación es 0,5773.

Como es mayor al valor esperado, es imposible distribuir 19 puntos en un hexágono de lado unitario siendo la distancia mínima entre ellos igual o inferior a √3/3, por lo que queda demostrado el enunciado.