Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
II Concurso IES Miguel Hernández, 2007
Cuadrado partido
En un cuadrado de lado 6 unidades, dibujamos una diagonal y, desde otro de los vértices, una línea hasta la mitad del lado opuesto. Eso traza tres triángulos en el interior del cuadrado.
¿Puedes calcular el área del más pequeño?
Pista: busca ángulos iguales.
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3 comentarios:
Por angulos complementarios y suplementarios se deduce que los triangulos opuestos son semejantes (45º, a y 135º-a) y el 3º (45º, 90-a y 45-a). Si son semejantes y el mayor tiene base 6 y el pequeño base 3, la misma proporcion para las alturas establece 4 y 2 respectivamente; con lo que el area solicitada es: bxh/2=3x2/3=3
Tot i que ja sé que no estava plantejat pera fer-lo així, i que suposa més feina, se m'ha ocorregut una manera diferent de fer-lo: per integrals.
Primer definim un sistema cartesià centrat al vèrtex esquerre inferior. Trobem que la diagonal és Y=X; i que l'altra recta, r, és Y= (-1/2)X+3.
Igualem i trobem el punt de tall (límit d'integració) en X=2.
Per tant l'area que busquem serà:
integral entre 0 i 2 de r - integral entre 0 i 2 de x
Resolem les integrals, substituïm i l'area són 3ua
Parece que le has tomado el gusto a las integrales, ¿no?
Muy bien, es una gran herramienta, aunque hay que llegar a bachillerato para empezar a dominarla.
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