domingo, 15 de junio de 2008

El área del más pequeño

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Cuadrado partido

Cuadrado partido

En un cuadrado de lado 6 unidades, dibujamos una diagonal y, desde otro de los vértices, una línea hasta la mitad del lado opuesto. Eso traza tres triángulos en el interior del cuadrado.

¿Puedes calcular el área del más pequeño?

Pista: busca ángulos iguales.

Solución

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Por angulos complementarios y suplementarios se deduce que los triangulos opuestos son semejantes (45º, a y 135º-a) y el 3º (45º, 90-a y 45-a). Si son semejantes y el mayor tiene base 6 y el pequeño base 3, la misma proporcion para las alturas establece 4 y 2 respectivamente; con lo que el area solicitada es: bxh/2=3x2/3=3

Lluís Usó dijo...

Tot i que ja sé que no estava plantejat pera fer-lo així, i que suposa més feina, se m'ha ocorregut una manera diferent de fer-lo: per integrals.
Primer definim un sistema cartesià centrat al vèrtex esquerre inferior. Trobem que la diagonal és Y=X; i que l'altra recta, r, és Y= (-1/2)X+3.
Igualem i trobem el punt de tall (límit d'integració) en X=2.

Per tant l'area que busquem serà:
integral entre 0 i 2 de r - integral entre 0 i 2 de x

Resolem les integrals, substituïm i l'area són 3ua

Proble Mático dijo...

Parece que le has tomado el gusto a las integrales, ¿no?
Muy bien, es una gran herramienta, aunque hay que llegar a bachillerato para empezar a dominarla.