Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11
En un hexágono regular de lado unidad se sitúan 19 puntos.
Demuestra que hay al menos un par de ellos separados por una distancia no mayor que √3/3.
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1 comentario:
Al hablar de un hexagono (6 caras)y situar 19 puntos (6x3+1) se me ocurre que podríamos distribuir los puntos en forma de triángulos de lados comunes que cubran toda la superficie y sus lados exteriores sean coincidentes.
Trazando las líneas correspondientes obtenemos un dibujo interior de 24 triángulos equiláteros cuyos vértices son los 19 puntos del enunciado, y todos los lados comunes entre ellos o con el perímetro del hexágono.
Por la distribución de los triángulos vemos que el lado del triángulo equivales 1/2 lado del hexágono:
L(t) = L(h)/2 = 1/2 = 0,5
Según nos pide el enunciado, distancia mínima debería ser √3/3, cuya aproximación es 0,5773.
Como es mayor al valor esperado, es imposible distribuir 19 puntos en un hexágono de lado unitario siendo la distancia mínima entre ellos igual o inferior a √3/3, por lo que queda demostrado el enunciado.
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